איזה גרף מתאר את הפונקציה?

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בבחינה מופיעה הרבה פעמים שאלה כזאת: נתונה פונקציה, ונתונים ארבעה גרפים, I, II, III ו-IV. צריך לקבוע איזה מהם מתאר את הפונקציה, ולנמק. לא צריך לשרטט את הפונקציה מההתחלה. מספיק למצוא תכונה אחת שגרף לא מקיים, כדי לפסול אותו.

ארבע בדיקות, מהקלה לקשה

11

תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית: איפה המכנה מתאפס? לגרף הנכון יש קיר בדיוק שם, ולא במקום אחר.

22

אסימפטוטות אופקיות: מה הפונקציה שואפת אליו ב-−∞-\infty, ומה ב-+∞+\infty? בפונקציה עם exe^x התשובות שונות בדרך כלל.

33

נקודה אחת: מציבים x=0x = 0. בדרך כלל e0=1e^0 = 1 הופך את החישוב לקל מאוד.

44

עלייה וירידה: הסימן של f′(x)f'(x). בודקים את זה רק אם שלוש הבדיקות הראשונות לא הכריעו.

בגרף III וגם בגרף IV יש אותה אסימפטוטה אנכית ואותה אסימפטוטה בשמאל. איזו בדיקה אחת מבדילה ביניהם?

להציג את התשובה והפתרון

האסימפטוטה בימין. כאשר x→+∞x \to +\infty מחלקים את המונה ואת המכנה ב-exe^x. ב-ff יוצא 11, ובפונקציה של גרף IV, 3ex+1ex−3\frac{3e^x + 1}{e^x - 3}, יוצא 33.

איך מחשבים את הגבול ב-+∞+\infty: מחלקים את המונה ואת המכנה בחזקה הגדולה ביותר של exe^x. אז כל איבר e−xe^{-x} שואף ל-00. ב-−∞-\infty לא מחלקים: שם ex→0e^x \to 0, ומציבים 00 במקום exe^x.

הגרף של 1f\frac{1}{f}

נתונה f(x)=ex+1f(x) = e^x + 1. האם לגרף של g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)} יש אסימפטוטה אנכית?

להציג את התשובה והפתרון

לא. ex+1>1e^x + 1 > 1 לכל xx, ולכן ff אף פעם לא מתאפסת, ו-gg מוגדרת לכל xx. ל-gg יש שתי אסימפטוטות אופקיות: y=1y = 1 בשמאל, ו-y=0y = 0 בימין.

הטעות של הבדיקה האחת.

x=ln⁡3⇒IIIx = \ln 3 \Rightarrow \text{III}
x=ln⁡3 y→−13 y→1⇒III\begin{aligned}x &= \ln 3 \\ \ y \to -\tfrac{1}{3} \\ \ y \to 1 \Rightarrow \text{III}\end{aligned}

גרף שעובר את הבדיקה הראשונה עדיין יכול להיות לא נכון. בשאלה למעלה שלושה גרפים עברו את בדיקת הקיר. ממשיכים לבדוק עד שנשאר גרף אחד בלבד, וכותבים בנימוק את התכונה שפסלה כל גרף אחר.

תרגילים

תרגיל 1

xyy = 0y = 2x = 0I
xyy = 0y = −2II
xyy = 2y = 0III
xyy = 0y = 2IV

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה f(x)=2exex+1f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 1}?

  1. גרף II
  2. גרף III
  3. גרף IV
  4. גרף I
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף IV

הפתרון:

ex+1>0e^x + 1 > 0

המכנה לא מתאפס: אין אסימפטוטה אנכית. גרף I נפסל

f(x)>0f(x) > 0

מונה חיובי ומכנה חיובי: הפונקציה חיובית. גרף II נפסל

x→−∞:2⋅00+1=0x \to -\infty : \frac{2 \cdot 0}{0 + 1} = 0

בשמאל f→0f \to 0. בגרף III הגרף מתקרב ל-y=2y = 2 בשמאל: נפסל

f(0)=22=1\begin{aligned}f(0) &= \frac{2}{2} \\ &= 1\end{aligned}

בגרף IV הגרף עובר ב-(0,1)(0,1) ומתקרב ל-y=2y = 2 בימין

גרף IV. כל אחד משלושת האחרים נפסל בגלל תכונה אחרת: קיר, סימן, ואסימפטוטה בשמאל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

xyy = −1I
xyy = −1II
xyy = 1III
xyy = 1IV

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה f(x)=e−x−1f(x) = e^{-x} - 1?

  1. גרף II
  2. גרף III
  3. גרף I
  4. גרף IV
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף II

הפתרון:

x→+∞:e−x→0⇒f→−1x \to +\infty : e^{-x} \to 0 \Rightarrow f \to -1

האסימפטוטה y=−1y = -1 נמצאת בימין. גרף I מתקרב אליה בשמאל: נפסל

f(0)=1−1=0\begin{aligned}f(0) &= 1 - 1 \\ &= 0\end{aligned}

הגרף עובר בראשית. גרף IV לא עובר בה: נפסל

f′(x)=−e−x<0f'(x) = -e^{-x} < 0

הפונקציה יורדת. גרף III עולה: נפסל

גרף II: יורד, עובר בראשית, ומתקרב ל-y=−1y = -1 כאשר x→+∞x \to +\infty.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

xyy = 0I
xyy = 0II
xyy = 0III
xyy = 0IV

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה f(x)=xexf(x) = xe^x?

  1. גרף IV
  2. גרף III
  3. גרף II
  4. גרף I
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף III

הפתרון:

f(0)=0f(0) = 0

הגרף עובר בראשית. גרף IV עובר ב-(0,−1)(0,-1): נפסל

x→−∞:xex→0x \to -\infty : xe^x \to 0

האסימפטוטה y=0y = 0 נמצאת בשמאל. בגרף II היא בימין: נפסל

x>0⇒xex>0x > 0 \Rightarrow xe^x > 0

מימין לראשית הפונקציה חיובית. גרף I שלילי שם: נפסל

f′(x)=(x+1)ex=0⇒x=−1\begin{aligned}f'(x) &= (x+1)e^x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

ובגרף III יש מינימום ב-x=−1x = -1, כמו שצריך

גרף III. שימו לב: גם בגרף I יש אסימפטוטה y=0y = 0 בשמאל, אבל הסימן מימין לראשית פוסל אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

−3−2−1123−3−2−1123xyy = −0.33y = 1x = 1.1

בסרטוט הגרף של הפונקציה f(x)=ex+aex−3f(x) = \frac{e^x + a}{e^x - 3}, כאשר aa הוא פרמטר. לפי הסרטוט, כאשר x→−∞x \to -\infty הגרף מתקרב לישר y=−13y = -\frac{1}{3}. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x→−∞:ex→0x \to -\infty : e^x \to 0

בשמאל מציבים 00 במקום exe^x

f→0+a0−3=−a3f \to \frac{0 + a}{0 - 3} = -\frac{a}{3}
−a3=−13⇒a=1\begin{aligned}-\frac{a}{3} &= -\frac{1}{3} \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

משווים לאסימפטוטה שבסרטוט

a=1a = 1. הגבול בשמאל תלוי ב-aa, ולכן הוא זה שקובע אותו. הגבול בימין הוא 11 לכל aa.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

xyy = −0.25y = 0x = 1.39I
xyy = 0.25y = 0II
xyIII
xyy = 0.25y = 0x = 1.39IV

נתונה הפונקציה f(x)=ex−4f(x) = e^x - 4. איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)}?

  1. גרף I
  2. גרף IV
  3. גרף II
  4. גרף III
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף I

הפתרון:

ex−4=0⇒x=ln⁡4≈1.39\begin{aligned}e^x - 4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \ln 4 \approx 1.39\end{aligned}

ל-gg יש קיר ב-x=ln⁡4x = \ln 4. גרפים II ו-III נפסלים: אין להם קיר

x>ln⁡4⇒f>0⇒g>0x > \ln 4 \Rightarrow f > 0 \Rightarrow g > 0

מימין לקיר gg חיובית. בגרף IV היא שלילית שם: נפסל

x→−∞:g→10−4=−14x \to -\infty : g \to \frac{1}{0 - 4} = -\frac{1}{4}

ובגרף I האסימפטוטה בשמאל היא y=−14y = -\frac{1}{4}

גרף I. ל-1f\frac{1}{f} יש תמיד אותו סימן כמו ל-ff, ולכן הסימן מימין לקיר פוסל את גרף IV.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

xyy = 0y = 1x = 0.69

הגרף שבסרטוט יכול להיות הגרף של הפונקציה f(x)=exex+2f(x) = \frac{e^x}{e^x + 2}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

ex+2>2>0e^x + 2 > 2 > 0

המכנה של ff חיובי תמיד, ולא מתאפס

Df=RD_f = \mathbb{R}

ולכן ff מוגדרת לכל xx, ואין לה אסימפטוטה אנכית

הטענה לא נכונה: בגרף שבסרטוט יש קיר ב-x=ln⁡2x = \ln 2, ולפונקציה ff אין קיר בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

xyy = 0y = −1x = 1.1I
xyy = 0y = 1II
xyy = −1y = 0III
xyy = 0y = −1IV

נתונה הפונקציה f(x)=exa−exf(x) = \frac{e^x}{a - e^x}. איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה כאשר a=−3a = -3?

  1. גרף III
  2. גרף I
  3. גרף IV
  4. גרף II
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף IV

הפתרון:

−3−ex<0-3 - e^x < 0

המכנה שלילי תמיד: אין קיר. גרף I נפסל (הוא הגרף של a=3a = 3)

f(x)=ex−3−ex<0f(x) = \frac{e^x}{-3 - e^x} < 0

מונה חיובי ומכנה שלילי: ff שלילית. גרף II נפסל

x→−∞:f→0−3=0x \to -\infty : f \to \frac{0}{-3} = 0

בשמאל f→0f \to 0. בגרף III הגרף מתקרב ל-y=−1y = -1 בשמאל: נפסל

גרף IV: שלילי, ויורד מ-00 (בשמאל) אל −1-1 (בימין).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

−3−2−1123−4−3−2−11234xyy = −2y = 1x = 0.69

בסרטוט הגרף של הפונקציה h(x)=ex+bex−ch(x) = \frac{e^x + b}{e^x - c}, כאשר bb ו-cc הם פרמטרים. לגרף יש אסימפטוטה אנכית x=ln⁡2x = \ln 2, ובשמאל הוא מתקרב לישר y=−2y = -2. מצאו את bb.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

eln⁡2−c=0⇒c=2\begin{aligned}e^{\ln 2} - c &= 0 \Rightarrow c \\ &= 2\end{aligned}

המכנה מתאפס על הקיר

x→−∞:h→b−c=−b2x \to -\infty : h \to \frac{b}{-c} = -\frac{b}{2}

בשמאל מציבים ex=0e^x = 0

−b2=−2⇒b=4\begin{aligned}-\frac{b}{2} &= -2 \Rightarrow b \\ &= 4\end{aligned}

b=4b = 4. קודם מוצאים את cc מהקיר, ורק אחר כך את bb מהאסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

xyy = −1I
xyy = 1II
xyy = 1III
xyy = −1IV

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה f(x)=(ex−1)2f(x) = (e^x - 1)^2?

  1. גרף IV
  2. גרף II
  3. גרף I
  4. גרף III
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף II

הפתרון:

f(x)=(ex−1)2≥0f(x) = (e^x - 1)^2 \ge 0

ריבוע אינו שלילי. גרפים I ו-IV יורדים מתחת לציר: נפסלים

f(0)=02=0\begin{aligned}f(0) &= 0^2 \\ &= 0\end{aligned}

הגרף נוגע בציר ה-xx בראשית. גרף III עובר ב-(0,4)(0,4): נפסל

x→−∞:f→(0−1)2=1x \to -\infty : f \to (0 - 1)^2 = 1

ובגרף II האסימפטוטה בשמאל היא y=1y = 1

גרף II. לפונקציה יש מינימום (0,0)(0,0), והיא לא יורדת אף פעם מתחת לציר ה-xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

xyy = −1y = 0x = 0I
xyy = 0y = 1II
xyy = 0y = −1x = 0III
xyy = 0y = 1x = 0IV

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה f(x)=exex−1f(x) = \frac{e^x}{e^x - 1}?

  1. גרף III
  2. גרף I
  3. גרף IV
  4. גרף II
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף IV

הפתרון:

ex−1=0⇒x=0\begin{aligned}e^x - 1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

קיר ב-x=0x = 0. גרף II נפסל

x→−∞:f→0,x→+∞:f→1x \to -\infty : f \to 0 ,\quad x \to +\infty : f \to 1

בגרף I האסימפטוטות הפוכות: נפסל

x>0⇒f>0x > 0 \Rightarrow f > 0

מימין לקיר מונה ומכנה חיוביים. בגרף III הגרף שלילי שם: נפסל

גרף IV. שימו לב שבשמאל, כאשר x<0x<0, המכנה שלילי, ולכן הגרף מתקרב ל-y=0y = 0 מלמטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

לפונקציות f(x)=e−xe−x+1f(x) = \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 1} ו-g(x)=1ex+1g(x) = \frac{1}{e^x + 1} יש אותו גרף.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(x)=e−x⋅ex(e−x+1)⋅exf(x) = \frac{e^{-x} \cdot e^x}{(e^{-x} + 1) \cdot e^x}

כופלים את המונה ואת המכנה ב-exe^x

=11+ex=g(x)= \frac{1}{1 + e^x} = g(x)

e−x⋅ex=e0=1e^{-x} \cdot e^x = e^0 = 1

הטענה נכונה. שתי פונקציות שמוגדרות באותו תחום ושוות בכל נקודה הן אותה פונקציה, ויש להן אותו גרף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת