פונקציות ln עם פרמטר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בבחינה הפונקציה מגיעה לפעמים עם פרמטר: אות, כמו aa, שעומדת במקום מספר.

כל ערך של aa נותן פונקציה אחרת. יחד הן משפחה של פונקציות, וחוקרים את כולן בבת אחת.

משפחה ראשונה: f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x

כאן a>0a > 0. התחום הוא x>0x > 0 לכל aa, כי הפרמטר לא נוגע במה שבתוך ה-ln⁡\ln.

גזרו: איפה נמצא הקיצון של f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x, ומאיזה סוג הוא?

להציג את התשובה והפתרון

f′(x)=1−ax=x−axf'(x) = 1 - \frac{a}{x} = \frac{x - a}{x}. הנגזרת מתאפסת ב-x=ax = a, ועוברת משלילית לחיובית: מינימום ב-x=ax = a, וערכו a−aln⁡aa - a\ln a.

f(a)=a(1−ln⁡a)f(a) = a(1 - \ln a)

הסימן של ערך המינימום קובע כמה פעמים הגרף חותך את ציר ה-xx.

0<a<e0 < a < e

המינימום חיובי: אין נקודות חיתוך.

a=ea = e

המינימום אפס: הגרף משיק לציר בנקודה אחת, (e,0)(e, 0).

a>ea > e

המינימום שלילי: שתי נקודות חיתוך.

בשביל אילו ערכי aa הגרף של f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x נמצא כולו מעל ציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

0<a<e0 < a < e. ערך המינימום a(1−ln⁡a)a(1 - \ln a) חיובי בדיוק כאשר ln⁡a<1\ln a < 1, כלומר a<ea < e.

משפחה שנייה: g(x)=ln⁡x−axg(x) = \ln x - ax

כאן הקיצון הוא מקסימום, ב-x=1ax = \frac{1}{a}, וערכו −ln⁡a−1-\ln a - 1. יש שתי נקודות חיתוך כאשר הוא חיובי, כלומר כאשר a<1ea < \frac{1}{e}.

למצוא את הפרמטר מנתון

לפונקציה f(x)=aln⁡x−x2f(x) = a\ln x - x^2 יש נקודת קיצון כאשר x=2x = 2. מצאו את aa.

נקודת קיצון היא מקום שבו הנגזרת מתאפסת. לכן גוזרים עם הפרמטר, ורק אחר כך מציבים.

f′(x)=ax−2xf'(x) = \frac{a}{x} - 2x

גוזרים, ו-aa נשאר אות.

f′(2)=a2−4=0\begin{aligned}f'(2) &= \frac{a}{2} - 4 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים x=2x = 2 בנגזרת.

a=8a = 8

בדיקה: f′(x)=8x−2x=2(4−x2)xf'(x) = \frac{8}{x} - 2x = \frac{2(4 - x^2)}{x}, ואכן מתאפסת ב-x=2x = 2.

הטעות של הנגזרת שנשכחה.

f(2)=0⇒aln⁡2−4=0\begin{aligned}f(2) &= 0 \Rightarrow a\ln 2 - 4 \\ &= 0\end{aligned}
f′(2)=0⇒a2−4=0\begin{aligned}f'(2) &= 0 \Rightarrow \frac{a}{2} - 4 \\ &= 0\end{aligned}

קיצון אומר שהנגזרת מתאפסת, לא הפונקציה. המשוואה הראשונה מחפשת נקודת חיתוך עם ציר ה-xx.

בשאלה עם פרמטר, כתבו את הנגזרת עם הפרמטר, ומצאו את הקיצון כביטוי ב-aa. רק בסוף מציבים את הנתון.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה המשפחה f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x, כאשר a>0a > 0. לפונקציה יש נקודת קיצון כאשר x=3x = 3. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=1−axf'(x) = 1 - \frac{a}{x}
f′(3)=1−a3=0⇒a=3\begin{aligned}f'(3) &= 1 - \frac{a}{3} \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

a=3a = 3. במשפחה הזאת הקיצון נמצא תמיד ב-x=ax = a. מי שמציב x=3x = 3 ב-ff ומשווה ל-00 פותר שאלה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=aln⁡x−x2f(x) = a\ln x - x^2, כאשר aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון כאשר x=2x = 2. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

f′(x)=ax−2xf'(x) = \frac{a}{x} - 2x
a2−4=0⇒a=8\begin{aligned}\frac{a}{2} - 4 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 8\end{aligned}

a=8a = 8. הנגזרת של aln⁡xa\ln x היא ax\frac{a}{x}: הפרמטר הוא מקדם, והוא נשאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה g(x)=ln⁡x−axg(x) = \ln x - ax, כאשר a>0a > 0. לפונקציה יש נקודת מקסימום כאשר x=4x = 4. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

g′(x)=1x−ag'(x) = \frac{1}{x} - a
14−a=0⇒a=14\begin{aligned}\frac{1}{4} - a &= 0 \Rightarrow a \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

a=0.25a = 0.25. הטעות היא a=4a = 4: הקיצון נמצא ב-x=1ax = \frac{1}{a}, ולא ב-x=ax = a כמו במשפחה x−aln⁡xx - a\ln x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה f(x)=x−5ln⁡xf(x) = x - 5\ln x. כמה נקודות חיתוך יש לגרף שלה עם ציר ה-xx?

  1. 22
  2. 33
  3. 00
  4. 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 22

הפתרון:

f(5)=5−5ln⁡5=5(1−ln⁡5)\begin{aligned}f(5) &= 5 - 5\ln 5 \\ &= 5(1 - \ln 5)\end{aligned}

ערך המינימום

ln⁡5>1⇒f(5)<0\ln 5 > 1 \Rightarrow f(5) < 0

המינימום מתחת לציר

x→0+:f→+∞ ; x→+∞:f→+∞x \to 0^+ : f \to +\infty \ ; \ x \to +\infty : f \to +\infty

משני הצדדים הגרף עולה מעל הציר

שתיים: הגרף יורד מ-+∞+\infty אל מינימום שלילי, ועולה שוב ל-+∞+\infty. מינימום שלילי לבדו לא מספיק — צריך גם לדעת שבשני הקצוות הפונקציה חיובית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

טענה: הגרף של f(x)=x−2ln⁡xf(x) = x - 2\ln x לא חותך את ציר ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(2)=2−2ln⁡2≈0.614>0f(2) = 2 - 2\ln 2 \approx 0.614 > 0

המינימום חיובי

2<e2 < e

הטענה נכונה, כי a=2<ea = 2 < e. בלי לחשב את ערך המינימום אי אפשר לדעת: גרף שיורד ואחר כך עולה יכול גם לחתוך את הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה המשפחה f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x, כאשר a>0a > 0. בשביל ערך אחד של aa הגרף משיק לציר ה-xx. מצאו אותו. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.718

הפתרון:

f(a)=a(1−ln⁡a)=0\begin{aligned}f(a) &= a(1 - \ln a) \\ &= 0\end{aligned}

המינימום נוגע בציר

a>0⇒ln⁡a=1⇒a=e≈2.718\begin{aligned}a > 0 \Rightarrow \ln a &= 1 \Rightarrow a \\ &= e \approx 2.718\end{aligned}

a=e≈2.718a = e \approx 2.718. מי שכותב a=0a = 0 שוכח שהנתון הוא a>0a > 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2+a)f(x) = \ln(x^2 + a), כאשר a>0a > 0. ידוע ש-f(0)=2f(0) = 2. מצאו את aa. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.389

הפתרון:

f(0)=ln⁡a=2\begin{aligned}f(0) &= \ln a \\ &= 2\end{aligned}
a=e2≈7.389a = e^2 \approx 7.389

מעלים את ee בחזקת שני האגפים

e2≈7.389e^2 \approx 7.389. הטעות הנפוצה היא a=2a = 2: ה-ln⁡\ln לא «נעלם» — הופכים אותו בעזרת ee.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2+a)f(x) = \ln(x^2 + a), כאשר a>0a > 0. מהו תחום ההגדרה שלה?

  1. x>ax > \sqrt{a}
  2. כל xx
  3. x>0x > 0
  4. x>−ax > -a
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב כל xx

הפתרון:

x2≥0 , a>0⇒x2+a>0x^2 \ge 0 \ , \ a > 0 \Rightarrow x^2 + a > 0

מה שבתוך ה-ln⁡\ln חיובי תמיד

כל xx. הפרמטר כאן עוזר: בגלל a>0a > 0 הביטוי x2+ax^2 + a לעולם לא מתאפס. בלי הנתון a>0a > 0 התשובה הייתה תלויה ב-aa.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2+a)f(x) = \ln(x^2 + a), כאשר a>0a > 0. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x = 1 הוא 12\frac{1}{2}. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=2xx2+af'(x) = \frac{2x}{x^2 + a}

כלל השרשרת

f′(1)=21+a=12⇒a=3\begin{aligned}f'(1) &= \frac{2}{1 + a} \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

a=3a = 3. שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת, לא ערך הפונקציה. ובנגזרת של ln⁡(x2+a)\ln(x^2 + a) צריך את המונה 2x2x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה המשפחה f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x, כאשר a>0a > 0. מצאו את aa שבשבילו ערך המינימום של ff שווה ל-11.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f(a)=a−aln⁡a=1\begin{aligned}f(a) &= a - a\ln a \\ &= 1\end{aligned}

ערך המינימום כביטוי ב-aa

m(a)=a−aln⁡a ; m′(a)=−ln⁡a\begin{aligned}m(a) &= a - a\ln a \ ; \ m'(a) \\ &= -\ln a\end{aligned}

גוזרים לפי aa

m(1)=1=max⁡m\begin{aligned}m(1) &= 1 \\ &= \max m\end{aligned}

ל-mm יש מקסימום 11 ב-a=1a = 1, ולכן זה הפתרון היחיד

a=1a = 1. את המשוואה a−aln⁡a=1a - a\ln a = 1 אי אפשר לפתור באלגברה. מנחשים a=1a = 1, ומוכיחים שזה הפתרון היחיד: 11 הוא הערך הגדול ביותר של mm.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

123456123xyx = 0M

בסרטוט הגרף של f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x, כאשר a>0a > 0. הנקודה MM היא נקודת המינימום שלו. מהו aa?

  1. ee
  2. 44
  3. 11
  4. 22
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 22

הפתרון:

f′(x)=0⇒x=a\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= a\end{aligned}

המינימום נמצא ב-x=ax = a

M≈(2, 0.614)M \approx (2,\ 0.614)

בסרטוט שיעור ה-xx של MM הוא 22

a=2a = 2. אפשר לבדוק: f(2)=2−2ln⁡2≈0.614f(2) = 2 - 2\ln 2 \approx 0.614, הגובה של MM. מי שבוחר ee קורא את הגרף כאילו הוא משיק לציר — אבל MM מעל הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(2x−a)f(x) = \ln(2x - a). האסימפטוטה האנכית שלה היא x=1.5x = 1.5. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2x−a=0⇒x=a2\begin{aligned}2x - a &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{a}{2}\end{aligned}

הקיר: מה שבתוך ה-ln⁡\ln מתאפס

a2=1.5⇒a=3\begin{aligned}\frac{a}{2} &= 1.5 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

a=3a = 3. הטעות היא a=1.5a = 1.5: הקיר נמצא ב-x=a2x = \frac{a}{2}, לא ב-x=ax = a.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

טענה: לכל a>0a > 0, נקודת המינימום של f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x נמצאת על הגרף של y=x−xln⁡xy = x - x\ln x.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

M=(a, a−aln⁡a)M = (a,\ a - a\ln a)

נקודת המינימום

y(a)=a−aln⁡ay(a) = a - a\ln a

מציבים x=ax = a ב-y=x−xln⁡xy = x - x\ln x: אותו ערך

הטענה נכונה. כל המינימומים של המשפחה נמצאים על עקומה אחת. בודקים זאת לכל aa, באותיות — דוגמה מספרית אחת אינה הוכחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

נתונה המשפחה f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x. התאימו לכל ערך של aa את מספר נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

  • a=1a = 1
  • a=ea = e
  • a=4a = 4
  • אין נקודות חיתוך
  • נקודה אחת
  • שתי נקודות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a=1a = 1 — אין נקודות חיתוך · a=ea = e — נקודה אחת · a=4a = 4 — שתי נקודות

הפתרון:

f(1)=1>0 ; f(e)=0 ; f(4)=4(1−ln⁡4)<0\begin{aligned}f(1) &= 1 > 0 \ ; \ f(e) \\ &= 0 \ ; \ f(4) \\ &= 4(1 - \ln 4) < 0\end{aligned}

ערך המינימום בכל מקרה

הסימן של ערך המינימום קובע. ב-a=ea = e הגרף רק נוגע בציר: נקודה אחת, ולא שתיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

נתונה המשפחה g(x)=ln⁡x−axg(x) = \ln x - ax, כאשר a>0a > 0. מצאו את aa שבשבילו ערך המקסימום של gg הוא 00. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.368

הפתרון:

g′(x)=1x−a=0⇒x=1a\begin{aligned}g'(x) &= \frac{1}{x} - a \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{a}\end{aligned}
g(1a)=−ln⁡a−1=0\begin{aligned}g\left(\frac{1}{a}\right) &= -\ln a - 1 \\ &= 0\end{aligned}
ln⁡a=−1⇒a=1e≈0.368\begin{aligned}\ln a &= -1 \Rightarrow a \\ &= \frac{1}{e} \approx 0.368\end{aligned}

1e≈0.368\frac{1}{e} \approx 0.368. שימו לב לסימן: ln⁡1a=−ln⁡a\ln\frac{1}{a} = -\ln a. מי שמאבד את המינוס מקבל a=ea = e.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת