גבולות ואסימפטוטות של ln

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ראיתם את הגרף של y=ln⁡xy = \ln x. עכשיו נשאל מה קורה בקצוות של תחום ההגדרה: קרוב מאוד ל-00, ורחוק מאוד ימינה.

ליד x=0x = 0: קיר

כאשר xx מתקרב ל-00 מימין, ln⁡x\ln x יורד בלי גבול. למשל ln⁡0.01≈−4.6\ln 0.01 \approx -4.6, ו-ln⁡0.0001≈−9.2\ln 0.0001 \approx -9.2.

lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty

לכן הישר x=0x = 0 הוא אסימפטוטה אנכית של y=ln⁡xy = \ln x.

אותו דבר קורה ל-ln⁡f(x)\ln f(x) בכל מקום שבו f(x)f(x) מתקרב ל-00 מצד החיוביים. למשל ב-ln⁡(x−2)\ln(x-2): כאשר x→2+x \to 2^+, גם x−2→0+x - 2 \to 0^+. לכן הישר x=2x = 2 הוא אסימפטוטה אנכית.

לפונקציה f(x)=ln⁡(4−x)f(x) = \ln(4 - x) יש אסימפטוטה אנכית. איפה היא, ומאיזה צד הגרף מתקרב אליה?

להציג את התשובה והפתרון

x=4x = 4, משמאל. התחום הוא x<4x < 4. כאשר x→4−x \to 4^-, הביטוי 4−x4 - x שואף ל-0+0^+, ולכן f(x)→−∞f(x) \to -\infty.

רחוק ימינה: עולה, אבל לאט

כאשר x→+∞x \to +\infty, גם ln⁡x→+∞\ln x \to +\infty. לכן ל-ln⁡x\ln x אין אסימפטוטה אופקית.

אבל הוא עולה לאט מאוד: ln⁡1000≈6.9\ln 1000 \approx 6.9. הישר y=xy = x עובר את 10001000 כבר ב-x=1000x = 1000.

123456789−1123456789xyxlnI
24681012xyy = 0MII
בגרף I: הישר y=xy = x והגרף של y=ln⁡xy = \ln x. שניהם עולים, אבל הפער ביניהם רק גדל. בגרף II: המנה ln⁡xx\frac{\ln x}{x}. היא מגיעה לשיא בנקודה MM, כאשר x=ex = e, ואחר כך יורדת ומתקרבת לציר ה-xx.
lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0

xx גדל מהר יותר מ-ln⁡x\ln x: המנה שואפת ל-00.

מה הגבול של ln⁡xx2\frac{\ln x}{x^2} כאשר x→+∞x \to +\infty?

להציג את התשובה והפתרון

00. כותבים ln⁡xx2=ln⁡xx⋅1x\frac{\ln x}{x^2} = \frac{\ln x}{x} \cdot \frac{1}{x}. הגורם הראשון שואף ל-00, וגם השני, ולכן גם המכפלה.

ליד 00: מי מנצח?

ב-xln⁡xx\ln x, כאשר x→0+x \to 0^+: הגורם xx שואף ל-00, והגורם ln⁡x\ln x שואף ל-−∞-\infty. מי מנצח?

שוב ה-xx: 0.01⋅ln⁡0.01≈−0.0460.01 \cdot \ln 0.01 \approx -0.046. המכפלה שואפת ל-00.

x→+∞:ln⁡xx→0x \to +\infty : \frac{\ln x}{x} \to 0

ה-xx במכנה גדל מהר יותר.

x→+∞:xln⁡x→+∞x \to +\infty : \frac{x}{\ln x} \to +\infty

אותה מנה, הפוכה.

x→0+:xln⁡x→0x \to 0^+ : x\ln x \to 0

ה-xx מתאפס מהר יותר משה-ln⁡x\ln x יורד.

בפתרון כותבים את הנימוק במשפט אחד: «xx גדל מהר יותר מ-ln⁡x\ln x, ולכן המנה שואפת ל-00». ואם הביטוי מסובך, מחלקים מונה ומכנה ב-xx ומשתמשים בגבול הזה.

הטעות של האסימפטוטה האופקית.

x→+∞:ln⁡x→Lx \to +\infty : \ln x \to L
x→+∞:ln⁡x→+∞x \to +\infty : \ln x \to +\infty

הגרף של ln⁡x\ln x נראה כמעט שטוח ימינה, ויש שחושבים שיש לו אסימפטוטה אופקית. אין: הוא עובר כל גובה. למשל ln⁡x=100\ln x = 100 כאשר x=e100x = e^{100}.

תרגילים

תרגיל 1

מהו הגבול lim⁡x→0+ln⁡x\lim_{x \to 0^+} \ln x?

  1. 11
  2. −∞-\infty
  3. 00
  4. +∞+\infty
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב −∞-\infty

הפתרון:

ln⁡0.01≈−4.6 ; ln⁡0.0001≈−9.2\ln 0.01 \approx -4.6 \ ; \ \ln 0.0001 \approx -9.2

ככל ש-xx קרוב יותר ל-00, הערך יורד יותר

−∞-\infty. מי שעונה 00 מבלבל בין ln⁡1=0\ln 1 = 0 לבין הערך ליד x=0x = 0: שם ln⁡\ln בכלל לא מוגדר, והגרף צונח לאורך הקיר x=0x = 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x−3)+1f(x) = \ln(x - 3) + 1. מהי משוואת האסימפטוטה האנכית שלה? כתבו את שיעור ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x−3>0⇒x>3x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3

תחום ההגדרה

x→3+:x−3→0+⇒ln⁡(x−3)→−∞x \to 3^+ : x - 3 \to 0^+ \Rightarrow \ln(x-3) \to -\infty

הביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln מתקרב ל-00

x=3x = 3. ה-+1+1 מזיז את הגרף למעלה, ולא משנה את מקום הקיר: הקיר נמצא איפה שמה שבתוך ה-ln⁡\ln מתאפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(2x+6)f(x) = \ln(2x + 6). מהו שיעור ה-xx של האסימפטוטה האנכית שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

2x+6=0⇒x=−3\begin{aligned}2x + 6 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

מה שבתוך ה-ln⁡\ln מתאפס

x→−3+:f(x)→−∞x \to -3^+ : f(x) \to -\infty

התחום הוא x>−3x > -3

x=−3x = -3. הטעות הנפוצה היא x=−6x = -6: משווים את כל הביטוי 2x+62x + 6 ל-00, לא רק את המספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לפונקציה f(x)=ln⁡(5−x)f(x) = \ln(5 - x) יש אסימפטוטה אנכית x=5x = 5. מאיזה צד הגרף מתקרב אליה?

  1. משמאל, והגרף עולה אל +∞+\infty
  2. משני הצדדים
  3. משמאל, והגרף יורד אל −∞-\infty
  4. מימין, והגרף יורד אל −∞-\infty
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג משמאל, והגרף יורד אל −∞-\infty

הפתרון:

5−x>0⇒x<55 - x > 0 \Rightarrow x < 5

התחום נמצא משמאל לקיר

x→5−:5−x→0+⇒ln⁡(5−x)→−∞x \to 5^- : 5 - x \to 0^+ \Rightarrow \ln(5-x) \to -\infty

משמאל, אל −∞-\infty. מימין ל-x=5x = 5 הפונקציה לא מוגדרת, ולכן אין לגרף צד ימני להתקרב ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

טענה: לפונקציה f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x יש אסימפטוטה אופקית כאשר x→+∞x \to +\infty.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

ln⁡x=100⇔x=e100\begin{aligned}\ln x &= 100 \Leftrightarrow x \\ &= e^{100}\end{aligned}

כל גובה מתקבל

x→+∞:ln⁡x→+∞x \to +\infty : \ln x \to +\infty

הטענה לא נכונה. ln⁡x\ln x עולה לאט, אבל בלי גבול. «עולה לאט» אינו «מתקרב לישר».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו הגבול lim⁡x→+∞ln⁡xx\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}?

  1. הגבול לא קיים
  2. 11
  3. 00
  4. +∞+\infty
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 00

הפתרון:

ln⁡10001000≈0.007\frac{\ln 1000}{1000} \approx 0.007

דוגמה מספרית

ln⁡xx→0\frac{\ln x}{x} \to 0

xx גדל מהר יותר מ-ln⁡x\ln x

00. שני החלקים שואפים לאינסוף, ולכן יש שעונים 11 או «לא קיים». מה שקובע הוא מי גדל מהר יותר, והמכנה xx מנצח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו את הגבול lim⁡x→+∞2ln⁡x+3xx\lim_{x \to +\infty} \frac{2\ln x + 3x}{x}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2ln⁡x+3xx=2⋅ln⁡xx+3\frac{2\ln x + 3x}{x} = 2 \cdot \frac{\ln x}{x} + 3

מחלקים כל מחובר ב-xx

→2⋅0+3=3\to 2 \cdot 0 + 3 = 3

33. מי שמחלק רק את 3x3x ושוכח את 2ln⁡x2\ln x מקבל את אותה תוצאה במקרה, אבל בלי נימוק. כל מחובר במונה מתחלק ב-xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חשבו את הגבול lim⁡x→0+(xln⁡x+2)\lim_{x \to 0^+} \left(x\ln x + 2\right).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x→0+:xln⁡x→0x \to 0^+ : x\ln x \to 0

ה-xx מנצח את ln⁡x\ln x

0+2=20 + 2 = 2

22. הפיתוי הוא לכתוב 0⋅(−∞)=00 \cdot (-\infty) = 0 או −∞-\infty בלי נימוק. זה ביטוי שאי אפשר לחשב ישירות, וצריך לדעת מי מנצח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

246810−1xyx = 0

בסרטוט הגרף של f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. איזה ישר הוא אסימפטוטה אופקית שלו?

  1. x=0x = 0
  2. y=0y = 0
  3. y=1y = 1
  4. אין לו אסימפטוטה אופקית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב y=0y = 0

הפתרון:

x→+∞:ln⁡xx→0x \to +\infty : \frac{\ln x}{x} \to 0
x→0+:ln⁡xx→−∞x \to 0^+ : \frac{\ln x}{x} \to -\infty

זו אסימפטוטה אנכית, לא אופקית

y=0y = 0, מימין. הישר x=0x = 0 הוא אסימפטוטה אנכית: הוא מאונך לציר ה-xx, ולא מקביל לו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לפונקציה f(x)=2x−ln⁡xx+1f(x) = \frac{2x - \ln x}{x + 1} יש אסימפטוטה אופקית כאשר x→+∞x \to +\infty. מהו שיעור ה-yy שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

2x−ln⁡xx+1=2−ln⁡xx1+1x\frac{2x - \ln x}{x + 1} = \frac{2 - \frac{\ln x}{x}}{1 + \frac{1}{x}}

מחלקים מונה ומכנה ב-xx

→2−01+0=2\to \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2

y=2y = 2. בלי החלוקה ב-xx נשאר ∞∞\frac{\infty}{\infty}, שלא אומר כלום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

התאימו לכל גבול את ערכו.

  • lim⁡x→+∞ln⁡xx\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}
  • lim⁡x→0+ln⁡x\lim_{x \to 0^+} \ln x
  • lim⁡x→+∞xln⁡x\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\ln x}
  • lim⁡x→+∞3x+ln⁡xx\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + \ln x}{x}
  • −∞-\infty
  • +∞+\infty
  • 00
  • 33
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: lim⁡x→+∞ln⁡xx\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} — 00 · lim⁡x→0+ln⁡x\lim_{x \to 0^+} \ln x — −∞-\infty · lim⁡x→+∞xln⁡x\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\ln x} — +∞+\infty · lim⁡x→+∞3x+ln⁡xx\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + \ln x}{x} — 33

הפתרון:

ln⁡xx→0 ; xln⁡x→+∞\frac{\ln x}{x} \to 0 \ ; \ \frac{x}{\ln x} \to +\infty

מנה ומנה הפוכה

3x+ln⁡xx=3+ln⁡xx→3\frac{3x + \ln x}{x} = 3 + \frac{\ln x}{x} \to 3

מחלקים ב-xx

שני הגבולות הראשונים של המנה הם הפוכים זה לזה: אם ln⁡xx→0+\frac{\ln x}{x} \to 0^+, אז xln⁡x→+∞\frac{x}{\ln x} \to +\infty.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

כמה אסימפטוטות אנכיות יש לפונקציה f(x)=ln⁡(x2−4)f(x) = \ln(x^2 - 4)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x2−4>0⇔∣x∣>2x^2 - 4 > 0 \Leftrightarrow |x| > 2

תחום ההגדרה: שני חלקים

x→2+ , x→−2−:x2−4→0+x \to 2^+ \ , \ x \to -2^- : x^2 - 4 \to 0^+

בשני הקצוות מה שבתוך ה-ln⁡\ln מתאפס

שתיים: x=2x = 2 ו-x=−2x = -2. מי שמחפש רק את x=2x = 2 שוכח שגם (−2)2=4(-2)^2 = 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

טענה: lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

ln⁡x=2ln⁡x\ln x = 2\ln\sqrt{x}

חוק הלוגריתם

ln⁡xx=2⋅ln⁡tt  t=x→+∞\begin{aligned}\frac{\ln x}{\sqrt{x}} &= 2 \cdot \frac{\ln t}{t} \ \\ \ t &= \sqrt{x} \to +\infty\end{aligned}

מציבים t=xt = \sqrt{x}

2⋅0=02 \cdot 0 = 0

הטענה נכונה. גם x\sqrt{x}, שגדל לאט, גדל מהר יותר מ-ln⁡x\ln x. הטעות היא לחשוב שרק xx «חזק מספיק».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

xyx = −1I
xyx = 1II
xyx = 1III
xyx = 1IV

איזה מבין הגרפים מתאר את f(x)=ln⁡(x−1)f(x) = \ln(x - 1)?

  1. גרף II
  2. גרף I
  3. גרף III
  4. גרף IV
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף III

הפתרון:

x−1>0⇒x>1x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1

הגרף נמצא מימין לקיר x=1x = 1: I ו-II נפסלים

f(2)=ln⁡1=0\begin{aligned}f(2) &= \ln 1 \\ &= 0\end{aligned}

הגרף חותך את ציר ה-xx ב-(2,0)(2, 0) ועולה: IV, שיורד, נפסל

גרף III. בגרף II הקיר במקום הנכון, אבל הגרף בצד הלא נכון שלו: זה ln⁡(1−x)\ln(1 - x).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

טענה: lim⁡x→+∞(ln⁡x−x)=−∞\lim_{x \to +\infty} \left(\ln x - x\right) = -\infty.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

ln⁡x−x=x(ln⁡xx−1)\ln x - x = x\left(\frac{\ln x}{x} - 1\right)

מוציאים xx כגורם משותף

ln⁡xx−1→−1 ; x⋅(−1)→−∞\frac{\ln x}{x} - 1 \to -1 \ ; \ x \cdot (-1) \to -\infty

הטענה נכונה. ∞−∞\infty - \infty אינו 00: כאן xx גדל מהר יותר, ולכן ההפרש שלילי וגדל בערכו המוחלט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת