אסימפטוטה שקובעת פרמטר · הפונקציה המעריכית · כיתה י״ב

לפונקציה עם $e^x$ יש לעתים קרובות שתי אסימפטוטות אופקיות שונות: אחת כאשר $x \to -\infty$ ואחת כאשר $x \to +\infty$ . כשבשאלה יש פרמטר ונתון ש- $y = c$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה, לא יודעים באיזה צד. לכן כותבים שתי משוואות, ומקבלים בדרך כלל שני ערכים של הפרמטר.

שני צדדים, שתי משוואות

x \to -\infty

$e^x \to 0$ : מציבים $0$ במקום כל $e^x$

x \to +\infty

$e^x \to \infty$ : מחלקים את המונה ואת המכנה ב- $e^x$ , וכל $e^{-x}$ שואף ל- $0$

פעילות אינטראקטיבית

$f(x) = \frac{3e^x - 1}{e^x + 1} + b$ . בעבור אילו ערכים של $b$ הישר $y = 2$ הוא אסימפטוטה?

כאשר b שווה {b}, האסימפטוטה בשמאל בגובה {left}, והאסימפטוטה בימין בגובה {right}. מצאתם {found} מתוך {total} ערכים של b.

מצאתם את שניהם. בשמאל: $b - 1 = 2$ , ולכן $b = 3$ . בימין: $b + 3 = 2$ , ולכן $b = -1$ . כל ערך מעמיד את הקו הירוק בצד אחר.

הזיזו את $b$ . כל שינוי של $b$ מזיז את הגרף כולו למעלה או למטה, ואיתו את שתי האסימפטוטות. הפס הירוק הוא הישר $y = 2$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

למה יש כאן שני ערכים של $b$ , ולא אחד?

להציג את התשובה והפתרון

כי הנתון אומר רק ש- $y = 2$ הוא אסימפטוטה, ולא באיזה צד. בשמאל האסימפטוטה היא $y = b - 1$ , ובימין $y = b + 3$ . כל אחת מהן יכולה להיות שווה ל- $2$ , ולכן פותרים שתי משוואות.

$f(x) = \frac{2e^x + 1}{e^x + 3} + b$ , והישר $y = 1$ הוא אסימפטוטה

מחשבים את שני הגבולות, ומשווים כל אחד מהם ל- $1$ .

x \to -\infty : \frac{0 + 1}{0 + 3} + b = \frac{1}{3} + b

בשמאל מציבים $e^x = 0$

x \to +\infty : \frac{2 + e^{-x}}{1 + 3e^{-x}} + b \to 2 + b

בימין מחלקים ב- $e^x$

\begin{aligned}\frac{1}{3} + b &= 1 \Rightarrow b \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

אם האסימפטוטה בשמאל

\begin{aligned}2 + b &= 1 \Rightarrow b \\ &= -1\end{aligned}

אם האסימפטוטה בימין

אחרי שמצאתם שני ערכים, השאלה ממשיכה בדרך כלל עם אחד מהם: «הציבו את הערך הקטן מבין הערכים שמצאתם». קראו בעיון איזה ערך מבקשים, והציבו רק אותו.

אסימפטוטה אנכית שקובעת פרמטר

גם אסימפטוטה אנכית יכולה לקבוע פרמטר. אם נתון ש- $x = \ln 5$ הוא אסימפטוטה של $f(x) = \frac{1}{e^x - a}$ , אז המכנה מתאפס שם: $e^{\ln 5} - a = 0$ , כלומר $a = 5$ . כאן יש תשובה אחת בלבד, כי יש רק מקום אחד שבו המכנה מתאפס.

נתונה $f(x) = \frac{e^x + a}{e^x + 1}$ . האם יש ערך של $a$ שבעבורו האסימפטוטה בימין היא $y = 3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. כאשר $x \to +\infty$ מחלקים ב- $e^x$ ומקבלים $\frac{1 + ae^{-x}}{1 + e^{-x}} \to 1$ , לכל $a$ . הפרמטר משפיע רק על האסימפטוטה בשמאל, $y = a$ .

הטעות של הצד האחד.

\begin{aligned}b + 3 &= 2 \Rightarrow b \\ &= -1\end{aligned}

\begin{aligned}b - 1 &= 2 \;\lor\; b + 3 \\ &= 2\end{aligned}

מי שבודק רק את $+\infty$ מוצא ערך אחד, ומפסיד את השני. בשאלות האלה מבקשים כמעט תמיד את שני הערכים.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{3e^x - 1}{e^x + 1} + b$ , כאשר $b$ פרמטר. כאשר $x \to +\infty$ , הגרף מתקרב לישר $y = 5$ . מצאו את $b$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\frac{3 - e^{-x}}{1 + e^{-x}} + b \to 3 + b

מחלקים ב- $e^x$

\begin{aligned}3 + b &= 5 \Rightarrow b \\ &= 2\end{aligned}

$b = 2$ . כאן נאמר באיזה צד, ולכן יש תשובה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{3e^x - 1}{e^x + 1} + b$ . ידוע שהישר $y = 0$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה. מהם הערכים האפשריים של $b$ ?

$b = -1$ או $b = 3$
$b = 1$ או $b = -3$
$b = 1$ בלבד
$b = -3$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $b = 1$ או $b = -3$

הפתרון:

\begin{aligned}x \to -\infty : -1 + b &= 0 \Rightarrow b \\ &= 1\end{aligned}

\begin{aligned}x \to +\infty : 3 + b &= 0 \Rightarrow b \\ &= -3\end{aligned}

$b = 1$ או $b = -3$ . התשובה $b = -1$ או $b = 3$ מתקבלת ממי שמחליף סימנים בהעברת אגף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x + 4}{e^x + 2} + b$ . ידוע שהישר $y = 3$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה. מצאו את הערך הגדול מבין הערכים האפשריים של $b$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}x \to -\infty : \frac{4}{2} + b &= 2 + b \\ &= 3 \Rightarrow b \\ &= 1\end{aligned}

\begin{aligned}x \to +\infty : 1 + b &= 3 \Rightarrow b \\ &= 2\end{aligned}

\max(1, 2) = 2

$b = 2$ . בודקים את שני הצדדים, ורק אחר כך בוחרים את הערך שמבקשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{1}{e^x - a}$ . לגרף של הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית $x = \ln 5$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

e^{\ln 5} - a = 0

המכנה מתאפס על האסימפטוטה

\begin{aligned}5 - a &= 0 \Rightarrow a \\ &= 5\end{aligned}

$a = 5$ . זכרו: $e^{\ln 5} = 5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{ae^x}{e^x + 1} - 2$ . כאשר $x \to +\infty$ , הגרף מתקרב לישר $y = 4$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\frac{a}{1 + e^{-x}} - 2 \to a - 2

מחלקים ב- $e^x$

\begin{aligned}a - 2 &= 4 \Rightarrow a \\ &= 6\end{aligned}

$a = 6$ . בשמאל האסימפטוטה היא $y = -2$ לכל $a$ , ולכן רק הצד הימני קובע את $a$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

לפונקציה $f(x) = \frac{e^x + x}{e^x + 1}$ יש שתי אסימפטוטות אופקיות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x \to +\infty : \frac{1 + xe^{-x}}{1 + e^{-x}} \to 1

בימין: $xe^{-x} \to 0$

x \to -\infty : \frac{0 + x}{0 + 1} = x \to -\infty

בשמאל הפונקציה מתנהגת כמו $x$ , ושואפת ל- $-\infty$

הטענה לא נכונה: יש אסימפטוטה אופקית אחת, $y = 1$ , בימין. בשמאל אין אסימפטוטה אופקית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{ke^x - 2}{e^x + 1}$ . שתי האסימפטוטות האופקיות שלה הן $y = -2$ ו- $y = c$ , והן סימטריות ביחס לציר ה- $x$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x \to -\infty : \frac{-2}{1} = -2

האסימפטוטה בשמאל לא תלויה ב- $k$

x \to +\infty : \frac{k - 2e^{-x}}{1 + e^{-x}} \to k

\begin{aligned}k &= -(-2) \\ &= 2\end{aligned}

ישרים סימטריים ביחס לציר ה- $x$ : $y = 2$ ו- $y = -2$

$k = 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^{2x} + ae^x}{e^{2x} + 1}$ , כאשר $a$ פרמטר. יש ערך של $a$ שבעבורו הישר $y = 3$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x \to -\infty : \frac{0 + 0}{0 + 1} = 0

בשמאל: $y = 0$

x \to +\infty : \frac{1 + ae^{-x}}{1 + e^{-2x}} \to 1

בימין מחלקים ב- $e^{2x}$ : $y = 1$

הטענה לא נכונה: שתי האסימפטוטות, $y = 0$ ו- $y = 1$ , לא תלויות ב- $a$ . הפרמטר משנה את הגרף באמצע, אבל לא בקצוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בסרטוט הגרף של הפונקציה $f(x) = \frac{3e^x - 1}{e^x + 1} + b$ . לפי הסרטוט, כאשר $x \to +\infty$ הגרף מתקרב לישר $y = 2$ . מצאו את $b$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

\begin{aligned}x \to +\infty : 3 + b &= 2 \Rightarrow b \\ &= -1\end{aligned}

x \to -\infty : -1 + b = -2

בדיקה: האסימפטוטה בשמאל בסרטוט היא באמת $y = -2$

$b = -1$ . האסימפטוטה השנייה בסרטוט היא בדיקה טובה לתשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{ae^x + 3}{e^x + 1}$ . המרחק בין שתי האסימפטוטות האופקיות שלה הוא $5$ . מצאו את הערך השלילי של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

\begin{aligned}x \to -\infty : y &= 3 \\ \quad x \to +\infty : y &= a\end{aligned}

\begin{aligned}|a - 3| &= 5 \Rightarrow a \\ &= 8 \;\lor\; a \\ &= -2\end{aligned}

$a = -2$ . מרחק הוא ערך מוחלט, ולכן שוב יש שתי אפשרויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

לפונקציה $f(x) = 2 + e^{-x}$ יש אסימפטוטה $y = 2$ כאשר $x \to -\infty$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x \to -\infty : e^{-x} \to \infty

ב- $-\infty$ המעריך $-x$ שואף ל- $+\infty$

x \to +\infty : e^{-x} \to 0 \Rightarrow f \to 2

הטענה לא נכונה: האסימפטוטה $y = 2$ נמצאת בימין. עם $e^{-x}$ הצדדים מתחלפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שני צדדים, שתי משוואות

אסימפטוטה אנכית שקובעת פרמטר

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev