שאלה 3 בפורמט הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שאלה בפורמט הבגרות על סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים. המנה qq היא מספר מרוכב, ולכן כל צעד בסדרה הוא סיבוב ומתיחה.

תרגילים

תרגיל 1

בסדרה הנדסית z1=1+iz_1 = 1 + i ו-z4=−8+8iz_4 = -8 + 8i. א. חשבו את z4z1\frac{z_4}{z_1}.

  1. 88
  2. 8i8i
  3. −8-8
  4. −8i-8i
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 8i8i

הפתרון:

−8+8i1+i⋅1−i1−i=16i2\frac{-8 + 8i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{16i}{2}
=8i= 8i

z4z1=q3\frac{z_4}{z_1} = q^3: זה הצעד שמוביל אל qq.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ב. כמה ערכים אפשריים יש ל-qq?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

q3=8iq^3 = 8i
q=2 cis(30∘+120∘k)q = 2\,\text{cis}(30^\circ + 120^\circ k)

שלושה פתרונות

משוואה q3=wq^3 = w: שלושה פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ג. עבור q=2 cis 270∘=−2iq = 2\,\text{cis}\,270^\circ = -2i, מהו החלק הממשי של z2z_2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

z2=z1q=(1+i)(−2i)\begin{aligned}z_2 &= z_1 q \\ &= (1 + i)(-2i)\end{aligned}
=−2i−2i2=2−2i= -2i - 2i^2 = 2 - 2i

i2=−1i^2 = -1, ולכן −2i2=+2-2i^2 = +2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ד. עבור q=−2iq = -2i, מהו ∣z6∣|z_6|? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45.25

הפתרון:

∣z6∣=∣z1∣⋅∣q∣5=2⋅25\begin{aligned}|z_6| &= |z_1| \cdot |q|^5 \\ &= \sqrt{2} \cdot 2^5\end{aligned}
=322≈45.25= 32\sqrt{2} \approx 45.25

הערכים המוחלטים יוצרים סדרה הנדסית ממשית עם מנה ∣q∣=2|q| = 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ה. עבור q=−2iq = -2i, חשבו z1zˉ1+z2zˉ2+z3zˉ3+z4zˉ4z_1\bar{z}_1 + z_2\bar{z}_2 + z_3\bar{z}_3 + z_4\bar{z}_4.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 170

הפתרון:

zkzˉk=∣zk∣2z_k\bar{z}_k = |z_k|^2
∣zk∣2=2⋅4k−1|z_k|^2 = 2 \cdot 4^{k-1}

סדרה הנדסית עם מנה 44

2(1+4+16+64)=1702(1 + 4 + 16 + 64) = 170

zzˉz\bar{z} הוא ∣z∣2|z|^2: הסכום הוא סכום של סדרה הנדסית ממשית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ו. עבור q=−2iq = -2i, כל איברי הסדרה נמצאים על שני ישרים מאונכים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

θ1=45∘ θk+1=θk+270∘\begin{aligned}\theta_1 &= 45^\circ \\ \ \theta_{k+1} &= \theta_k + 270^\circ\end{aligned}
45∘,315∘,225∘,135∘,…45^\circ, 315^\circ, 225^\circ, 135^\circ, \ldots

הישרים y=xy = x ו-y=−xy = -x

כל צעד מסובב ב-270∘270^\circ, ולכן הזוויות חוזרות על ארבעה ערכים בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת