אינטגרל שנותן ln, ושטחים · פונקציית ln וחקירתה · כיתה י״ב

בפרק על הפונקציה המעריכית ראיתם אינטגרלים כמו $\int \frac{e^x}{e^x + 3}\,dx$ , שהתשובה שלהם היא $\ln$ . כאן נראה את הכלל הכללי שמאחוריהם, ונחשב שטחים מתחת לגרפים כמו $y = \frac{1}{x}$ .

השטח מתחת ל- $\frac{1}{x}$

\int_1^b \frac{1}{x}\,dx = \ln b

השטח מתחת ל- $\frac{1}{x}$ , בין $1$ ל- $b$ , הוא $\ln b$ .

בין $x = 1$ ל- $x = b$ השטח מתחת ל- $y = \frac{1}{x}$ שווה בדיוק ל- $1$ . מהו $b$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\ln b = 1$ , ולכן $b = e \approx 2.718$ . זו דרך נוספת להכיר את המספר $e$ : הגבול שבו השטח מתחת ל- $\frac{1}{x}$ מגיע ל- $1$ .

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

הפונקציה הקדומה של $\frac{1}{x}$ , עם ערך מוחלט.

למה ערך מוחלט? $\frac{1}{x}$ מוגדרת גם עבור $x < 0$ . שם $\ln x$ לא מוגדר, אבל $\left(\ln(-x)\right)' = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$ .

מונה שהוא הנגזרת של המכנה

לפי כלל השרשרת, $\left(\ln f(x)\right)' = \frac{f'(x)}{f(x)}$ . אם קוראים את השוויון הזה מימין לשמאל, מקבלים כלל לאינטגרל.

\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C

כאשר המונה הוא הנגזרת של המכנה.

חשבו $\int \frac{2x}{x^2 + 5}\,dx$

בודקים קודם: מהי הנגזרת של המכנה?

\left(x^2 + 5\right)' = 2x

המונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה.

\int \frac{2x}{x^2 + 5}\,dx = \ln\left(x^2 + 5\right) + C

אין צורך בערך מוחלט: $x^2 + 5 > 0$ תמיד.

חשבו $\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx$

כאן המונה הוא רק חצי מהנגזרת של המכנה.

\left(x^2 + 1\right)' = 2x

הנגזרת של המכנה היא $2x$ , והמונה הוא $x$ .

\frac{x}{x^2+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+1}

מוציאים את המקדם $\frac{1}{2}$ החוצה.

\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C

בדיקה: גוזרים, ומקבלים $\frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+1} = \frac{x}{x^2+1}$ .

חשבו $\int \frac{\ln x}{x}\,dx$ . רמז: מהי הנגזרת של $\ln x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

הנגזרת של $\ln x$ היא $\frac{1}{x}$ , ולכן הביטוי הוא $\ln x$ כפול הנגזרת שלו. התשובה היא $\frac{(\ln x)^2}{2} + C$ . זה לא מקרה של מונה שהוא נגזרת המכנה: אין כאן מכנה שהוא פונקציה של $x$ חוץ מ- $x$ עצמו.

שטחים

השטח בין הגרף של $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$ , ציר ה- $x$ , והישר $x = 2$

עבור $x \ge 0$ הגרף מעל ציר ה- $x$ , והוא חותך אותו ב- $x = 0$ .

S = \int_0^2 \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx

הגבולות: מנקודת החיתוך עם הציר עד הישר.

= \left[\ln\left(x^2 + 1\right)\right]_0^2 = \ln 5 - \ln 1

המונה הוא הנגזרת של המכנה.

= \ln 5 \approx 1.609

$\ln 1 = 0$ .

שתי טעויות שחוזרות בבחינות.

\int \frac{1}{2x+1}\,dx = \ln|2x+1| + C

\int \frac{1}{2x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln|2x+1| + C

הנגזרת של $2x + 1$ היא $2$ , והמונה הוא $1$ . חסר המקדם $\frac{1}{2}$ .

\int \frac{1}{x^2}\,dx = \ln\left(x^2\right) + C

\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C

הכלל של $\ln$ דורש שהמונה יהיה הנגזרת של המכנה. כאן המונה $1$ , והנגזרת של $x^2$ היא $2x$ . משתמשים בכלל החזקה.

בודקים בגזירה. אחרי כל אינטגרל, גוזרים את התשובה. אם מקבלים את הביטוי שבתוך האינטגרל, התשובה נכונה.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו $\int_1^{e^2} \frac{1}{x}\,dx$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\int_1^{e^2} \frac{1}{x}\,dx = \left[\ln x\right]_1^{e^2}

הפונקציה הקדומה של $\frac{1}{x}$

\begin{aligned}\ln e^2 - \ln 1 &= 2 - 0 \\ &= 2\end{aligned}

$\ln e^2 = 2$

$2$ . התשובה $e^2 - 1$ מתקבלת ממי שמחסר את הגבולות בלי להפעיל את $\ln$ .

השטח מתחת ל-1x\frac{1}{x}x1​

מונה שהוא הנגזרת של המכנה

שטחים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

השטח מתחת ל- $\frac{1}{x}$