חקירת פונקציה עם ln · פונקציית ln וחקירתה · כיתה י״ב

חקירה של פונקציה עם $\ln$ בנויה כמו החקירה של פונקציה עם $e^x$ , שראיתם בפרק על הפונקציה המעריכית.

ההבדל הגדול הוא בהתחלה: $\ln$ מוגדר רק כאשר מה שבתוכו חיובי. לכן תחום ההגדרה קובע איפה מותר לחפש את כל השאר.

1

תחום ההגדרה

2

אסימפטוטות המאונכות לצירים

3

נקודות החיתוך עם הצירים

4

תחומי עלייה וירידה

5

נקודות קיצון וסוגן

6

קעירות ונקודות פיתול

7

סקיצה של הגרף

חקירה ראשונה: $f(x) = x - 2\ln x$

תחום ההגדרה: $x > 0$ , בגלל $\ln x$ . בטבלה יש עמודה אחת לכל תחום שבו $f'$ שומרת על סימן.

הנגזרת עוברת משלילית לחיובית ב- $x = 2$ . לכן $(2,\ 2 - 2\ln 2)$ היא נקודת מינימום, ו- $2 - 2\ln 2 \approx 0.614$ .

ערך המינימום חיובי. מה זה אומר על נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

אין כאלה. כל ערך של $f$ גדול מערך המינימום או שווה לו, ולכן $f(x) \ge 0.614 > 0$ לכל $x > 0$ .

קעירות: $f''(x) = \frac{2}{x^2} > 0$ בכל התחום. לכן לגרף יש קעירות כלפי מעלה בכל התחום, ואין לו נקודת פיתול.

אסימפטוטות: כאשר $x \to 0^+$ , $-2\ln x \to +\infty$ : אסימפטוטה אנכית $x = 0$ . כאשר $x \to +\infty$ , $x - 2\ln x = x\left(1 - \frac{2\ln x}{x}\right) \to +\infty$ : אין אסימפטוטה אופקית.

חקירה שנייה: $f(x) = \frac{\ln x}{x}$

קיצון: הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית ב- $x = e$ . לכן $\left(e, \frac{1}{e}\right) \approx (2.718,\ 0.368)$ היא נקודת מקסימום.

חיתוך: $\frac{\ln x}{x} = 0$ רק כאשר $\ln x = 0$ , כלומר בנקודה $(1, 0)$ . עם ציר ה- $y$ אין חיתוך, כי $x = 0$ לא בתחום.

ל- $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ יש אסימפטוטה אופקית. איזו, ובאיזה צד?

להציג את התשובה והפתרון

$y = 0$ , מימין: $x$ גדל מהר יותר מ- $\ln x$ . משמאל התחום נגמר ב- $0$ , ושם יש אסימפטוטה אנכית $x = 0$ , כי $\ln x \to -\infty$ ו- $x \to 0^+$ .

קעירות ונקודת פיתול של $f(x) = \frac{\ln x}{x}$

גוזרים את $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$ לפי כלל המנה, ובודקים את הסימן של $f''$ .

\begin{aligned}f''(x) &= \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \ln x) \cdot 2x}{x^4} \\ &= \frac{2\ln x - 3}{x^3}\end{aligned}

כלל המנה, ואחריו מצמצמים ב- $x$ .

\begin{aligned}f''(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= \frac{3}{2} \Rightarrow x \\ &= e^{1.5} \approx 4.482\end{aligned}

המכנה $x^3$ חיובי בתחום, ולכן רק המונה קובע.

0 < x < e^{1.5} : f'' < 0 \ ; \ x > e^{1.5} : f'' > 0

משמאל קעירות כלפי מטה, מימין קעירות כלפי מעלה.

f\left(e^{1.5}\right) = \frac{1.5}{e^{1.5}} \approx 0.335

נקודת הפיתול היא $\left(e^{1.5},\ 1.5e^{-1.5}\right) \approx (4.482,\ 0.335)$ .

שתי טעויות שכיחות בחקירה עם $\ln$ .

x - 2\ln x : \ x \in \mathbb{R}

x - 2\ln x : \ x > 0

שוכחים את התחום, ומחפשים קיצון או חיתוך גם ב- $x \le 0$ . בלי התחום, כל הטבלה שגויה.

f''(a) = 0 \Rightarrow (a, f(a))

f'' < 0 \ \big| \ f'' > 0

נקודת פיתול צריכה החלפת סימן של $f''$ , ולא רק $f''(a) = 0$ . בודקים את הסימן משני הצדדים.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 2\ln x$ . מהו תחום ההגדרה שלה?

$x \ne 0$
כל $x$
$x > 2$
$x > 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x > 0$

הפתרון:

\ln x : x > 0

הגורם $x$ מוגדר לכל $x$ , אבל $\ln x$ רק עבור $x > 0$

$x > 0$ . התשובה $x > 2$ מבלבלת בין התחום לבין המקום שבו הפונקציה עולה.

חקירה ראשונה: f(x)=x−2ln⁡xf(x) = x - 2\ln xf(x)=x−2lnx

חקירה שנייה: f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}f(x)=xlnx​

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

חקירה ראשונה: $f(x) = x - 2\ln x$

חקירה שנייה: $f(x) = \frac{\ln x}{x}$