יחס בגאומטריה · יחס, פרופורציה וקנה מידה · כיתה ח׳

כשמותחים צורה פי $k$ — כל צלע כפול $k$ — הזוויות אינן זזות כלל, אבל לא כל הגדלים גדלים באותו קצב. זה הרעיון היחיד של העמוד, והוא מסביר את רוב השאלות ה«קשות» בפרק.

\begin{aligned}\frac{P_2}{P_1} &= k \qquad \frac{S_2}{S_1} \\ &= k^2 \qquad \frac{V_2}{V_1} \\ &= k^3\end{aligned}

היקף, שטח ונפח — כל אחד והחזקה שלו

k

היקף הוא סכום של אורכים, ולכן הוא גדל פי $k$ , כמו כל אורך.

k \cdot k = k^2

שטח הוא אורך כפול אורך. שניהם גדלו פי $k$ .

k \cdot k \cdot k = k^3

נפח הוא שלושה אורכים שמוכפלים.

מספר החזקה הוא מספר האורכים שמוכפלים זה בזה. כך אין צורך לשנן.

צלעות משולש הוכפלו פי 3. פי כמה גדל שטחו?

להציג את התשובה והפתרון

פי 9. השטח הוא מכפלה של שני אורכים, וכל אחד מהם גדל פי 3.

היחס בין הצלעות לא זז

נקודה שנשאלת שוב ושוב: אם כל הצלעות הוכפלו באותו מספר, היחס ביניהן נשאר בדיוק כשהיה. זה בדיוק אותו כלל שראינו על מספרים — כפל שני הצדדים באותו גורם.

מותחים ובודקים

היחס בין הניצבים במשולש ישר זווית הוא $3 : 5$ . מאריכים כל צלע פי 2. מה קורה ליחס?

3x \ , \ 5x

הניצבים המקוריים

6x \ , \ 10x

אחרי ההכפלה

6x : 10x = 3 : 5

אותו יחס — ה- $2$ הצטמצם

שתי הטעויות של יחס בגאומטריה.

\begin{aligned}k &= 3 \ \Rightarrow \ \frac{S_2}{S_1} \\ &= 3\end{aligned}

\frac{S_2}{S_1} = 9

השטח לעולם אינו גדל כמו האורך. אם הצלעות פי 3 — השטח פי 9.

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= 16 \ \Rightarrow \ k \\ &= 16\end{aligned}

\begin{aligned}k &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

ובכיוון ההפוך: מיחס שטחים אל יחס הצלעות מוציאים שורש.

מלבן שצלעותיו ביחס נתון

בכיתה ח כותבים את הצלעות בעזרת אותיות, וכל שאלה על היקף או שטח הופכת לחישוב אלגברי קצר. אם רוחב מלבן $2a$ ואורכו $3a$ , אז:

2a : 3a = 2 : 3

היחס בין הרוחב לאורך — ה- $a$ מצטמצם.

\begin{aligned}P &= 2(2a + 3a) \\ &= 10a\end{aligned}

ההיקף, כפונקציה של $a$ .

\begin{aligned}S &= 2a \cdot 3a \\ &= 6a^2\end{aligned}

השטח — ולכן הוא נמדד ב- $a^2$ .

מכפילים צלע אחת בלבד

מלבן שאורכו $3a$ ורוחבו $2a$ . מכפילים את הרוחב פי 2. מהו היחס בין שטח המלבן החדש לשטח המקורי?

\begin{aligned}S_1 &= 2a \cdot 3a \\ &= 6a^2\end{aligned}

השטח המקורי

\begin{aligned}S_2 &= 4a \cdot 3a \\ &= 12a^2\end{aligned}

הרוחב הוכפל, האורך לא

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= \frac{12a^2}{6a^2} \\ &= 2\end{aligned}

היחס — $2 : 1$

שימו לב להבדל: כאן הוכפלה צלע אחת בלבד, ולכן השטח גדל פי 2 ולא פי 4. הכלל $k^2$ תקף רק כשכל הצלעות גדלו באותו יחס.

משולשים בעלי אותו גובה

זה הכלי החזק ביותר בפרק. לשני משולשים עם אותו גובה, השטחים נמצאים ביחס הבסיסים.

\begin{aligned}S &= \frac{a \cdot h}{2} \quad \Longrightarrow \quad \frac{S_1}{S_2} \\ &= \frac{a_1}{a_2}\end{aligned}

כשה- $h$ משותף, הוא מצטמצם

אין כאן שום נוסחה חדשה. הגובה מ- $A$ אל הישר $BC$ הוא אותו גובה עצמו לשני המשולשים, כי שני הבסיסים יושבים על אותו ישר — ולכן הוא מצטמצם, ונשאר רק יחס הבסיסים.

נקודה $D$ על $BC$ מקיימת $BD : DC = 2 : 5$ . מהו היחס בין שטח $ABD$ לשטח כל המשולש $ABC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$2 : 7$ . הבסיס $BD$ הוא שתי מנות מתוך שבע, והגובה משותף — לכן גם השטח הוא $\frac{2}{7}$ מן השלם.

יחס על קטע

כשנקודות יושבות על ישר אחד, היחס בין המרחקים נקרא לפעמים «חלוקת קטע». המהלך זהה, והמלכודת היחידה היא שכשמזיזים נקודה — שני המרחקים משתנים בבת אחת.

להזיז נקודה

על מסילה ישרה תלויות שלוש תמונות בנקודות $A$ , $B$ , $C$ , כאשר $AB = 160$ ס״מ ו- $BC = 240$ ס״מ. מזיזים את $B$ ב-40 ס״מ לכיוון $A$ . מהו היחס החדש $AB : BC$ ?

\begin{aligned}AB &= 160 - 40 \\ &= 120\end{aligned}

התקרבנו ל- $A$

\begin{aligned}BC &= 240 + 40 \\ &= 280\end{aligned}

ובאותה מידה התרחקנו מ- $C$

120 : 280 = 3 : 7

מחלקים ב-40

מה שקורה למרחק השני.

\begin{aligned}AB &= 120 \ \\ \ BC &= 240\end{aligned}

\begin{aligned}AB &= 120 \ \\ \ BC &= 280\end{aligned}

$C$ לא זזה, אבל $B$ כן — לכן $BC$ גדל בדיוק במה ש- $AB$ קטן. סכום שני הקטעים, $AC$ , נשאר 400.

תרגילים

הגדלת צורה

תרגיל 1

צלעות משולש הוכפלו פי 4. פי כמה גדל שטחו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

k = 4

יחס ההגדלה

k^2 = 16

השטח גדל בריבוע היחס

ההיקף, לעומת זאת, גדל פי 4 בלבד.

הצלעות פי	ההיקף פי	השטח פי
2	2	4
3	____	____
____	5	____
10	____	____
____	____	16

היחס בין הצלעות לא זז

מלבן שצלעותיו ביחס נתון

משולשים בעלי אותו גובה

יחס על קטע

תרגילים

הגדלת צורה

מלבן עם אותיות

משולשים בעלי אותו גובה

יחס על קטע

היקף ושטח

הגדלת צורה

מלבן עם אותיות

משולשים בעלי אותו גובה

יחס על קטע

הגדלת צורה

מלבן עם אותיות

יחס על קטע

השיעור הבא מחכה ב-elev