גרפים של פונקציות עם ln

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בבחינה מופיעות שתי שאלות גרפים. בראשונה נותנים פונקציה וארבעה גרפים, ושואלים איזה גרף מתאים לה. בשנייה נותנים את הגרף של הנגזרת, ושואלים מה הוא אומר על הפונקציה.

איזה גרף מתאים לפונקציה?

u(x)>0u(x) > 0

תחום ההגדרה: הגרף קיים רק איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln חיובי.

u(x)→0+u(x) \to 0^+

אסימפטוטה אנכית: איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln שואף ל-00, הגרף יורד ל-−∞-\infty.

ln⁡u=0  ⟺  u=1\begin{aligned}\ln u &= 0 \iff u \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln שווה ל-11.

ln⁡u>0  ⟺  u>1\ln u > 0 \iff u > 1

הסימן: הגרף מעל ציר ה-xx איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln גדול מ-11.

מהו הערך הגדול ביותר של f(x)=ln⁡(4−x2)f(x) = \ln\left(4 - x^2\right)? אפשר לענות בלי נגזרת.

להציג את התשובה והפתרון

4−x2≤44 - x^2 \le 4, והשוויון רק כאשר x=0x = 0. הפונקציה ln⁡\ln עולה, ולכן גם ln⁡(4−x2)≤ln⁡4\ln\left(4 - x^2\right) \le \ln 4. הערך הגדול ביותר הוא ln⁡4≈1.386\ln 4 \approx 1.386, כאשר x=0x = 0.

ln⁡\ln שומר על הסדר. איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln מקבל מקסימום, גם ln⁡\ln שלו מקבל מקסימום, באותו xx.

לגרף II יש אסימפטוטה אופקית y=0y = 0 מימין. למה?

להציג את התשובה והפתרון

כאשר x→+∞x \to +\infty, גם ln⁡x\ln x וגם xx גדלים בלי גבול. אבל xx גדל הרבה יותר מהר מ-ln⁡x\ln x, ולכן המנה ln⁡xx\frac{\ln x}{x} שואפת ל-00.

הגרף של הנגזרת

איפה שהגרף של f′f' מעל ציר ה-xx, הפונקציה ff עולה. איפה שהוא מתחת לציר, ff יורדת.

איפה ש-f′f' חוצה את ציר ה-xx, ל-ff יש קיצון. ואיפה שלגרף של f′f' יש קיצון, ל-ff יש נקודת פיתול.

בין x=−1x = -1 ל-x=1x = 1 הגרף של f′f' עולה. מה זה אומר על הקעירות של ff בתחום הזה?

להציג את התשובה והפתרון

כאשר f′f' עולה, f′′>0f'' > 0, ולכן לגרף של ff יש קעירות כלפי מעלה. ובאמת f′′(x)=2(1−x2)(x2+1)2f''(x) = \frac{2\left(1 - x^2\right)}{\left(x^2 + 1\right)^2}, וזה חיובי כאשר −1<x<1-1 < x < 1.

הטעות הנפוצה: לבלבל בין הסימן של f′f' לבין הכיוון שלה.

f′↘ ⇒ f↘f' \searrow \ \Rightarrow \ f \searrow
f′<0 ⇒ f↘f' < 0 \ \Rightarrow \ f \searrow

כאשר x>1x > 1 הגרף של f′f' יורד, אבל הוא עדיין מעל הציר: ff עדיין עולה, רק לאט יותר. מה שקובע עלייה וירידה הוא הסימן של f′f', ולא הכיוון שלה.

תרגילים

תרגיל 1

xyx = −3I
xyx = 3II
xyx = 3III
xyx = 0IV

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה f(x)=ln⁡(x+3)f(x) = \ln(x + 3)?

  1. גרף II
  2. גרף IV
  3. גרף III
  4. גרף I
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף I

הפתרון:

x+3>0⇒x>−3x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3

תחום ההגדרה: הגרף קיים רק מימין ל-x=−3x = -3. גרפים II ו-III נפסלים

ln⁡(x+3)=0⇒x+3=1⇒x=−2\begin{aligned}\ln(x+3) &= 0 \Rightarrow x + 3 \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-xx הוא ב-(−2,0)(-2, 0). בגרף IV החיתוך הוא ב-(e−3,0)(e^{-3}, 0), כמעט ב-00

גרף I. גרף IV הוא ln⁡x+3\ln x + 3: הוספנו 33 אחרי ה-ln⁡\ln, וזו הזזה למעלה ולא שמאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

xyx = −1x = 1I
xyx = 0II
xyIII
xyIV

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right)?

  1. גרף II
  2. גרף I
  3. גרף IV
  4. גרף III
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף III

הפתרון:

x2+1>0x^2 + 1 > 0

הביטוי חיובי לכל xx: אין קירות. גרפים I ו-II נפסלים

x2+1≥1⇒ln⁡(x2+1)≥0x^2 + 1 \ge 1 \Rightarrow \ln\left(x^2+1\right) \ge 0

הגרף לא יורד מתחת לציר ה-xx. גרף IV נפסל

גרף III. מינימום (0,0)(0, 0), והגרף עולה לשני הצדדים. גרף IV הוא −ln⁡(x2+1)-\ln\left(x^2+1\right): הסימן שלו הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

1234567−2−112xyx = 2(3, 0)

בסרטוט הגרף של הפונקציה f(x)=ln⁡(x−a)f(x) = \ln(x - a), כאשר aa פרמטר. לגרף יש אסימפטוטה אנכית x=2x = 2. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x−a>0⇒x>ax - a > 0 \Rightarrow x > a

הקיר נמצא איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln מתאפס

a=2a = 2

לפי הסרטוט הקיר הוא x=2x = 2

a=2a = 2. הקיר הוא בדיוק הגבול של תחום ההגדרה, ולא המקום שבו הגרף חותך את ציר ה-xx (שם x=3x = 3).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

123456−2−1123xyx = 0(e, 2)

בסרטוט הגרף של הפונקציה f(x)=aln⁡xf(x) = a\ln x, כאשר aa פרמטר. הגרף עובר בנקודה (e,2)(e, 2). מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f(e)=aln⁡e=a⋅1=a\begin{aligned}f(e) &= a \ln e \\ &= a \cdot 1 \\ &= a\end{aligned}

מציבים x=ex = e, ו-ln⁡e=1\ln e = 1

a=2a = 2

הנקודה (e,2)(e, 2) על הגרף

a=2a = 2. בנקודה x=ex = e קוראים את הפרמטר ישר מהגרף, כי ln⁡e=1\ln e = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

1234567−2−11xyf'y = 1x = 02

בסרטוט הגרף של הנגזרת f′(x)f'(x) של פונקציה ff, שתחום ההגדרה שלה x>0x > 0. מה אפשר לומר על ff ב-x=2x = 2?

  1. ל-ff יש מקסימום ב-x=2x = 2
  2. ל-ff יש מינימום ב-x=2x = 2
  3. ל-ff אין שום דבר מיוחד ב-x=2x = 2
  4. ל-ff יש נקודת פיתול ב-x=2x = 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ל-ff יש מינימום ב-x=2x = 2

הפתרון:

0<x<2:f′(x)<00 < x < 2 : f'(x) < 0

משמאל ל-22 הגרף של f′f' מתחת לציר: ff יורדת

x>2:f′(x)>0x > 2 : f'(x) > 0

מימין ל-22 הגרף מעל הציר: ff עולה

מינימום. ירידה ואחריה עלייה. נקודת פיתול הייתה במקום שבו לגרף של f′f' יש קיצון, לא במקום שבו הוא חוצה את הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

1234567−2−11xyf'y = 1x = 02

בסרטוט הגרף של הנגזרת f′(x)f'(x) של פונקציה ff, שתחום ההגדרה שלה x>0x > 0. הטענה: הפונקציה ff יורדת בתחום 0<x<20 < x < 2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

0<x<2:f′(x)<00 < x < 2 : f'(x) < 0

בתחום הזה הגרף של f′f' מתחת לציר ה-xx

נכון. אסור להתבלבל: הגרף של f′f' עולה בתחום הזה, אבל הוא שלילי, ולכן ff יורדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

xyI
xyII
xyIII
xyx = 0IV

איזה מבין הגרפים הוא הגרף של הנגזרת של f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right)?

  1. גרף I
  2. גרף III
  3. גרף IV
  4. גרף II
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף I

הפתרון:

f′(x)=2xx2+1f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}

כלל השרשרת: הנגזרת של הביטוי הפנימי חלקי הביטוי

x<0:f′<0 ; x>0:f′>0x < 0 : f' < 0 \ ; \ x > 0 : f' > 0

הסימן הוא הסימן של xx. גרפים II ו-III נפסלים

f′(0)=0f'(0) = 0

גרף IV (1x\frac{1}{x}) לא מוגדר ב-x=0x = 0, ולכן נפסל

גרף I. ff יורדת משמאל ל-00 ועולה מימין, ולכן f′f' שלילית משמאל וחיובית מימין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

−2−1123412xy

בסרטוט הגרף של f(x)=ln⁡(x2−2x+2)f(x) = \ln\left(x^2 - 2x + 2\right). לפונקציה יש נקודת קיצון אחת. מהו שיעור ה-xx שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f′(x)=2x−2x2−2x+2f'(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}

כלל השרשרת

f′(x)=0⇒2x−2=0⇒x=1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow 2x - 2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

המכנה (x−1)2+1(x-1)^2 + 1 חיובי תמיד

f(1)=ln⁡1=0\begin{aligned}f(1) &= \ln 1 \\ &= 0\end{aligned}

נקודת המינימום היא (1,0)(1, 0)

x=1x = 1. אפשר גם בלי נגזרת: x2−2x+2=(x−1)2+1x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 קטן ביותר כאשר x=1x = 1, ו-ln⁡\ln שומר על הסדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

−2−112345−2−112xyx = 5(4, 0)

בסרטוט הגרף של f(x)=ln⁡(5−x)f(x) = \ln(5 - x). באיזה תחום f(x)>0f(x) > 0?

  1. x<4x < 4
  2. 4<x<54 < x < 5
  3. x>4x > 4
  4. x<5x < 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x<4x < 4

הפתרון:

5−x>0⇒x<55 - x > 0 \Rightarrow x < 5

תחום ההגדרה

ln⁡(5−x)>0  ⟺  5−x>1  ⟺  x<4\ln(5 - x) > 0 \iff 5 - x > 1 \iff x < 4

ln⁡u>0\ln u > 0 בדיוק כאשר u>1u > 1

x<4x < 4. התשובה x<5x < 5 היא תחום ההגדרה, ולא התחום שבו הפונקציה חיובית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

xyfgx = 0

בסרטוט הגרפים של f(x)=ln⁡(x2)f(x) = \ln\left(x^2\right) ושל g(x)=2ln⁡xg(x) = 2\ln x. הטענה: לשתי הפונקציות יש אותו גרף, כי ln⁡(x2)=2ln⁡x\ln\left(x^2\right) = 2\ln x.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x2>0  ⟺  x≠0x^2 > 0 \iff x \ne 0

תחום ההגדרה של ff: כל xx חוץ מ-00

x>0x > 0

תחום ההגדרה של gg: רק xx חיובי

ln⁡(x2)=2ln⁡∣x∣\ln\left(x^2\right) = 2\ln|x|

הכלל הנכון, עם ערך מוחלט

לא נכון. עבור x>0x > 0 הגרפים מתלכדים, אבל ל-ff יש גם ענף משמאל לציר ה-yy. הכלל ln⁡(a2)=2ln⁡a\ln\left(a^2\right) = 2\ln a נכון רק עבור a>0a > 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

התאימו לכל פונקציה את האסימפטוטה האנכית שלה.

  • f(x)=ln⁡(x−1)f(x) = \ln(x - 1)
  • f(x)=ln⁡(x+2)f(x) = \ln(x + 2)
  • f(x)=ln⁡(3−x)f(x) = \ln(3 - x)
  • f(x)=ln⁡(2x)f(x) = \ln(2x)
  • x=−2x = -2
  • x=0x = 0
  • x=1x = 1
  • x=3x = 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f(x)=ln⁡(x−1)f(x) = \ln(x - 1) — x=1x = 1 · f(x)=ln⁡(x+2)f(x) = \ln(x + 2) — x=−2x = -2 · f(x)=ln⁡(3−x)f(x) = \ln(3 - x) — x=3x = 3 · f(x)=ln⁡(2x)f(x) = \ln(2x) — x=0x = 0

הפתרון:

x−1=0⇒x=1\begin{aligned}x - 1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

בכל פונקציה: הקיר איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln מתאפס

3−x=0⇒x=3\begin{aligned}3 - x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

הקיר של ln⁡(3−x)\ln(3-x) הוא 33, והגרף משמאל לו

2x=0⇒x=0\begin{aligned}2x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

המקדם 22 לא מזיז את הקיר

את הקיר מוצאים מהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln, ולא מהנקודה שבה הגרף חותך את ציר ה-xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

−4−3−2−11234−11xyf'y = 0

בסרטוט הגרף של f′(x)=2xx2+1f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}, הנגזרת של f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right). ל-ff יש נקודת פיתול שבה x>0x > 0. מהו שיעור ה-xx שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f′′(x)=2(x2+1)−2x⋅2x(x2+1)2=2(1−x2)(x2+1)2\begin{aligned}f''(x) &= \frac{2\left(x^2+1\right) - 2x \cdot 2x}{\left(x^2+1\right)^2} \\ &= \frac{2\left(1 - x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′′(x)=0⇒x=±1\begin{aligned}f''(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 1\end{aligned}

המכנה חיובי

x>0⇒x=1x > 0 \Rightarrow x = 1

זו הנקודה הכי גבוהה של הגרף של f′f'

x=1x = 1. נקודת פיתול של ff היא קיצון של f′f': בסרטוט, הנקודה הכי גבוהה של הגרף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

xyy = 0x = 0

בסרטוט הגרף של f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. ערך המקסימום שלה הוא 1e≈0.368\frac{1}{e} \approx 0.368. כמה פתרונות יש למשוואה ln⁡xx=0.2\frac{\ln x}{x} = 0.2?

  1. 00
  2. 22
  3. 11
  4. 33
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 22

הפתרון:

0<0.2<1e0 < 0.2 < \frac{1}{e}

הישר y=0.2y = 0.2 נמצא בין ציר ה-xx לבין המקסימום

1<x<e ; x>e1 < x < e \ ; \ x > e

הישר חותך את הגרף פעם אחת בעלייה ופעם אחת בירידה

שני פתרונות. מימין הגרף יורד אל 00 אבל לא מגיע אליו, ולכן הוא חוצה את y=0.2y = 0.2 בדרך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

121xy

בסרטוט הגרף של f(x)=xln⁡xf(x) = x\ln x. לפונקציה יש נקודת מינימום. מהו שיעור ה-yy שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.368

הפתרון:

f′(x)=ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1\begin{aligned}f'(x) &= \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \\ &= \ln x + 1\end{aligned}

כלל המכפלה

f′(x)=0⇒ln⁡x=−1⇒x=1e\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= -1 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{e}\end{aligned}
f(1e)=1e⋅(−1)=−1e≈−0.368\begin{aligned}f\left(\frac{1}{e}\right) &= \frac{1}{e} \cdot (-1) \\ &= -\frac{1}{e} \approx -0.368\end{aligned}

מציבים בפונקציה, ולא בנגזרת

−1e≈−0.368-\frac{1}{e} \approx -0.368. שיעור ה-xx הוא 1e≈0.368\frac{1}{e} \approx 0.368: אותו מספר בלי הסימן, ולכן קל להתבלבל ביניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת