השבר על ישר המספרים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עד עכשיו ראינו שבר כחלק מפיצה או מכמות. עכשיו נראה אותו בדרך אחרת לגמרי — כנקודה על ישר המספרים, בדיוק כמו 3 או 17. זו לא עוד המחשה יפה: זו הסיבה שאפשר להשוות שברים, לסדר אותם, ולגלות שביניהם יש עוד.

שני צעדים, ותמיד אותם שניים

11

המכנה אומר לכמה חלקים שווים לחלק את הקטע שבין שני שלמים

22

המונה אומר כמה צעדים כאלה ללכת מהאפס

איפה יושב 35\frac{3}{5}

לא מנחשים. מחלקים וסופרים.

0…10 \ldots 1

מסתכלים על הקטע שבין 0 ל-1

55

המכנה 5 — חותכים אותו לחמישה חלקים שווים

33

המונה 3 — סופרים שלושה חלקים מהאפס. שם יושב השבר

שבר קטן מ-1 יושב תמיד בין 0 ל-1, ושבר גדול מ-1 יושב אחריו. הסימן המיידי: אם המונה קטן מהמכנה — עוד לא הגענו ל-1.

ושברים גדולים מ-1

אותם שני צעדים בדיוק, רק שממשיכים ללכת אחרי ה-1. כדי לדעת בין אילו שני שלמים נופל השבר, שואלים כמה פעמים המכנה נכנס במונה — וזו בדיוק ההמרה למספר מעורב.

בין אילו שני שלמים נמצא 236\frac{23}{6}

שאלה אחת עונה על הכול.

23:6=323 : 6 = 3

שש נכנס שלוש פעמים, ונשאר 5

3563\tfrac{5}{6}

כלומר שלושה שלמים ועוד חמש שישיות

3<236<43 < \tfrac{23}{6} < 4

ולכן הוא יושב בין 3 ל-4, קרוב מאוד ל-4

בין אילו שני שלמים נמצא 175\frac{17}{5}?

להציג את התשובה והפתרון

בין 3 ל-4. כי 17:5=317 : 5 = 3 ושארית 2, כלומר 3253\tfrac{2}{5}.

צפיפות — תמיד יש עוד שבר באמצע

בין 3 ל-4 אין אף מספר שלם. אבל בין 13\frac{1}{3} ל-12\frac{1}{2} יש שבר, ולא רק אחד — יש אינסוף. זה ההבדל הגדול בין השלמים לשברים, והוא נראה על הישר: אפשר תמיד להמשיך לחתוך דק יותר.

למצוא שבר בין 13\frac{1}{3} ל-12\frac{1}{2}

מביאים למכנה משותף, ואז מסתכלים מה נפתח באמצע.

13=412\frac{1}{3} = \frac{4}{12}

מרחיבים את הראשון

12=612\frac{1}{2} = \frac{6}{12}

ואת השני, לאותו מכנה

512\frac{5}{12}

ובאמצע יושב 5 — שבר שלא היה נראה קודם

ואם לא נפתח מקום — מרחיבים עוד. בין 412\frac{4}{12} ל-512\frac{5}{12} אין שלם, אבל אם נרחיב ל-824\frac{8}{24} ו-1024\frac{10}{24} יופיע 924\frac{9}{24}. אפשר להמשיך כך בלי סוף.

מה שהישר מראה ומה שהמספרים מסתירים.

מכנה גדול→שבר גדול\text{מכנה גדול} \rightarrow \text{שבר גדול}
18<13\frac{1}{8} < \frac{1}{3}

מכנה גדול פירושו חלקים קטנים יותר. על הישר זה מיידי: השמינית קרובה יותר לאפס.

בין 13 ל-12 אין כלום\text{בין } \tfrac{1}{3} \text{ ל-} \tfrac{1}{2} \text{ אין כלום}
יש אינסוף\text{יש אינסוף}

בשלמים «אין כלום בין 3 ל-4» זה נכון. בשברים זה אף פעם לא נכון — תמיד אפשר לחתוך דק יותר.

תרגילים

להכיר

תרגיל 1

לכמה חלקים שווים חותכים את הקטע שבין 0 ל-1 כדי לסמן את 37\frac{3}{7}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

77

המכנה קובע את מספר החלקים

שבעה חלקים, ואז סופרים שלושה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

איפה יושב 23\frac{2}{3} על ישר המספרים?

  1. בין 1 ל-2
  2. בדיוק על 2
  3. בין 0 ל-1, קרוב יותר ל-0
  4. בין 0 ל-1, קרוב יותר ל-1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד בין 0 ל-1, קרוב יותר ל-1

הפתרון:

23>12\frac{2}{3} > \frac{1}{2}

שני שלישים גדולים מחצי

המונה קטן מהמכנה — ולכן לפני ה-1; וגדול מחצי — ולכן בחצי הימני של הקטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בין אילו שני שלמים נמצא 236\frac{23}{6}? רשמו את השלם הקטן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

23:6=3 שארית 523 : 6 = 3 \ \text{שארית} \ 5

שלושה שלמים

בין 3 ל-4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שבר שהמונה שלו קטן מהמכנה יושב תמיד בין 0 ל-1

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

37<1\frac{3}{7} < 1

המונה קטן מהמכנה

לא לקחנו אפילו את כל החלקים של שלם אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

להתאמן

תרגיל 5

מהו המונה של שבר עם מכנה 12 שנמצא בין 13\frac{1}{3} ל-12\frac{1}{2}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

13=412 12=612\begin{aligned}\frac{1}{3} &= \frac{4}{12} \\ \ \frac{1}{2} &= \frac{6}{12}\end{aligned}

מרחיבים את שניהם

512\frac{5}{12}

ובאמצע

חמש שתים-עשריות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בין אילו שני שלמים נמצא 175\frac{17}{5}? רשמו את השלם הקטן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

17:5=3 שארית 217 : 5 = 3 \ \text{שארית} \ 2

כלומר 3253\tfrac{2}{5}

בין 3 ל-4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

סדרו לפי המקום על ישר המספרים, מהשמאלי לימני

  • 12\frac{1}{2}
  • 13\frac{1}{3}
  • 18\frac{1}{8}
  • 34\frac{3}{4}
  • 54\frac{5}{4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18\frac{1}{8} · 13\frac{1}{3} · 12\frac{1}{2} · 34\frac{3}{4} · 54\frac{5}{4}

הפתרון:

18<13<12<34<54\frac{1}{8} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{3}{4} < \frac{5}{4}

מונה 1: מכנה גדול, שבר קטן

מונה 1: ככל שהמכנה גדול, השבר קטן. ו-54\frac{5}{4} הוא היחיד שעבר את ה-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

השבר 94\frac{9}{4} על הישר

הוא נמצא בין ____ ל- ____ , וכמספר מעורב הוא ____ ורבע

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הוא נמצא בין 2 ל- 3 , וכמספר מעורב הוא 2 ורבע

הפתרון:

9:4=2 שארית 19 : 4 = 2 \ \text{שארית} \ 1

שני שלמים ועוד רבע

2142\tfrac{1}{4}, מעט אחרי ה-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

לשחק ולבדוק

תרגיל 9

בין 14\frac{1}{4} ל-13\frac{1}{3} אין אף שבר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

14=312 13=412\begin{aligned}\frac{1}{4} &= \frac{3}{12} \\ \ \frac{1}{3} &= \frac{4}{12}\end{aligned}

לכאורה צמודים

624 ו- 824\frac{6}{24} \ \text{ו-} \ \frac{8}{24}

אבל מרחיבים עוד — ומופיע 724\frac{7}{24}

בין שני שברים תמיד יש עוד שבר, ואפילו אינסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

74 בין 1 ל- 2\frac{7}{4} \ \text{בין} \ 1 \ \text{ל-} \ 2
72 בין 2 ל- 3\frac{7}{2} \ \text{בין} \ 2 \ \text{ל-} \ 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 72 בין 2 ל- 3\frac{7}{2} \ \text{בין} \ 2 \ \text{ל-} \ 3 → 72 בין 3 ל- 4\frac{7}{2} \ \text{בין} \ 3 \ \text{ל-} \ 4

הפתרון:

7:2=3 שארית 17 : 2 = 3 \ \text{שארית} \ 1

שלושה וחצי

3123\tfrac{1}{2} יושב בין 3 ל-4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת