תחום ההגדרה של ln f(x) · פונקציית ln וחקירתה · כיתה י״ב

$\ln$ מקבלת רק מספרים חיוביים: $\ln 0$ ו- $\ln(-3)$ לא מוגדרים.

לכן ב- $\ln f(x)$ השאלה היא תמיד אחת: עבור אילו $x$ הביטוי שבפנים חיובי?

\ln f(x) \;:\; f(x) > 0

תחום ההגדרה של $\ln f(x)$ : כל ה- $x$ שעבורם $f(x) > 0$ , ושבהם $f$ עצמה מוגדרת.

ביטוי קווי בפנים

תחום ההגדרה של $f(x) = \ln(x - 3)$

דורשים שהביטוי שבפנים יהיה חיובי.

x - 3 > 0

הביטוי שבתוך $\ln$ חיובי.

x > 3

זה כל התחום. הגרף מתחיל ליד הישר $x = 3$ .

מהו תחום ההגדרה של $\ln(5 - x)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$5 - x > 0$ , כלומר $x < 5$ . שימו לב: כאן התחום משמאל למספר, כי $x$ מופיע עם סימן מינוס.

ביטוי ריבועי בפנים

כאשר בפנים יש ביטוי ריבועי, פותרים אי-שוויון ריבועי: מוצאים את השורשים ובודקים את הסימן בין השורשים ומחוצה להם.

\ln(x^2 - 4)

הפרבולה $x^2 - 4$ חיובית מחוץ לשורשים $\pm 2$ . התחום: $x < -2$ או $x > 2$ .

\ln(9 - x^2)

הפרבולה $9 - x^2$ חיובית בין השורשים $\pm 3$ . התחום: $-3 < x < 3$ .

\ln(x^2 + 1)

$x^2 + 1 \ge 1 > 0$ לכל $x$ : התחום הוא כל המספרים.

בקו המקווקו

u = 4 - x^2

, ובקו המלא

f(x) = \ln(4 - x^2)

. הגרף של

f

קיים רק איפה ש-

u

מעל ציר ה-

x

: בין

-2

ל-

2

. בשורשים של

u

יש ל-

f

אסימפטוטות אנכיות.

מהו תחום ההגדרה של $\ln\left(x^2\right)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$x^2 > 0$ לכל $x$ חוץ מ- $x = 0$ . התחום: $x \ne 0$ .

$\ln\left(x^2\right)$ ו- $2\ln x$ הן לא אותה פונקציה.

\ln\left(x^2\right) = 2\ln x

\ln\left(x^2\right) = 2\ln|x| \;\; (x \ne 0)

ל- $2\ln x$ התחום הוא $x > 0$ בלבד, ול- $\ln\left(x^2\right)$ התחום הוא $x \ne 0$ . החוק $\ln a^n = n\ln a$ דורש $a > 0$ .

שבר בפנים

תחום ההגדרה של $f(x) = \ln\frac{x - 1}{x + 2}$

שבר חיובי כאשר למונה ולמכנה יש אותו סימן. בונים טבלת סימנים.

\begin{aligned}x - 1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \qquad x + 2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

הנקודות שבהן המונה או המכנה מתאפסים מחלקות את הציר לשלושה תחומים.

x < -2 : \; \frac{-}{-} > 0 \qquad -2 < x < 1 : \; \frac{-}{+} < 0 \qquad x > 1 : \; \frac{+}{+} > 0

בודקים את הסימן בכל תחום.

x < -2 \;\text{או}\; x > 1

זה התחום. $x = 1$ לא בתחום ( $\ln 0$ ), וגם $x = -2$ לא (מכנה $0$ ).

האם $x = 0$ שייך לתחום ההגדרה של $\ln\frac{x - 1}{x + 2}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $\frac{0 - 1}{0 + 2} = -\frac{1}{2} < 0$ , ו- $\ln$ של מספר שלילי לא מוגדר.

$e^x$ בפנים, ושני תנאים יחד

\ln\left(e^{x} - 1\right) : \; e^{x} > 1 \Rightarrow x > 0

כמו במשוואות מהפרק על $e^x$ : $e^x > 1$ בדיוק כאשר $x > 0$ .

\ln x + \ln(4 - x) : \; 0 < x < 4

סכום של שני $\ln$ : שני הביטויים חיוביים. לוקחים את החיתוך.

\frac{1}{\ln x} : \; x > 0, \; x \ne 1

$\ln$ במכנה: גם $\ln x \ne 0$ , ולכן מוציאים את $x = 1$ .

את תחום ההגדרה כותבים תמיד בסעיף הראשון. כל סעיף אחר (אסימפטוטות, קיצון, סקיצה) נשען עליו: נקודת קיצון מחוץ לתחום נפסלת.

תרגילים

תרגיל 1

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \ln(2x - 6)$ ?

$x > 6$
$x > 3$
$x > \frac{1}{3}$
$x \ge 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x > 3$

הפתרון:

2x - 6 > 0

הביטוי שבפנים חיובי.

x > 3

מחלקים ב- $2$ .

$x > 3$ . התשובה $x \ge 3$ טועה: ב- $x = 3$ מקבלים $\ln 0$ , שלא מוגדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \ln(4 - x)$ ?

$x > -4$
$x > 4$
$x < 4$
$x \ne 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x < 4$

הפתרון:

4 - x > 0

הביטוי שבפנים חיובי.

x < 4

מעבירים אגף.

$x < 4$ . מי שעונה $x > 4$ מעביר את $x$ אגף ושוכח שהסימן שלו מינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \ln\left(x^2 - 9\right)$ ?

$x < -3$ או $x > 3$
$x > 3$
$-3 < x < 3$
$x \ne \pm 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x < -3$ או $x > 3$

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 - 9 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}

השורשים.

x^2 - 9 > 0 \Rightarrow x < -3 \;\text{או}\; x > 3

פרבולה מחייכת: חיובית מחוץ לשורשים.

$x < -3$ או $x > 3$ . התשובה $x > 3$ שוכחת את הענף השמאלי: גם $x = -4$ נותן $16 - 9 = 7 > 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כמה מספרים שלמים נמצאים בתחום ההגדרה של $f(x) = \ln\left(16 - x^2\right)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

16 - x^2 > 0 \Rightarrow -4 < x < 4

פרבולה בוכה: חיובית בין השורשים.

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

הקצוות $\pm 4$ לא בתחום.

$7$ . מי שסופר $9$ כולל את $\pm 4$ , אבל שם $16 - x^2 = 0$ , ו- $\ln 0$ לא מוגדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x) = \ln\frac{x + 1}{x - 3}$ . מהו המספר השלם החיובי הקטן ביותר שנמצא בתחום ההגדרה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}x &= -1 \quad \\ \quad x &= 3\end{aligned}

המונה והמכנה מתאפסים.

\frac{x+1}{x-3} > 0 \Rightarrow x < -1 \;\text{או}\; x > 3

טבלת סימנים: אותו סימן למונה ולמכנה.

x = 4

השלם החיובי הראשון אחרי $3$ .

$4$ . $x = 1$ ו- $x = 2$ נותנים שבר שלילי, ו- $x = 3$ מאפס את המכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \ln\left(e^{x} - e^{2}\right)$ ?

$x > 2$
$x > 0$
כל $x$
$x > e^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x > 2$

הפתרון:

e^{x} - e^{2} > 0 \Rightarrow e^{x} > e^{2}

הביטוי שבפנים חיובי.

x > 2

$e^x$ עולה, ולכן משווים את המעריכים.

$x > 2$ . התשובה $x > e^2$ משווה את $x$ ל- $e^2$ במקום להשוות מעריך למעריך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה $f(x) = \ln x + \ln(6 - x)$ . כמה מספרים שלמים נמצאים בתחום ההגדרה שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

x > 0 \;\text{וגם}\; 6 - x > 0

שני הביטויים חיוביים יחד.

0 < x < 6 : \; 1, 2, 3, 4, 5

חיתוך של שני התחומים.

$5$ . בסכום של שני $\ln$ לוקחים את החיתוך של התחומים, ולא את האיחוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

לפונקציות $f(x) = \ln\left(x^2\right)$ ו- $g(x) = 2\ln x$ יש אותו תחום הגדרה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x^2 > 0 \Rightarrow x \ne 0

התחום של $f$ .

x > 0

התחום של $g$ .

\begin{aligned}f(-1) &= \ln 1 \\ &= 0 \; \\ \; g(-1) \; \text{לא מוגדרת}\end{aligned}

דוגמה: $x = -1$ בתחום של $f$ בלבד.

לא נכון. החוק $\ln a^2 = 2\ln a$ נכון רק כאשר $a > 0$ . לכן הפונקציות שוות רק כאשר $x > 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \frac{3}{\ln x}$ ?

$x > 0$ ו- $x \ne 1$
$x > 1$
$x > 0$
$x \ne 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x > 0$ ו- $x \ne 1$

הפתרון:

x > 0

התנאי של $\ln$ .

\ln x \ne 0 \Rightarrow x \ne 1

התנאי של המכנה.

$x > 0$ ו- $x \ne 1$ . מי שעונה $x > 0$ שוכח את המכנה: ב- $x = 1$ מקבלים $\frac{3}{0}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו לכל פונקציה את תחום ההגדרה שלה.

$\ln(x + 2)$
$\ln(2 - x)$
$\ln\left(x^2 + 2\right)$
$\ln\left(4 - x^2\right)$

$-2 < x < 2$
$x < 2$
$x > -2$
כל $x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\ln(x + 2)$ — $x > -2$ · $\ln(2 - x)$ — $x < 2$ · $\ln\left(x^2 + 2\right)$ — כל $x$ · $\ln\left(4 - x^2\right)$ — $-2 < x < 2$

הפתרון:

x^2 + 2 \ge 2 > 0

תמיד חיובי.

4 - x^2 > 0 \Rightarrow -2 < x < 2

פרבולה בוכה.

בכל שורה שואלים: מתי הביטוי שבפנים חיובי? הסימן של $x$ (פלוס או מינוס) קובע לאיזה כיוון פונה התחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה $f(x) = \ln\frac{3 - x}{x}$ . כמה מספרים שלמים נמצאים בתחום ההגדרה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 3 \quad \\ \quad x &= 0\end{aligned}

נקודות האיפוס.

0 < x < 3

רק בתחום הזה למונה ולמכנה יש אותו סימן (שניהם חיוביים).

1, 2

המספרים השלמים.

$2$ . בשבר אי אפשר "לכפול במכנה" בלי לדעת את הסימן שלו. טבלת סימנים חוסכת את הטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

תחום ההגדרה של $f(x) = \ln\left(e^{x} - 3\right)$ הוא $x > k$ . מצאו את $k$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.099

הפתרון:

e^{x} - 3 > 0 \Rightarrow e^{x} > 3

הביטוי שבפנים חיובי.

x > \ln 3 \approx 1.099

מפעילים $\ln$ על שני האגפים. $\ln$ עולה, ולכן הסימן נשמר.

$k = \ln 3 \approx 1.099$ . כאן $\ln$ משמשת כלי (כמו במשוואות עם $e^x$ ), והגבול של התחום הוא $\ln 3$ , ולא $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

$x = -5$ שייך לתחום ההגדרה של $f(x) = \ln\frac{x + 1}{x - 3}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{-5 + 1}{-5 - 3} &= \frac{-4}{-8} \\ &= \frac{1}{2} > 0\end{aligned}

מציבים ובודקים את הסימן.

נכון. מונה שלילי ומכנה שלילי נותנים שבר חיובי. אין צורך שכל אחד מהם יהיה חיובי בנפרד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

סדרו את השלבים למציאת תחום ההגדרה של $\ln\frac{x - 2}{x + 1}$ .

בודקים את סימן השבר בכל אחד משלושת התחומים
דורשים $\frac{x - 2}{x + 1} > 0$
כותבים את התחום: $x < -1$ או $x > 2$
מוצאים את נקודות האיפוס: $x = 2$ ו- $x = -1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: דורשים $\frac{x - 2}{x + 1} > 0$ · מוצאים את נקודות האיפוס: $x = 2$ ו- $x = -1$ · בודקים את סימן השבר בכל אחד משלושת התחומים · כותבים את התחום: $x < -1$ או $x > 2$

הפתרון:

\frac{x-2}{x+1} > 0

התנאי.

x < -1 \;\text{או}\; x > 2

התוצאה של טבלת הסימנים.

קודם התנאי, אחר כך הנקודות, אחר כך הסימנים. מי שקופץ לכתוב $x > 2$ בלי טבלה מאבד את התחום השמאלי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

ביטוי קווי בפנים

ביטוי ריבועי בפנים

שבר בפנים

exe^xex בפנים, ושני תנאים יחד

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

$e^x$ בפנים, ושני תנאים יחד