הנגזרת של ln · פונקציית ln וחקירתה · כיתה י״ב

אתם יודעים ש- $(e^x)' = e^x$ . עכשיו נשאל: מהו השיפוע של $\ln x$ בכל נקודה?

נמדוד אותו ישירות על הגרף: משיק בנקודה, ומשולש שבו מתקדמים $1$ ימינה. הגובה של המשולש הוא השיפוע.

בטבלה כל שיפוע הוא ההפכי של $x$ : ב- $x = 2$ השיפוע $\frac{1}{2}$ , וב- $x = 4$ השיפוע $\frac{1}{4}$ .

\left(\ln x\right)' = \frac{1}{x} \qquad (x > 0)

הנגזרת של $\ln x$ .

מה השיפוע של $\ln x$ ב- $x = 10$ ? והאם יש נקודה שבה השיפוע שלילי?

להציג את התשובה והפתרון

ב- $x = 10$ השיפוע $\frac{1}{10} = 0.1$ . כיוון ש- $x > 0$ בכל התחום, $\frac{1}{x} > 0$ תמיד: $\ln x$ עולה בכל תחום ההגדרה, ואין לה קיצון.

השיפוע חיובי, אבל קטן ככל ש- $x$ גדל. לכן הגרף עולה לאט יותר ויותר, ויש לו קעירות כלפי מטה.

$\ln$ של ביטוי: כלל השרשרת

\left(\ln f(x)\right)' = \frac{f'(x)}{f(x)}

הנגזרת של הביטוי שבפנים, חלקי הביטוי עצמו.

גזרו את $f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right)$

הביטוי שבפנים הוא $x^2 + 1$ .

\left(x^2 + 1\right)' = 2x

גוזרים את הביטוי שבפנים.

f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}

מחלקים בביטוי שבפנים.

\left(\ln(x - 2)\right)' = \frac{1}{x - 2}

הנגזרת של $x - 2$ היא $1$ .

\left(\ln\left(e^{x} + 1\right)\right)' = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}

הנגזרת של $e^x + 1$ היא $e^x$ .

\begin{aligned}\left(\ln(5x)\right)' &= \frac{5}{5x} \\ &= \frac{1}{x}\end{aligned}

ה- $5$ מצטמצם.

למה הנגזרת של $\ln(5x)$ שווה בדיוק לנגזרת של $\ln x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי $\ln(5x) = \ln 5 + \ln x$ . $\ln 5$ הוא מספר קבוע, והנגזרת שלו $0$ . לכן הגרף של $\ln(5x)$ הוא הגרף של $\ln x$ מוזז למעלה, עם אותם שיפועים.

אל תשכחו לגזור את הביטוי שבפנים.

\left(\ln\left(x^2 + 1\right)\right)' = \frac{1}{x^2 + 1}

\left(\ln\left(x^2 + 1\right)\right)' = \frac{2x}{x^2 + 1}

$\frac{1}{x}$ היא הנגזרת של $\ln x$ בלבד. כשבפנים יש ביטוי, המונה הוא הנגזרת שלו.

מכפלה ומנה עם $\ln$

גזרו את $f(x) = x\ln x$

זו מכפלה: כלל המכפלה.

f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}

הנגזרת של הגורם הראשון כפול השני, ועוד הראשון כפול הנגזרת של השני.

f'(x) = \ln x + 1

$x \cdot \frac{1}{x} = 1$ .

גזרו את $g(x) = \frac{\ln x}{x}$

זו מנה: כלל המנה.

g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2}

נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה, חלקי המכנה בריבוע.

g'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}

$\frac{1}{x} \cdot x = 1$ .

איפה $g'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$ מתאפסת?

להציג את התשובה והפתרון

המכנה $x^2$ חיובי, ולכן רק המונה קובע: $1 - \ln x = 0$ , כלומר $\ln x = 1$ ו- $x = e$ . שם יש ל- $g$ נקודה שבה המשיק אופקי.

משיק לגרף

המשיק ל- $y = \ln x$ בנקודה שבה $x = e$

צריך נקודה ושיפוע.

\begin{aligned}y(e) &= \ln e \\ &= 1\end{aligned}

הנקודה: $(e, 1)$ .

y'(e) = \frac{1}{e}

השיפוע.

\begin{aligned}y - 1 &= \frac{1}{e}(x - e) \Rightarrow y \\ &= \frac{x}{e}\end{aligned}

משוואת ישר. המשיק עובר דרך ראשית הצירים.

לפני שגוזרים, כדאי לפשט עם חוקי הלוגריתמים: $\ln\frac{x - 1}{x + 1} = \ln(x - 1) - \ln(x + 1)$ כאשר $x > 1$ . שתי נגזרות פשוטות במקום כלל המנה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x) = \ln x$ . חשבו את $f'(5)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

f'(x) = \frac{1}{x}

הנגזרת של $\ln x$ .

\begin{aligned}f'(5) &= \frac{1}{5} \\ &= 0.2\end{aligned}

מציבים.

$0.2$ . הטעות: $\ln 5 \approx 1.609$ . מציבים בנגזרת, לא בפונקציה.

ln⁡\lnln של ביטוי: כלל השרשרת

מכפלה ומנה עם ln⁡\lnln

משיק לגרף

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

$\ln$ של ביטוי: כלל השרשרת

מכפלה ומנה עם $\ln$