תחומי חיוביות ושליליות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

זו שאלה אחרת מעלייה וירידה, וכאן הרבה מתבלבלים. לא שואלים לאן הגרף הולך, אלא איפה הוא נמצא: מעל ציר ה-xx, או מתחתיו?

f(x)>0f(x) > 0

חיובית — הגרף נמצא מעל ציר ה-xx.

f(x)<0f(x) < 0

שלילית — הגרף נמצא מתחת לציר ה-xx.

f(x)=0f(x) = 0

הגרף נוגע בציר — זו נקודת החיתוך, הגבול בין שני התחומים.

השיטה היא תמיד אותה שיטה:

שלב 1: מוצאים איפה הגרף חותך את ציר ה-xx. רק שם הוא יכול לעבור מלמעלה למטה.

שלב 2: נקודות החיתוך מחלקות את הציר לתחומים. בכל תחום הסימן לא משתנה.

בישר — נקודת חיתוך אחת

הפונקציה y=2x−6y = 2x - 6

נמצא את תחומי החיוביות והשליליות.

2x−6=02x - 6 = 0

מציבים y=0y = 0 — כך מוצאים את החיתוך עם ציר ה-xx

x=3x = 3

זו נקודת המעבר היחידה

x=4⟶y=2\begin{aligned}x &= 4 \quad\longrightarrow\quad y \\ &= 2\end{aligned}

נציב מספר מימין ל-3 ונראה מה הסימן — יצא חיובי

f(x)>0כאשרx>3f(x) > 0 \quad\quad \text{כאשר} \quad\quad x > 3

ולכן זהו תחום החיוביות

f(x)<0כאשרx<3f(x) < 0 \quad\quad \text{כאשר} \quad\quad x < 3

ומצדו השני, תחום השליליות

בפרבולה — שתי נקודות, שלושה תחומים

כשיש שתי נקודות חיתוך, הציר מתחלק לשלושה חלקים, והסימן מתחלף בכל נקודה. בפרבולה שפתוחה למעלה: היא חיובית בשני הצדדים, ושלילית בין שתי הנקודות.

שני הנושאים זה לצד זה

↗↘\nearrow \quad \searrow

עלייה וירידה — לאן הגרף הולך. נמדד לפי הכיוון.

+−+ \quad -

חיוביות ושליליות — איפה הגרף נמצא. נמדד לפי ציר ה-xx.

שתי השאלות באמת נפרדות: פונקציה יכולה לרדת ועדיין להיות חיובית. למשל, ישר יורד שעדיין נמצא גבוה מעל הציר.

הבלבול המרכזי של הפרק.

הפונקציה יורדת⇒הפונקציה שלילית\text{הפונקציה יורדת} \quad\Rightarrow\quad \text{הפונקציה שלילית}
אלה שתי שאלות נפרדות\text{אלה שתי שאלות נפרדות}

ישר יורד יכול להיות כולו מעל הציר, כלומר חיובי לגמרי. כיוון ומיקום אינם אותו דבר.

f(x)>0כאשרy>3f(x) > 0 \quad\quad \text{כאשר} \quad\quad y > 3
f(x)>0כאשרx>3f(x) > 0 \quad\quad \text{כאשר} \quad\quad x > 3

גם כאן — התחום נכתב תמיד בערכי xx, למרות שהתנאי עצמו מדבר על yy.

מה מחפשים כששואלים «מתי הפונקציה חיובית»?

להציג את התשובה והפתרון

את תחומי ה-xx שבהם הגרף מעל ציר ה-x. חיובית = מעל, שלילית = מתחת — והמעברים בנקודות האפס.

תרגילים

תרגיל 1

באיזה ערך של xx הישר y=2x−6y = 2x - 6 חותך את ציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2x−6=02x - 6 = 0

מציבים y=0y = 0

x=3x = 3

מעבירים ומחלקים

חיתוך עם ציר ה-xx פירושו גובה אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הישר y=2x−6y = 2x - 6. מהו תחום החיוביות?

  1. y>3y > 3
  2. x<3x < 3
  3. x>6x > 6
  4. x>3x > 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x>3x > 3

הפתרון:

x=3x = 3

נקודת החיתוך

x=4⟶y=2>0\begin{aligned}x &= 4 \quad\longrightarrow\quad y \\ &= 2 > 0\end{aligned}

נציב מימין ונבדוק סימן

הישר עולה, ולכן מימין לחיתוך הוא מעל הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הישר y=−x+4y = -x + 4. מהו תחום השליליות?

  1. x<4x < 4
  2. x>4x > 4
  3. x>−4x > -4
  4. אין תחום שליליות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x>4x > 4

הפתרון:

−x+4=0-x + 4 = 0

מציבים y=0y = 0

x=4x = 4

זו נקודת המעבר

x=5⟶y=−1<0\begin{aligned}x &= 5 \quad\longrightarrow\quad y \\ &= -1 < 0\end{aligned}

מימין ל-4 הישר מתחת לציר

הישר יורד, ולכן הצד השלילי הוא הימני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ישר יורד שנמצא כולו מעל ציר ה-xx. מה נכון?

  1. חיובי ולכן עולה
  2. יורד וגם חיובי בכל התחום
  3. לא ייתכן ישר כזה
  4. יורד ולכן שלילי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב יורד וגם חיובי בכל התחום

הפתרון:

↘כיוון\searrow \quad\quad \text{כיוון}

ירידה מתארת לאן הולכים

+מיקום+ \quad\quad \text{מיקום}

חיוביות מתארת איפה נמצאים

אלה שתי שאלות נפרדות. ישר יכול לרדת שנים ועדיין לא להגיע לציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פרבולה פתוחה כלפי מעלה שחותכת את ציר ה-xx ב-x=1x = 1 וב-x=5x = 5. איפה היא שלילית?

  1. x<1x < 1
  2. בכל התחום
  3. 1<x<51 < x < 5
  4. x>5x > 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 1<x<51 < x < 5

הפתרון:

x=3נמצא בין השורשיםx = 3 \quad\quad \text{נמצא בין השורשים}

נבחר מספר מהתחום האמצעי

שם הפרבולה מתחת לציר\text{שם הפרבולה מתחת לציר}

כי היא פתוחה כלפי מעלה

בפרבולה כלפי מעלה: שלילית בין השורשים, חיובית מחוץ להם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הישר y=5x+10y = 5x + 10 חותך את ציר ה-xx. מהו ערך ה-xx שם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

5x+10=05x + 10 = 0

מציבים y=0y = 0

5x=−105x = -10

מעבירים אגף

x=−2x = -2

מחלקים ב-5

הישר עולה, ולכן משמאל ל-2− הוא שלילי ומימין לו חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הפונקציה y=x−4y = x - 4 — לאיזה xx היא מתאפסת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x−4=0x - 4 = 0

נקודת האפס היא ה-xx שבו yy מתאפס — ולכן משווים את הביטוי לאפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ואיפה היא חיובית?

  1. x>4x > 4
  2. אף פעם
  3. x<4x < 4
  4. תמיד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x>4x > 4

הפתרון:

x−4>0x - 4 > 0

מעל הציר מימין לאפס

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

y=2x+6y = 2x + 6 — נקודת האפס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

2x+6=0  x=−3\begin{aligned}2x + 6 &= 0 \ \\ \ x &= -3\end{aligned}

אותו מהלך: משווים לאפס ופותרים. תשובה שלילית היא תשובה תקינה לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פונקציה שלילית בתחום x<1x < 1 וחיובית ב-x>1x > 1. מה קורה ב-x=1x = 1?

  1. מקסימום
  2. הגרף חוצה את ציר ה-x
  3. הגרף קופץ
  4. אין כלום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הגרף חוצה את ציר ה-x

הפתרון:

y=0y = 0

מעבר סימן — דרך אפס

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • f(x)>0f(x) > 0
  • f(x)<0f(x) < 0
  • f(x)=0f(x) = 0
  • הגרף נוגע בציר — זו נקודת החיתוך, הגבול בין שני התחומים.
  • חיובית — הגרף נמצא מעל ציר ה-xx.
  • שלילית — הגרף נמצא מתחת לציר ה-xx.
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f(x)>0f(x) > 0 — חיובית — הגרף נמצא מעל ציר ה-xx. · f(x)<0f(x) < 0 — שלילית — הגרף נמצא מתחת לציר ה-xx. · f(x)=0f(x) = 0 — הגרף נוגע בציר — זו נקודת החיתוך, הגבול בין שני התחומים.

הפתרון:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת