סדרה 2 — בינוני · חזקות והפונקציה המעריכית · כיתה י״ב

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים: שינוי בסיס, גורם משותף, הצבה עם פתרון שנפסל, אי-שוויון ריבועי, וטרנספורמציות.

אחרי הצבה $t=a^x$ : לפסול כל $t \le 0$ , ואז לחזור ל- $x$ .

תרגילים

תרגיל 1

פתרו את המשוואה $8^{x-1}=4^{x+1}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2^{3x-3}=2^{2x+2}

בסיס $2$

\begin{aligned}3x-3 &= 2x+2 \ \Rightarrow\ x \\ &= 5\end{aligned}

$x=5$ . כופלים את כל המעריך: $3(x-1)=3x-3$ , לא $3x-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו את המשוואה $3^{x+2}+3^{x}=90$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

3^x(9+1)=90

גורם משותף

\begin{aligned}3^x &= 9 \ \Rightarrow\ x \\ &= 2\end{aligned}

$x=2$ . $3^{x+2}=9 \cdot 3^x$ , ולא $3^x+9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו את המשוואה $4^{x}-2^{x+1}-8=0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}t &= 2^x \ \Rightarrow\ t^2-2t-8 \\ &= 0\end{aligned}

$2^{x+1}=2t$

t=4 \ \ (t=-2\ \text{נפסל})

\begin{aligned}2^x &= 4 \ \Rightarrow\ x \\ &= 2\end{aligned}

$x=2$ . $t=-2$ נפסל: $2^x$ חיובי. מי שכתב גם $x=-1$ חשב $2^{-1}=-2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו הפתרון של אי-השוויון $\left(\frac{1}{4}\right)^{x}>2^{x-6}$ ?

$x<-6$
$x>2$
$x>-2$
$x<2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x<2$

הפתרון:

\left(\frac{1}{4}\right)^x=2^{-2x}

הכול בבסיס $2$

-2x>x-6 \ \Rightarrow\ -3x>-6 \ \Rightarrow\ x<2

בסיס $2$ : הסימן נשאר; חילוק ב- $-3$ הופך

הנכונה: $x<2$ . הסימן מתהפך כאן פעם אחת: בחילוק ב- $-3$ , לא בבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו את אי-השוויון $2^{x^2} \le 2^{5x-6}$ . השלימו.

____ $\le x \le$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2 $\le x \le$ 3

הפתרון:

x^2 \le 5x-6

הבסיס $2>1$

(x-2)(x-3) \le 0

בין השורשים, כולל אותם. מי שכתב $x \le 2$ או $x \ge 3$ לקח את הצד הלא נכון של הפרבולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הגרף של $f(x)=a^{x}+1$ עובר בנקודה $(2,\,10)$ , כאשר $a>0$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}a^2+1 &= 10 \ \Rightarrow\ a^2 \\ &= 9\end{aligned}

a=3

$a=-3$ נפסל

$a=3$ . בסיס של פונקציה מעריכית חיובי, ולכן $-3$ נפסל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: לגרף של $f(x)=2^{x}+3$ אין נקודת חיתוך עם ציר ה- $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2^x>0 \ \Rightarrow\ f(x)>3

הטענה נכונה. האסימפטוטה $y=3$ מעל ציר ה- $x$ , והגרף מעל האסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פותרים את $3^{2x}-3^{x}=0$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

3^x\left(3^x-1\right)=0

\begin{aligned}3^x &= 0 \ \text{או}\ 3^x \\ &= 1\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או}\ x \\ &= 1\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=0 \ \text{או}\ x=1$ → $3^x=0\ \text{נפסל},\quad x=0$

הפתרון:

3^x>0

אין פתרון ל- $3^x=0$

\begin{aligned}3^x &= 1 \\ &= 3^0 \ \Rightarrow\ x \\ &= 0\end{aligned}

בשורה 3: $3^x=1$ נותן $x=0$ , ו- $3^x=0$ אין לו פתרון. אין כאן $x=1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מיינו את המשוואות: יש פתרון או אין?

יש פתרון
אין פתרון

$0.5^x=0$
$2^{x}-3=-2$
$2^x=\frac{1}{8}$
$3^x=-9$
$4^x=2$
$5^x+1=0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2^x=\frac{1}{8}$ — יש פתרון · $3^x=-9$ — אין פתרון · $5^x+1=0$ — אין פתרון · $4^x=2$ — יש פתרון · $0.5^x=0$ — אין פתרון · $2^{x}-3=-2$ — יש פתרון

הפתרון:

\begin{aligned}2^x &= \frac{1}{8}\Rightarrow x \\ &= -3 \qquad 4^x \\ &= 2\Rightarrow x \\ &= \frac{1}{2} \qquad 2^x \\ &= 1\Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

שלוש עם פתרון

a^x>0

לכן $a^x=-9$ , $a^x=-1$ ו- $a^x=0$ בלי פתרון

שואלים: האם הצד השני חיובי? $2^x-3=-2$ נראית שלילית, אבל היא $2^x=1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מה ההבדל בין הגרפים של $y=2^{x}+1$ ו- $y=2^{x+1}$ ?

הראשון: הזזה שמאלה ב- $1$ . השני: הזזה למעלה ב- $1$
אין הבדל: אלה אותו גרף
לשניהם אסימפטוטה $y=1$
הראשון: הזזה למעלה ב- $1$ ואסימפטוטה $y=1$ . השני: הזזה שמאלה ב- $1$ ואסימפטוטה $y=0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הראשון: הזזה למעלה ב- $1$ ואסימפטוטה $y=1$ . השני: הזזה שמאלה ב- $1$ ואסימפטוטה $y=0$

הפתרון:

2^x+1 \to 1 \qquad 2^{x+1} \to 0

האסימפטוטות

\begin{aligned}2^0+1 &= 2 \qquad 2^{0+1} \\ &= 2\end{aligned}

שניהם עוברים ב- $(0,2)$ , אבל אינם אותו גרף

שניהם חותכים את ציר ה- $y$ ב- $(0,2)$ , וזה המלכודת. האסימפטוטה מבדילה ביניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev