מאגר המשפטים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ראינו שנימוק תקף הוא נתון, שורה קודמת או משפט שלמדנו. הרשימה כאן היא המשפטים האלה: מה שמותר לצטט בלי להוכיח.

המשפטים כתובים כאן במילים המדויקות שבהן הם מנוסחים. זו לא קפדנות מיותרת: הנימוק נבדק לפי מה שכתוב, ולכן כדאי להעתיק את הניסוח ולא לנסח מחדש.

הקלידו מילה שאתם רואים בשאלה — אלכסונים, מקביל, שווה שוקיים — והרשימה תצטמצם למשפטים שמדברים עליה.

מצאתם ברשימה משפט שמסתיים בדיוק בצ.ל. שלכם. מה בודקים לפני שכותבים אותו?

להציג את התשובה והפתרון

שכל מה שהמשפט דורש כבר כתוב בטבלה, מעליו: נתון, או שורה שכבר הוכחנו.

כמה משפטים מותר לצטט בשמם בלבד, בלי לנסח: משפט פיתגורס, משפט תאלס (וההפוך שלו, והמורחב), משפט חוצה הזווית, ארבעת משפטי החפיפה, משפטי הדמיון, וזווית בין משיק ומיתר.

כל שאר המשפטים: כותבים את הניסוח המדויק.

שתי מלכודות ברשימה עצמה.

חפיפה לפי צ.ז.ז.\text{חפיפה לפי צ.ז.ז.}
להראות שהזווית השלישית שווה, ואז ז.צ.ז.\text{להראות שהזווית השלישית שווה, ואז ז.צ.ז.}

אין משפט חפיפה צ.ז.ז. — זו הערה מפורשת ברשימה הרשמית. מי שמשתמש בו מאבד את כל הסעיף.

«לפי המשפט שלמדנו»\text{«לפי המשפט שלמדנו»}
הניסוח המדויק של המשפט\text{הניסוח המדויק של המשפט}

נימוק חייב לזהות איזה משפט. «כמו שלמדנו» אינו מזהה כלום.

משפט ומשפט הפוך

המשפט ההפוך מחליף בין התנאי למסקנה. «אם א, אז ב» הופך ל«אם ב, אז א».

מה ההבדל בין משפט למשפט הפוך?

להציג את התשובה והפתרון

המשפט: מ-א נובע ב. ההפוך: מ-ב נובע א — וצריך הוכחה נפרדת. יש משפטים שההפוך שלהם פשוט לא נכון.

תרגילים

תרגיל 1

אילו משפטים מותר לצטט בשמם בלבד, בלי לנסח אותם?

  1. פיתגורס, תאלס, חוצה הזווית, משפטי החפיפה והדמיון, וזווית בין משיק ומיתר
  2. אף משפט — תמיד צריך לנסח
  3. כל המשפטים
  4. רק משפט פיתגורס
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א פיתגורס, תאלס, חוצה הזווית, משפטי החפיפה והדמיון, וזווית בין משיק ומיתר

הפתרון:

רשימה סגורה\text{רשימה סגורה}

כך נקבע ברשימה הרשמית

כל שאר המשפטים — יש לנסח במדויק, במילים שלהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

האם קיים משפט חפיפה צ.ז.ז.?

  1. כן, הוא אחד מארבעת משפטי החפיפה
  2. כן, אבל רק במשולש ישר זווית
  3. לא
  4. כן, אבל רק בכיתה ט
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא

הפתרון:

∠3=180°−∠1−∠2\angle_3 = 180° - \angle_1 - \angle_2

סכום הזוויות קובע את השלישית

⇒ז.צ.ז.\Rightarrow \text{ז.צ.ז.}

ואז החפיפה חוקית

זו הערה מפורשת ברשימה הרשמית, ולא דקדוק: צ.ז.ז. אינו משפט. צריך להראות שהזווית השלישית שווה ואז להשתמש בז.צ.ז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCDPQEF
AB∥CDAB \parallel CD, והישר EFEF חותך את שניהם.

בהוכחה כתבתם «AB∥CDAB \parallel CD ולכן הזוויות שוות». מה חסר?

  1. לצייר את הישרים
  2. שום דבר, זה מספיק
  3. לציין את אורך הצלעות
  4. לציין איזה זוג
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לציין איזה זוג

הפתרון:

זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות\text{זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות}

הניסוח המלא

הנימוק חייב לזהות את המשפט המדויק — «הזוויות שוות» לבדו אינו משפט. מתאימות או מתחלפות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

משפט: «אם שווה צלעות אז שווה זוויות». מהו ההפוך?

  1. אותו משפט
  2. אם שווה זוויות אז שווה צלעות
  3. אין הפוך
  4. אם לא שווה צלעות אז לא שווה זוויות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אם שווה זוויות אז שווה צלעות

הפתרון:

⇐\Leftarrow

מחליפים כיוון

ההפוך מחליף בין התנאי למסקנה: «אם שווה זוויות, אז שווה צלעות». כאן הוא גם נכון, אבל זה משפט נפרד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

משפט נכון שההפוך שלו שגוי — יש כזה?

  1. כן
  2. רק באלגברה
  3. רק בגאומטריה
  4. לא, הפוך תמיד נכון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כן

הפתרון:

ריבוע⇒מלבן\text{ריבוע} \Rightarrow \text{מלבן}

המשפט נכון

מלבן⇏ריבוע\text{מלבן} \nRightarrow \text{ריבוע}

ההפוך לא נכון: מלבן של 2 על 5 אינו ריבוע

כן. «אם ריבוע, אז מלבן» נכון. «אם מלבן, אז ריבוע» לא נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABC
זוויות הבסיס ∠B\angle B ו-∠C\angle C שוות.

זוויות בסיס שוות במשולש. איזה משפט מהבנק מסיק שהוא שווה שוקיים?

  1. סכום זוויות
  2. משפט פיתגורס
  3. המשפט ההפוך לזוויות הבסיס
  4. צ.ז.צ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג המשפט ההפוך לזוויות הבסיס

הפתרון:

∠=∠⇒צלעות=\angle = \angle \Rightarrow \text{צלעות} =

מהזוויות אל הצלעות

זהו המשפט ההפוך: לא «שווה שוקיים ⟵ זוויות שוות», אלא הכיוון השני. שני משפטים נפרדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

למה חשוב לדעת אם משתמשים במשפט או בהפוך שלו?

  1. ההפוך חזק יותר
  2. זה לא חשוב
  3. כי הם דורשים נתונים שונים
  4. המשפט ארוך יותר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כי הם דורשים נתונים שונים

הפתרון:

⇒≠⇐\Rightarrow \ne \Leftarrow

שני כיוונים, שני משפטים

המשפט מתחיל מצלעות, ההפוך מזוויות — לבחור נכון לפי מה שיש ביד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

«תיכון חוצה את הצלע» — משפט או הגדרה?

  1. משפט
  2. השערה
  3. נתון
  4. הגדרה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הגדרה

הפתרון:

הגדרת תיכון\text{הגדרת תיכון}

פירוש המילה

זו המשמעות של המילה — לא תוצאה שהוכחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCD
AB=ACAB = AC, ו-ADAD חוצה את זווית הראש.

במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש — מה הוא עוד?

  1. קטע אמצעים
  2. תיכון וגובה לבסיס
  3. אלכסון
  4. רק חוצה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב תיכון וגובה לבסיס

הפתרון:

התלכדות\text{התלכדות}

חוצה זווית הראש הוא גם תיכון וגם גובה

במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם תיכון וגם גובה — שלושה תפקידים בקטע אחד. רק שם זה קורה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

איזה משפט נותן שוויון צלעות בלי חפיפה?

  1. פיתגורס
  2. ז.צ.ז
  3. מול זוויות שוות צלעות שוות
  4. צ.צ.צ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג מול זוויות שוות צלעות שוות

הפתרון:

∠⇒צלע\angle \Rightarrow \text{צלע}

במשולש אחד

במשולש אחד: מול זוויות שוות יש צלעות שוות. אין צורך בשני משולשים ובחפיפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABCDE
שני קטעים נמתחים מקצות הבסיס אל הנקודות DD ו-EE.

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC. הנקודה DD על ABAB והנקודה EE על ACAC, כך ש-AD=AEAD = AE. הוכיחו: BE=CDBE = CD.

  • AB=ACAB = AC
  • AD=AEAD = AE

BE=CDBE = CD

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. AD=AEAD = AE — נתון
  3. ∠A=∠A\angle A = \angle A — זווית משותפת לשני המשולשים
  4. △ABE≅△ACD\triangle ABE \cong \triangle ACD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. BE=CDBE = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים (צל״ח)
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מיינו: הגדרה או משפט?

  • הגדרה
  • משפט
  • גובה מאונך לצלע שמולו
  • זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות
  • זוויות קודקודיות שוות
  • חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
  • סכום הזוויות במשולש הוא 180°
  • תיכון חוצה את הצלע שמולו
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תיכון חוצה את הצלע שמולו — הגדרה · גובה מאונך לצלע שמולו — הגדרה · חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות — הגדרה · זוויות קודקודיות שוות — משפט · סכום הזוויות במשולש הוא 180° — משפט · זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות — משפט

הפתרון:

הגדרה=פירוש המילה\text{הגדרה} = \text{פירוש המילה}

משפט = תוצאה שהוכחה

הגדרה אומרת מה המילה מתארת. משפט הוא תוצאה שמישהו הוכיח, ומאז מותר לצטט אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

אם משפט נכון, גם המשפט ההפוך לו נכון תמיד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

קודקודיות⇒שוות\text{קודקודיות} \Rightarrow \text{שוות}

המשפט נכון

שוות⇏קודקודיות\text{שוות} \nRightarrow \text{קודקודיות}

ההפוך לא נכון

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות, ואינן קודקודיות. דוגמה נגדית אחת מספיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

התאימו לכל משפט את המשפט ההפוך לו.

  • אם במשולש שתי צלעות שוות, אז הזוויות שמולן שוות
  • אם שני ישרים מקבילים, אז הזוויות המתחלפות ביניהם שוות
  • אם מרובע הוא מקבילית, אז האלכסונים שלו חוצים זה את זה
  • אם במשולש שתי זוויות שוות, אז הצלעות שמולן שוות
  • אם האלכסונים של מרובע חוצים זה את זה, אז הוא מקבילית
  • אם זוויות מתחלפות בין שני ישרים שוות, אז הישרים מקבילים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אם במשולש שתי צלעות שוות, אז הזוויות שמולן שוות — אם במשולש שתי זוויות שוות, אז הצלעות שמולן שוות · אם שני ישרים מקבילים, אז הזוויות המתחלפות ביניהם שוות — אם זוויות מתחלפות בין שני ישרים שוות, אז הישרים מקבילים · אם מרובע הוא מקבילית, אז האלכסונים שלו חוצים זה את זה — אם האלכסונים של מרובע חוצים זה את זה, אז הוא מקבילית

הפתרון:

א⇒ב\text{א} \Rightarrow \text{ב}

המשפט

ב⇒א\text{ב} \Rightarrow \text{א}

ההפוך

בכל זוג, מה שהיה «אז» עובר ל«אם». שלושת ההפוכים כאן נכונים, וכל אחד הוא משפט נפרד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

במשפט החפיפה צ.צ.ז, הזווית השווה נמצאת מול הצלע הגדולה מבין שתי הצלעות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

צ.צ.ז\text{צ.צ.ז}

זווית מול הצלע הגדולה

נכון. כשהזווית מול הצלע הקטנה, ייתכנו שני משולשים שונים, ואין חפיפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת