קנה מידה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

קנה מידה הוא היחס בין מידה על השרטוט לבין המידה במציאות. המספר הראשון שייך תמיד לשרטוט, והשני תמיד למציאות.

במפה כותבים 1:n1 : n: סנטימטר אחד על הדף הוא nn סנטימטרים באמת. אף אחד מהשניים לא חייב להיות הגדול.

שני הכיוונים

×n\times n

מהמפה למציאות — בקנה מידה 1:n1 : n כופלים ב-nn.

:n: n

מהמציאות למפה — בקנה מידה 1:n1 : n מחלקים ב-nn.

איך לא להתבלבל בכיוון: לזכור את הסדר. המספר הראשון הוא השרטוט, השני הוא המציאות. ב-1:50,0001 : 50{,}000, ה-1 הוא הסנטימטר שעל הדף, וה-50,000 הם הסנטימטרים באמת.

תזכורת המרות

1 מטר=100 ס״מ1 \ \text{מטר} = 100 \ \text{ס״מ}

מטר לסנטימטר.

1 ק״מ=1000 מטר1 \ \text{ק״מ} = 1000 \ \text{מטר}

קילומטר למטר.

1 ק״מ=100,000 ס״מ1 \ \text{ק״מ} = 100{,}000 \ \text{ס״מ}

ולכן קילומטר הוא מאה אלף סנטימטר — המספר שחוזר בכל שאלת מפה.

שימו לב לשלב ההמרה. קנה המידה לא משנה יחידות — הוא רק מכפיל מספרים. ההמרה לקילומטרים היא פעולה נפרדת לגמרי, ושכחתה היא הטעות הנפוצה ביותר.

שתי הטעויות של קנה מידה.

8×50,000=400,000 ק״מ8 \times 50{,}000 = 400{,}000 \ \text{ק״מ}
400,000 ס״מ=4 ק״מ400{,}000 \ \text{ס״מ} = 4 \ \text{ק״מ}

התוצאה יוצאת ביחידה שבה נמדד המקור — סנטימטרים. ההמרה היא שלב נפרד.

מציאות:דף=1:50,000\text{מציאות} : \text{דף} = 1 : 50{,}000
דף:מציאות=1:50,000\text{דף} : \text{מציאות} = 1 : 50{,}000

הסדר התהפך: המספר הראשון שייך תמיד לשרטוט. מי שהופך אותו מחלק במקום לכפול, או להפך.

למדוד על המפה

על מפה אמיתית אף אחד לא כותב את המרחק. מודדים בסרגל על המפה, כופלים בקנה המידה, ורק אז ממירים.

במפה בקנה מידה 1:50,0001 : 50{,}000 מדדתם 7 ס״מ בין שני כפרים. כמה ק״מ ביניהם?

להציג את התשובה והפתרון

3.53.5 ק״מ. 7×50,000=350,0007 \times 50{,}000 = 350{,}000 ס״מ, ו-350,000:100,000=3.5350{,}000 : 100{,}000 = 3.5.

הגדלה — קנה מידה בכיוון השני

עד כאן הקטנו את המציאות. יש גם המקרה ההפוך: תמונה מוגדלת של חרק, שרטוט של רכיב אלקטרוני, מפת תא בביולוגיה. אז כותבים את קנה המידה בצורה n:1n : 1 — הציור גדול פי nn מן המציאות.

1:5001 : 500

הקטנה — המציאות גדולה פי 500 מן השרטוט. זה המקרה של מפה או דגם.

10:110 : 1

הגדלה — הציור גדול פי 10 מן המציאות. זה המקרה של חרק או תא.

אורכה של נמלה 2 ס״מ, ובציור היא באורך 10 ס״מ. מהו קנה המידה של הציור?

להציג את התשובה והפתרון

5:15 : 1. ציור למציאות: 10:2=5:110 : 2 = 5 : 1. הציור גדול פי 5, ולכן המספר הגדול בא ראשון.

לחשב קנה מידה של הגדלה

אורכה האמיתי של חיפושית הוא 0.60.6 ס״מ, ובציור היא באורך 6 ס״מ. מהו קנה המידה של הציור?

6:0.66 : 0.6

ציור ביחס למציאות — שניהם כבר בס״מ

60.6=10\frac{6}{0.6} = 10

מכפילים מונה ומכנה ב-10 ומצמצמים

10:110 : 1

הציור גדול פי 10

הסדר לא משתנה: קודם השרטוט, אחר כך המציאות. המציאות גדולה: 1:n1 : n. הציור גדול: n:1n : 1.

מה קורה לשטח ולנפח

כאן חוזרת בדיוק אותה תובנה שראינו בדמיון: קנה המידה מכפיל אורכים. שטח הוא מכפלה של שני אורכים, ונפח של שלושה — ולכן הם גדלים בריבוע ובחזקה שלישית של קנה המידה.

אורך : nשטח : n2נפח : n3\text{אורך} \ : \ n \qquad \text{שטח} \ : \ n^2 \qquad \text{נפח} \ : \ n^3

אותו קנה מידה, שלוש עוצמות שונות

דגם של בניין

בונים דגם של מגדל בקנה מידה 1:5001 : 500. פי כמה גדול שטח הבניין האמיתי משטח הדגם, ופי כמה גדול נפחו?

n=500n = 500

קנה המידה — יחס האורכים

n2=250,000n^2 = 250{,}000

יחס השטחים

n3=125,000,000n^3 = 125{,}000{,}000

יחס הנפחים

המלכודת של שטח בשרטוט.

Sאמיתי=Sשרטוט×100S_{\text{אמיתי}} = S_{\text{שרטוט}} \times 100
Sאמיתי=Sשרטוט×1002S_{\text{אמיתי}} = S_{\text{שרטוט}} \times 100^2

בקנה מידה 1:1001 : 100 כל אורך מוכפל ב-100 — ולכן השטח מוכפל ב-1002=10,000100^2 = 10{,}000.

בתכנית דירה בקנה מידה 1:1001 : 100, מרפסת מופיעה כמלבן 3×23 \times 2 ס״מ. מהו שטחה האמיתי, במ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

6 מ״ר. המידות האמיתיות הן 300 ו-200 ס״מ, כלומר 3 ו-2 מטרים — ומכפלתן 6 מ״ר. אפשר גם דרך השטח: 6 סמ״ר×1002=60,0006 \ \text{סמ״ר} \times 100^2 = 60{,}000 סמ״ר, וזה בדיוק 6 מ״ר.

בשרטוט בקנה מידה 1:50 חדר נראה 8 ס״מ. מה גודלו האמיתי?

להציג את התשובה והפתרון

4 מטרים — 8×50=4008 \times 50 = 400 ס״מ.

תרגילים

מפה ומציאות

תרגיל 1

במפה בקנה מידה 1:50,0001 : 50{,}000, מרחק של 8 ס״מ. מהו המרחק האמיתי בקילומטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

8×50,000=400,0008 \times 50{,}000 = 400{,}000

כופלים — מהמפה למציאות

400,000 ס״מ400{,}000 \ \text{ס״מ}

ביחידה של המקור

:100,000=4 ק״מ: 100{,}000 = 4 \ \text{ק״מ}

ממירים

שני שלבים נפרדים: קנה מידה, ואז המרת יחידות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

קנה מידה 1:100,0001 : 100{,}000. מרחק אמיתי 3 ק״מ. מה אורכו על המפה בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

3 ק״מ=300,000 ס״מ3 \ \text{ק״מ} = 300{,}000 \ \text{ס״מ}

ממירים קודם

300,000:100,000=3300{,}000 : 100{,}000 = 3

ומחלקים בקנה המידה

מהמציאות למפה — חילוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

קנה מידה 1:2001 : 200. מה המשמעות?

  1. הצורה קטנה פי 200 מהשרטוט
  2. ס״מ אחד על השרטוט הוא 200 ס״מ במציאות
  3. ס״מ אחד במציאות הוא 200 ס״מ בשרטוט
  4. השרטוט גדול פי 200
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ס״מ אחד על השרטוט הוא 200 ס״מ במציאות

הפתרון:

1→2001 \to 200

מהשרטוט למציאות

המציאות תמיד הצד הגדול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בשרטוט בקנה מידה 1:251 : 25, חדר מופיע באורך 16 ס״מ. מהו אורכו האמיתי במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

16×25=40016 \times 25 = 400

כופלים

400 ס״מ=4 מטר400 \ \text{ס״מ} = 4 \ \text{מטר}

ממירים למטרים

מאה סנטימטר במטר — לכן מחלקים ב-100.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מרחק אמיתי 500 מטר מופיע במפה כ-2 ס״מ. מהו קנה המידה 1:n1 : n? כתבו את nn.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25000

הפתרון:

500 מטר=50,000 ס״מ500 \ \text{מטר} = 50{,}000 \ \text{ס״מ}

ליחידה משותפת

50,000:2=25,00050{,}000 : 2 = 25{,}000

כמה מציאות בכל ס״מ של מפה

קנה מידה נמצא תמיד אחרי שמביאים את שני הגדלים לאותה יחידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מפה 1:200,000. מרחק אמיתי 10 ק״מ — כמה ס״מ על המפה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

10 ק״מ=1,000,000 ס״מ10 \ \text{ק״מ} = 1{,}000{,}000 \ \text{ס״מ}
1,000,000:200,000=51{,}000{,}000 : 200{,}000 = 5

בקנה מידה חייבים לעבוד באותה יחידה. ממירים קודם הכול לסנטימטרים, ורק אז מחלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

שרטוט 1:50. שולחן שאורכו 2 מטר — כמה ס״מ בשרטוט?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

200:50=4200 : 50 = 4

קנה מידה 1:50 אומר שכל סנטימטר בשרטוט הוא 50 במציאות — ולכן מהמציאות אל השרטוט מחלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

דגם מטוס בקנה מידה 1:80. אורך הדגם 25 ס״מ. מה אורך המטוס במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

25×80=2000 ס״מ25 \times 80 = 2000 \ \text{ס״מ}
=20 מטר= 20 \ \text{מטר}

כאן הכיוון הפוך: מהדגם אל המציאות כופלים. ואחרי הכפל ממירים לסנטימטרים למטרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

על מפה 1:25,000 שביל של 4.4 ס״מ. מה אורכו האמיתי בק״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.1

הפתרון:

4.4×25,000=110,000 ס״מ4.4 \times 25{,}000 = 110{,}000 \ \text{ס״מ}
=1.1 ק״מ= 1.1 \ \text{ק״מ}

קודם כופלים בקנה המידה, ואז ממירים סנטימטרים לקילומטרים. שני שלבים — ורוב הטעויות הן בשני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חדר 4 על 3 מטרים משורטט בקנה מידה 1:100. מה שטח השרטוט בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

400:100=4  300:100=3\begin{aligned}400 : 100 &= 4 \ \\ \ 300 : 100 &= 3\end{aligned}

בס״מ

4×3=124 \times 3 = 12

השטח מצטמק פי 100 בריבוע — כל ממד בנפרד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • 1 מטר=100 ס״מ1 \ \text{מטר} = 100 \ \text{ס״מ}
  • 1 ק״מ=1000 מטר1 \ \text{ק״מ} = 1000 \ \text{מטר}
  • 1 ק״מ=100,000 ס״מ1 \ \text{ק״מ} = 100{,}000 \ \text{ס״מ}
  • ולכן קילומטר הוא מאה אלף סנטימטר — המספר שחוזר בכל שאלת מפה.
  • מטר לסנטימטר.
  • קילומטר למטר.
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1 מטר=100 ס״מ1 \ \text{מטר} = 100 \ \text{ס״מ} — מטר לסנטימטר. · 1 ק״מ=1000 מטר1 \ \text{ק״מ} = 1000 \ \text{מטר} — קילומטר למטר. · 1 ק״מ=100,000 ס״מ1 \ \text{ק״מ} = 100{,}000 \ \text{ס״מ} — ולכן קילומטר הוא מאה אלף סנטימטר — המספר שחוזר בכל שאלת מפה.

הפתרון:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הגדלה

תרגיל 12

אורכה האמיתי של חיפושית 0.60.6 ס״מ, ובציור היא 6 ס״מ. קנה המידה הוא n:1n : 1 — מהו nn?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

6:0.66 : 0.6

ציור ביחס למציאות

=60:6=10:1= 60 : 6 = 10 : 1

מכפילים ב-10 ומצמצמים

כאן הציור גדול מן המציאות, ולכן קנה המידה נכתב 10:110 : 1 ולא 1:101 : 10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

במוזיאון דגם של כדור הארץ שקוטרו מטר אחד. קוטר כדור הארץ האמיתי כ-12,500 ק״מ. קנה המידה הוא 1:n1 : n — מהו nn?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12500000

הפתרון:

12,500 ק״מ=12,500,000 מטר12{,}500 \ \text{ק״מ} = 12{,}500{,}000 \ \text{מטר}

מעבירים לאותה יחידה כמו הדגם

1:12,500,0001 : 12{,}500{,}000

מטר אחד מול המציאות

ההמרה היא כל השאלה: בלעדיה מתקבל 1:12,5001 : 12{,}500, פי אלף מן התשובה הנכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שטח ונפח

תרגיל 14

דגם בקנה מידה 1:5001 : 500. פי כמה גדול שטח הבניין האמיתי משטח הדגם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 250000

הפתרון:

n=500n = 500

יחס האורכים

n2=5002=250,000\begin{aligned}n^2 &= 500^2 \\ &= 250{,}000\end{aligned}

יחס השטחים

הנפח, לעומת זאת, גדול פי 5003500^3 — מאה עשרים וחמישה מיליון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

בתכנית דירה בקנה מידה 1:1001 : 100, חדר מופיע כמלבן 4×34 \times 3 ס״מ. מהו שטחו האמיתי, במ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

4×100=400 ס״מ=4 מטר\begin{aligned}4 \times 100 &= 400 \ \text{ס״מ} \\ &= 4 \ \text{מטר}\end{aligned}

האורך האמיתי

3×100=300 ס״מ=3 מטר\begin{aligned}3 \times 100 &= 300 \ \text{ס״מ} \\ &= 3 \ \text{מטר}\end{aligned}

הרוחב האמיתי

4⋅3=124 \cdot 3 = 12

השטח במ״ר

דרך שנייה: 12 סמ״ר×1002=120,00012 \ \text{סמ״ר} \times 100^2 = 120{,}000 סמ״ר, ובמ״ר זה 12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

בשרטוט בקנה מידה 1:501 : 50 מרפסת מופיעה כריבוע שצלעו 4 ס״מ. מהו שטחה האמיתי?

  1. 16 מ״ר
  2. 2 מ״ר
  3. 8 מ״ר
  4. 4 מ״ר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 4 מ״ר

הפתרון:

4×50=200 ס״מ=2 מטר\begin{aligned}4 \times 50 &= 200 \ \text{ס״מ} \\ &= 2 \ \text{מטר}\end{aligned}

הצלע האמיתית

2⋅2=42 \cdot 2 = 4

השטח במ״ר

16 מ״ר הוא שטח השרטוט מוכפל בקנה המידה פעם אחת — הטעות הקלאסית. השטח דורש את קנה המידה בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

בקנה מידה 1:2001 : 200, שטח אמיתי גדול פי 200 משטח השרטוט.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

n2=2002n^2 = 200^2

שטח — שני אורכים

=40,000= 40{,}000

לא נכון. פי 200 גדלים האורכים בלבד. השטח גדל פי 40,000.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

תכנית בקנה מידה 1:1001 : 100

קטע של 5 ס״מ בתכנית הוא ____ מטר במציאות, ומלבן של 5 על 2 ס״מ בתכנית הוא ____ מ״ר במציאות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: קטע של 5 ס״מ בתכנית הוא 5 מטר במציאות, ומלבן של 5 על 2 ס״מ בתכנית הוא 10 מ״ר במציאות.

הפתרון:

5×100=500 ס״מ=5 מטר\begin{aligned}5 \times 100 &= 500 \ \text{ס״מ} \\ &= 5 \ \text{מטר}\end{aligned}
5⋅2=10 מ״ר5 \cdot 2 = 10 \ \text{מ״ר}

המידות האמיתיות 5 ו-2 מטרים

המספר 100 מופיע פעם אחת לאורך ופעמיים לשטח — וזו כל ההבחנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מפה ומציאות

תרגיל 19

במפה בקנה מידה 1:50,0001 : 50{,}000 — כופלים או מחלקים?

  • כופלים ב-50,000
  • מחלקים ב-50,000
  • אורך אמיתי של גשר, ורוצים לשרטט אותו
  • אורך של שביל על המפה, ורוצים לדעת כמה ללכת
  • המרחק בין ערים לפי שלט בכביש, ורוצים לסמן אותו במפה
  • מדדנו על המפה, ורוצים את המרחק האמיתי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מדדנו על המפה, ורוצים את המרחק האמיתי — כופלים ב-50,000 · אורך אמיתי של גשר, ורוצים לשרטט אותו — מחלקים ב-50,000 · המרחק בין ערים לפי שלט בכביש, ורוצים לסמן אותו במפה — מחלקים ב-50,000 · אורך של שביל על המפה, ורוצים לדעת כמה ללכת — כופלים ב-50,000

הפתרון:

מפה→×50,000מציאות\text{מפה} \xrightarrow{\times 50{,}000} \text{מציאות}

המציאות גדולה

מציאות→:50,000מפה\text{מציאות} \xrightarrow{: 50{,}000} \text{מפה}

המפה קטנה

בדיקת שכל: המציאות תמיד גדולה מהמפה. מהמפה למציאות — כופלים. מהמציאות למפה — מחלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

במפה בקנה מידה 1:100,0001 : 100{,}000 יש דרך שאורכה באמת 6 ק״מ. סמנו על הסרגל את אורכה על המפה, בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

6 ק״מ=600,000 ס״מ6 \text{ ק״מ} = 600{,}000 \text{ ס״מ}

ממירים לס״מ

600,000:100,000=6600{,}000 : 100{,}000 = 6

מחלקים בקנה המידה

בקנה מידה 1:100,0001 : 100{,}000, כל ס״מ על המפה הוא בדיוק ק״מ אחד. לכן 6 ק״מ הם 6 ס״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

מפה בקנה מידה 1:20,0001 : 20{,}000. השלימו את הטבלה.

על המפה (ס״מ)במציאות (מטר)
1200
3____
____1400
12.5____
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3: 600 · 12.5: 2500

הפתרון:

1×20,000=20,000 ס״מ=200 מטר\begin{aligned}1 \times 20{,}000 &= 20{,}000 \text{ ס״מ} \\ &= 200 \text{ מטר}\end{aligned}

ס״מ אחד על המפה

3×200=6003 \times 200 = 600

ומשם כופלים

כדאי להתחיל מס״מ אחד: הוא 200 מטר. מהמציאות למפה מחלקים: 1400:200=71400 : 200 = 7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

שורה אחת שגויה — מצאו אותה. נתון: מפה בקנה מידה 1:25,0001 : 25{,}000, ועליה 6 ס״מ.

6×25,000=150,000 ס״מ6 \times 25{,}000 = 150{,}000 \text{ ס״מ}
1 ק״מ=100,000 ס״מ1 \text{ ק״מ} = 100{,}000 \text{ ס״מ}
150,000 ס״מ=15 ק״מ150{,}000 \text{ ס״מ} = 15 \text{ ק״מ}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 150,000 ס״מ=15 ק״מ150{,}000 \text{ ס״מ} = 15 \text{ ק״מ} → 150,000 ס״מ=1.5 ק״מ150{,}000 \text{ ס״מ} = 1.5 \text{ ק״מ}

הפתרון:

150,000:100,000=1.5150{,}000 : 100{,}000 = 1.5

מחלקים במאה אלף

בק״מ יש מאה אלף ס״מ, לא עשרת אלפים. 15 ק״מ ברגל ממפה של 6 ס״מ — זה הסימן שמשהו לא בסדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

מרחק אמיתי של 2 ק״מ מופיע במפה כ-4 ס״מ. השלימו.

2 ק״מ הם ____ ס״מ, ולכן קנה המידה הוא 1:1 : ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2 ק״מ הם 200000 ס״מ, ולכן קנה המידה הוא 1:1 : 50000.

הפתרון:

2 ק״מ=200,000 ס״מ2 \text{ ק״מ} = 200{,}000 \text{ ס״מ}

קודם אותה יחידה

200,000:4=50,000200{,}000 : 4 = 50{,}000

כמה במציאות לס״מ אחד

קנה מידה הוא יחס בין שני גדלים באותה יחידה. 4:24 : 2 אינו קנה מידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

סדרו את המפות מזו שבה ס״מ אחד שווה הכי מעט במציאות, לזו שבה הוא שווה הכי הרבה.

  • 1:1,000,0001 : 1{,}000{,}000
  • 1:10,0001 : 10{,}000
  • 1:50,0001 : 50{,}000
  • 1:5001 : 500
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1:5001 : 500 · 1:10,0001 : 10{,}000 · 1:50,0001 : 50{,}000 · 1:1,000,0001 : 1{,}000{,}000

הפתרון:

1 ס״מ=5 מטר1 \text{ ס״מ} = 5 \text{ מטר}

ב-1:5001 : 500

1 ס״מ=10 ק״מ1 \text{ ס״מ} = 10 \text{ ק״מ}

ב-1:1,000,0001 : 1{,}000{,}000

ככל שהמספר השני גדול יותר, המפה מראה שטח גדול יותר — ופחות פרטים. תכנית של דירה היא 1:1001 : 100, מפה של המדינה היא בערך 1:1,000,0001 : 1{,}000{,}000.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

א. מהו המרחק האמיתי מהחניה למעיין, בק״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

6×25,000=150,000 ס״מ6 \times 25{,}000 = 150{,}000 \text{ ס״מ}

כופלים בקנה המידה

150,000:100,000=1.5150{,}000 : 100{,}000 = 1.5

לק״מ

קודם קנה המידה, ואחר כך ההמרה — שני צעדים נפרדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

ב. מהו המרחק האמיתי מהמעיין למערה, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1000

הפתרון:

4×25,000=100,000 ס״מ4 \times 25{,}000 = 100{,}000 \text{ ס״מ}
100,000:100=1000100{,}000 : 100 = 1000

למטרים מחלקים ב-100

שימו לב ליחידה: 1000 מטר הם ק״מ אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

ג. כמה ק״מ הולכים בכל המסלול, מהחניה עד המערה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

6+4=10 ס״מ6 + 4 = 10 \text{ ס״מ}

אפשר לחבר על המפה

10×25,000=250,000 ס״מ=2.5 ק״מ\begin{aligned}10 \times 25{,}000 &= 250{,}000 \text{ ס״מ} \\ &= 2.5 \text{ ק״מ}\end{aligned}

אפשר לחבר על המפה ואחר כך לכפול, או לכפול כל קטע ואחר כך לחבר: 1.5+1=2.51.5 + 1 = 2.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

ד. הולכים 4 ק״מ בשעה. כמה זמן לוקח כל המסלול?

  1. 37.537.5 דקות
  2. 10 דקות
  3. 1.61.6 שעות
  4. 2.52.5 שעות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 37.537.5 דקות

הפתרון:

2.5:4=0.625 שעה2.5 : 4 = 0.625 \text{ שעה}

זמן = דרך חלקי מהירות

0.625×60=37.50.625 \times 60 = 37.5

בדקות

1.61.6 הוא 4:2.54 : 2.5 — החילוק הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הגדלה

תרגיל 29

בציור בקנה מידה 4:14 : 1, נמלה שאורכה 3 ס״מ במציאות מצוירת באורך 12 ס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

3×4=123 \times 4 = 12

בהגדלה הציור גדול פי 4

נכון: 12:3=4:112 : 3 = 4 : 1. המספר הגדול ראשון, כי הציור גדול מהמציאות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 30

התאימו כל קנה מידה למשמעות שלו

  • 1:1001 : 100
  • 1:10001 : 1000
  • 1:100,0001 : 100{,}000
  • 5:15 : 1
  • הציור גדול פי 5 מהמציאות
  • ס״מ אחד במפה הוא ק״מ אחד
  • ס״מ אחד בשרטוט הוא 10 מטר
  • ס״מ אחד בשרטוט הוא מטר אחד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1:1001 : 100 — ס״מ אחד בשרטוט הוא מטר אחד · 1:10001 : 1000 — ס״מ אחד בשרטוט הוא 10 מטר · 1:100,0001 : 100{,}000 — ס״מ אחד במפה הוא ק״מ אחד · 5:15 : 1 — הציור גדול פי 5 מהמציאות

הפתרון:

1000 ס״מ=10 מטר1000 \text{ ס״מ} = 10 \text{ מטר}
100,000 ס״מ=1 ק״מ100{,}000 \text{ ס״מ} = 1 \text{ ק״מ}

ב-5:15 : 1 המספר הגדול ראשון: זו הגדלה, לא הקטנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שטח ונפח

תרגיל 31

3322
התכנית, בס״מ

בתכנית בקנה מידה 1:2001 : 200 חדר מלבני נראה כמו בציור (במידות של התכנית). מה המידות האמיתיות של החדר?

  1. 60 מטר על 40 מטר
  2. 1.51.5 מטר על 1 מטר
  3. 6 מטר על 4 מטר
  4. 600 מטר על 400 מטר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 6 מטר על 4 מטר

הפתרון:

3×200=600 ס״מ=6 מטר\begin{aligned}3 \times 200 &= 600 \text{ ס״מ} \\ &= 6 \text{ מטר}\end{aligned}

האורך

2×200=400 ס״מ=4 מטר\begin{aligned}2 \times 200 &= 400 \text{ ס״מ} \\ &= 4 \text{ מטר}\end{aligned}

הרוחב

600 הם ס״מ, לא מטרים. חדר של 600 מטר הוא באורך של שישה מגרשי כדורגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 32

442.52.5
התכנית, בס״מ

בתכנית בקנה מידה 1:2001 : 200 חדר מלבני נראה כמו בציור (במידות של התכנית, בס״מ). מהו השטח האמיתי של החדר, במ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

4×200=800 ס״מ=8 מטר\begin{aligned}4 \times 200 &= 800 \text{ ס״מ} \\ &= 8 \text{ מטר}\end{aligned}

האורך

2.5×200=500 ס״מ=5 מטר\begin{aligned}2.5 \times 200 &= 500 \text{ ס״מ} \\ &= 5 \text{ מטר}\end{aligned}

הרוחב

8×5=408 \times 5 = 40

השטח

הדרך הבטוחה: קודם הופכים כל אורך למטרים, ורק אז כופלים. מי שכפל את השטח בשרטוט (1010 סמ״ר) ב-200 קיבל 2000 סמ״ר — וזה רק 0.20.2 מ״ר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 33

בתכנית בקנה מידה 1:501 : 50 שטח החדר 48 סמ״ר. מהו השטח האמיתי, במ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

502=250050^2 = 2500

שטח גדל פי ריבוע קנה המידה

48×2500=120,000 סמ״ר48 \times 2500 = 120{,}000 \text{ סמ״ר}
120,000:10,000=12120{,}000 : 10{,}000 = 12

במ״ר יש 100×100100 \times 100 סמ״ר

שני מלכודות: לכפול ב-50 במקום ב-50250^2, ולחלק ב-100 במקום ב-10,000 בהמרה למ״ר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מפה ומציאות

תרגיל 34

א. הסרגל מונח בין הבית של בנימין לבית של תמר. מהו המרחק ביניהם במציאות, בק״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

2.5×240,000=600,000 ס״מ2.5 \times 240{,}000 = 600{,}000 \text{ ס״מ}

קוראים את הסרגל וכופלים

600,000:100,000=6600{,}000 : 100{,}000 = 6

ממירים לק״מ

כל ס״מ על המפה הוא 2.42.4ק״מ, ולכן 2.5×2.4=62.5 \times 2.4 = 6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 35

ב. הסרגל מונח בין הבית של גדעון לבית של תמר. מהו המרחק ביניהם במציאות, בק״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.6

הפתרון:

1.5×240,000=360,000 ס״מ1.5 \times 240{,}000 = 360{,}000 \text{ ס״מ}

קוראים את הסרגל וכופלים

360,000:100,000=3.6360{,}000 : 100{,}000 = 3.6

ממירים לק״מ

כל ס״מ על המפה הוא 2.42.4ק״מ, ולכן 1.5×2.4=3.61.5 \times 2.4 = 3.6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 36

ג. הסרגל מונח בין הבית של רינה לבית של גדעון. מהו המרחק ביניהם במציאות, בק״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.8

הפתרון:

2×240,000=480,000 ס״מ2 \times 240{,}000 = 480{,}000 \text{ ס״מ}

קוראים את הסרגל וכופלים

480,000:100,000=4.8480{,}000 : 100{,}000 = 4.8

ממירים לק״מ

כל ס״מ על המפה הוא 2.42.4ק״מ, ולכן 2×2.4=4.82 \times 2.4 = 4.8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 37

ד. בית הספר של רינה נמצא 7.27.2 ק״מ מביתה. כמה ס״מ זה על המפה? סמנו על הסרגל.

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

7.2 ק״מ=720,000 ס״מ7.2 \text{ ק״מ} = 720{,}000 \text{ ס״מ}
720,000:240,000=3720{,}000 : 240{,}000 = 3

מהמציאות למפה מחלקים

או בקיצור: 7.2:2.4=37.2 : 2.4 = 3, כי כל ס״מ הוא 2.42.4 ק״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שטח ונפח

תרגיל 38

א. מהו קנה המידה של התכנית? הוא 1:n1 : n — כתבו את nn.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

300:6=50300 : 6 = 50

ס״מ אחד בתכנית הוא 50 ס״מ במציאות

קנה המידה 1:501 : 50. משווים שני אורכים של אותו קיר: בתכנית ובמציאות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 39

ב. מה אורך הסלון בתכנית, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.2

הפתרון:

360:50=7.2360 : 50 = 7.2

מהמציאות לתכנית מחלקים

הסלון באורך 3.63.6 מטר באמת, ו-7.27.2 ס״מ בתכנית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 40

ג. מה רוחב הסלון בתכנית, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.6

הפתרון:

280:50=5.6280 : 50 = 5.6

אותה פעולה, לצלע השנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 41

ד. מה שטח הסלון בתכנית, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40.32

הפתרון:

7.2×5.6=40.327.2 \times 5.6 = 40.32

אורך כפול רוחב, בתכנית

בדיקה דרך השטח האמיתי: 360×280=100,800360 \times 280 = 100{,}800 סמ״ר, וחלקי 502=250050^2 = 2500 זה 40.3240.32.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 42

ה. מה השטח האמיתי של מרפסת השמש, במ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.4

הפתרון:

360 ס״מ=3.6 מטר  150 ס״מ=1.5 מטר\begin{aligned}360 \text{ ס״מ} &= 3.6 \text{ מטר} \ \\ \ 150 \text{ ס״מ} &= 1.5 \text{ מטר}\end{aligned}

קודם למטרים

3.6×1.5=5.43.6 \times 1.5 = 5.4

המידות בתכנית כבר אמיתיות: אין כאן קנה מידה בכלל, רק המרה למטרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 43

ו. משרטטים את אותה דירה מחדש, בקנה מידה 1:1001 : 100. מה יהיה אורך הסלון בתכנית החדשה?

  1. 14.414.4 ס״מ
  2. 36 ס״מ
  3. 3.63.6 ס״מ
  4. 7.27.2 ס״מ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 3.63.6 ס״מ

הפתרון:

360:100=3.6360 : 100 = 3.6

קנה מידה קטן יותר (1:1001 : 100 במקום 1:501 : 50) נותן תכנית קטנה יותר: חצי מ-7.27.2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 44

לתחרות על מגדל חדש מגישים דגם בקנה מידה 1:5001 : 500. פי כמה גדול כל דבר במגדל האמיתי?

  • פי 500
  • הרבה יותר מפי 500
  • גובה המגדל
  • היקף הבסיס
  • נפח המגדל
  • רוחב המגדל
  • שטח הגג
  • שטח החלונות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: גובה המגדל — פי 500 · רוחב המגדל — פי 500 · היקף הבסיס — פי 500 · שטח הגג — הרבה יותר מפי 500 · נפח המגדל — הרבה יותר מפי 500 · שטח החלונות — הרבה יותר מפי 500

הפתרון:

5002=250,000500^2 = 250{,}000

שטח

5003=125,000,000500^3 = 125{,}000{,}000

נפח

כל אורך — גובה, רוחב, היקף — פי 500. שטח פי 5002500^2, ונפח פי 5003500^3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 45

דגם בקנה מידה 1:5001 : 500. התאימו כל גודל למספר הפעמים שהוא גדול במציאות.

  • רוחב המגדל
  • שטח הרצפה
  • נפח המגדל
  • פי 125,000,000
  • פי 250,000
  • פי 500
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: רוחב המגדל — פי 500 · שטח הרצפה — פי 250,000 · נפח המגדל — פי 125,000,000

הפתרון:

k=500  k2=250,000  k3=125,000,000\begin{aligned}k &= 500 \ \\ \ k^2 &= 250{,}000 \ \\ \ k^3 &= 125{,}000{,}000\end{aligned}

אורך — kk, שטח — k2k^2, נפח — k3k^3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 46

131
הדגם
5001500500
המגדל: כל אורך פי 500

דגם של מגדל בקנה מידה 1:5001 : 500. פי כמה גדול שטח הגג האמיתי משטח הגג בדגם?

  1. פי 125,000,000
  2. פי 500
  3. פי 1,000
  4. פי 250,000
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד פי 250,000

הפתרון:

500×500=250,000500 \times 500 = 250{,}000

הגג גדל פי 500 באורך וגם ברוחב

הטעות הנפוצה: «פי 500 גם לשטח». אבל שטח הוא אורך כפול רוחב, וכל אחד מהם גדל פי 500. 125,000,000 הוא הנפח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הגדלה

תרגיל 47

חיפושית שאורכה במציאות 0.80.8 ס״מ מצוירת באורך 6.46.4 ס״מ, כמו בציור. קנה המידה הוא n:1n : 1 — מהו nn?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

6.4:0.8=86.4 : 0.8 = 8

ציור חלקי מציאות

הגדלה פי 8: המספר הגדול ראשון, 8:18 : 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 48

נמלה שאורכה 0.40.4 ס״מ מצוירת באורך 6 ס״מ. קנה המידה הוא n:1n : 1 — מהו nn?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

6:0.4=156 : 0.4 = 15

אפשר גם במילימטרים: 60:4=1560 : 4 = 15.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 49

פרעוש שאורכו 2 מ״מ מצויר בספר באורך 5 ס״מ. קנה המידה הוא n:1n : 1 — מהו nn?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

5 ס״מ=50 מ״מ5 \text{ ס״מ} = 50 \text{ מ״מ}

קודם אותה יחידה

50:2=2550 : 2 = 25

מי שחילק 5:25 : 2 קיבל 2.52.5 — כי השווה ס״מ למ״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 50

ובכיוון ההפוך: מכונית שאורכה 4 מטר מצוירת באורך 8 ס״מ. קנה המידה הוא 1:n1 : n — מהו nn?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

4 מטר=400 ס״מ4 \text{ מטר} = 400 \text{ ס״מ}
8:400=1:508 : 400 = 1 : 50

ציור למציאות

כאן המציאות גדולה, ולכן זו הקטנה: המספר הגדול שני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 51

בציור בקנה מידה 10:110 : 1 החיפושית נראית קטנה יותר מבמציאות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

10:110 : 1

ציור : מציאות — הציור גדול פי 10

המספר הראשון שייך לציור. 10:110 : 1 הוא הגדלה: 6 ס״מ בציור הם 0.60.6 ס״מ באמת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת