תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שנים-עשר תרגילים על כל הפרק: חשבון עם ii, מישור גאוס, הצגה קוטבית, דה-מואבר, שורשים ומקומות גאומטריים. מתחילים בקל ומסיימים באתגר ברמת הבגרות.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

מהו החלק הממשי של (2−i)(3+4i)(2 - i)(3 + 4i)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

6+8i−3i−4i2=10+5i6 + 8i - 3i - 4i^2 = 10 + 5i

−4i2=+4-4i^2 = +4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את i2026i^{2026}.

  1. −i-i
  2. ii
  3. −1-1
  4. 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג −1-1

הפתרון:

2026=4⋅506+22026 = 4 \cdot 506 + 2
i2026=i2=−1\begin{aligned}i^{2026} &= i^2 \\ &= -1\end{aligned}

השארית בחלוקה ב-4 היא 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו החלק המדומה של 7+i1−i\frac{7 + i}{1 - i}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

(7+i)(1+i)2=6+8i2=3+4i\begin{aligned}\frac{(7 + i)(1 + i)}{2} &= \frac{6 + 8i}{2} \\ &= 3 + 4i\end{aligned}

כופלים בצמוד של המכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו הארגומנט (במעלות) של z=3−iz = \sqrt{3} - i?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 330

הפתרון:

tan⁡θ=−13⇒α=30∘\begin{aligned}\tan\theta &= -\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \alpha \\ &= 30^\circ\end{aligned}
θ=360∘−30∘=330∘\begin{aligned}\theta &= 360^\circ - 30^\circ \\ &= 330^\circ\end{aligned}

רביע רביעי

החלק המדומה שלילי והממשי חיובי: רביע רביעי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 5

חשבו את ∣3+4i(1+i)2∣\left|\frac{3 + 4i}{(1 + i)^2}\right|.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

∣3+4i∣∣1+i∣2=52\frac{|3 + 4i|}{|1 + i|^2} = \frac{5}{2}

בלי לחשב את המנה עצמה: מספיקים הערכים המוחלטים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו z2−6z+25=0z^2 - 6z + 25 = 0. מהו הערך המוחלט של כל פתרון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

z=3±4iz = 3 \pm 4i

Δ=36−100=−64\Delta = 36 - 100 = -64

∣3±4i∣=5|3 \pm 4i| = 5

או בוייטה: ∣z∣2=zzˉ=25|z|^2 = z\bar{z} = 25, כי שני הפתרונות צמודים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו את (1+i31−i)12\left(\frac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i}\right)^{12}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -64

הפתרון:

2 cis 60∘2 cis 315∘=2 cis(−255∘)=2 cis 105∘\begin{aligned}\frac{2\,\text{cis}\,60^\circ}{\sqrt{2}\,\text{cis}\,315^\circ} &= \sqrt{2}\,\text{cis}(-255^\circ) \\ &= \sqrt{2}\,\text{cis}\,105^\circ\end{aligned}
(2)12 cis 1260∘=64 cis 180∘(\sqrt{2})^{12}\,\text{cis}\,1260^\circ = 64\,\text{cis}\,180^\circ

1260∘−3⋅360∘=180∘1260^\circ - 3 \cdot 360^\circ = 180^\circ

=−64= -64

הארגומנט של מנה הוא הפרש הארגומנטים, והאורך עולה בחזקה: (2)12=64(\sqrt{2})^{12} = 64.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהו הארגומנט הקטן ביותר (במעלות) של פתרון של z3=−8iz^3 = -8i?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

−8i=8 cis 270∘-8i = 8\,\text{cis}\,270^\circ
αk=90∘+120∘k\alpha_k = 90^\circ + 120^\circ k
2 cis 90∘=2i2\,\text{cis}\,90^\circ = 2i

בדיקה: (2i)3=−8i(2i)^3 = -8i

אחד הפתרונות הוא 2i2i.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהו הרדיוס של המקום הגאומטרי ∣z−1+2i∣=∣3−4i∣|z - 1 + 2i| = |3 - 4i|?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

∣z−(1−2i)∣=5|z - (1 - 2i)| = 5

אגף ימין הוא מספר: ∣3−4i∣=5|3 - 4i| = 5. זה הרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — אתגר

תרגיל 10

הפתרונות של z8=256z^8 = 256 הם קדקודים של מתומן משוכלל. מהו השטח שלו? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.31

הפתרון:

ρ=2568=2\begin{aligned}\rho &= \sqrt[8]{256} \\ &= 2\end{aligned}
S=8⋅12⋅4⋅sin⁡45∘=82\begin{aligned}S &= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sin 45^\circ \\ &= 8\sqrt{2}\end{aligned}
≈11.31\approx 11.31

שמונה משולשים עם זווית מרכזית של 45∘45^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מצאו את הערך החיובי של aa שעבורו ∣a+3i∣=∣1+2i∣⋅∣2−i∣|a + 3i| = |1 + 2i| \cdot |2 - i|.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

∣1+2i∣⋅∣2−i∣=5⋅5=5\begin{aligned}|1 + 2i| \cdot |2 - i| &= \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \\ &= 5\end{aligned}
a2+9=25⇒a=4\begin{aligned}a^2 + 9 &= 25 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

ערך מוחלט של מכפלה: מכפלת הערכים המוחלטים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

w=2 cis αw = 2\,\text{cis}\,\alpha, כאשר 0∘<α<90∘0^\circ < \alpha < 90^\circ. ידוע ש-w4w^4 הוא מספר ממשי שלילי. מצאו את α\alpha (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

w4=16 cis 4αw^4 = 16\,\text{cis}\,4\alpha
4α=180∘+360∘k4\alpha = 180^\circ + 360^\circ k

ממשי שלילי

0∘<α<90∘⇒α=45∘0^\circ < \alpha < 90^\circ \Rightarrow \alpha = 45^\circ

התנאי על α\alpha בוחר פתרון אחד מתוך כל הזוויות האפשריות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת