סדרה 3 — מאתגר · טכניקה אלגברית, משוואות ואי-שוויונות · כיתה י׳

עשר שאלות שדורשות זיהוי: ריבוע מושלם, מכנה משותף, מספר הפתרונות דרך הדיסקרימיננטה, אי-שוויון שצריך לסדר, משוואה שנשארת בלי פתרון, שורש והצבה.

בכל משוואה שהשתנתה בדרך — כפל במכנה, העלאה בריבוע, הצבה — הצעד האחרון הוא בדיקה. כתבו אותה כשורה.

תרגילים

תרגיל 1

פרקו לגורמים: $x^2 - 10x + 25$

$(x + 5)^2$
$(x - 5)(x + 5)$
$x(x - 10) + 25$
$(x - 5)^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $(x - 5)^2$

הפתרון:

x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x + 5^2

מזהים: ריבוע של הפרש

(x - 5)^2

הפירוק

הנכונה: $(x - 5)^2$ . $(x - 5)(x + 5)$ הוא הפרש ריבועים $x^2 - 25$ , בלי איבר אמצעי. $(x + 5)^2$ נותן $+10x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו: $\dfrac{2}{x - 3} + \dfrac{1}{x}$

$\dfrac{3x - 3}{x(x - 3)}$
$\dfrac{2x - 3}{x(x - 3)}$
$\dfrac{3}{x(x - 3)}$
$\dfrac{3}{2x - 3}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\dfrac{3x - 3}{x(x - 3)}$

הפתרון:

x \neq 3 ,\ x \neq 0

תחום ההגדרה

\frac{2x}{x(x - 3)} + \frac{x - 3}{x(x - 3)}

מכנה משותף $x(x - 3)$

= \frac{2x + x - 3}{x(x - 3)} = \frac{3x - 3}{x(x - 3)}

מחברים מונים

הנכונה: $\frac{3x - 3}{x(x - 3)}$ . $\frac{3}{2x - 3}$ חיברה מונים ומכנים בנפרד, וזה לא חיבור שברים. בדיקה ב- $x = 1$ : $-1 + 1 = 0$ , ו- $\frac{0}{-2} = 0$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו: $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25}

שורש של מנה: מאחדים

\sqrt{25} = 5

ריבוע שלם

או דרך הוצאת גורם: $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ , ואז $\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו: $(2\sqrt{3})^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2

חזקה של מכפלה

= 4 \cdot 3 = 12

מחשבים

מי שענה $6$ העלה בריבוע רק את המקדם או רק את השורש. שניהם מועלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה פתרונות יש למשוואה $x^2 - 6x + 9 = 0$ ?

אחד
אינסוף
שניים
אף לא אחד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אחד

הפתרון:

\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 36 - 36 \\ &= 0\end{aligned}

דיסקרימיננטה אפס

\begin{aligned}(x - 3)^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

ריבוע מושלם: שורש כפול

הנכונה: אחד. הפרבולה $y = x^2 - 6x + 9$ משיקה לציר ה- $x$ בנקודה $(3,\,0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו הפתרון החיובי של המשוואה $2x^2 - 5x - 3 = 0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 25 + 24 \\ &= 49\end{aligned}

הדיסקרימיננטה

\begin{aligned}x &= \frac{5 \pm 7}{4} \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

נוסחת השורשים

2 \cdot 9 - 15 - 3 = 0

בדיקה ל- $x = 3$ ✓

כשהמקדם המוביל אינו $1$ , הנוסחה בטוחה יותר מניחוש פירוק. שימו לב ל- $c = -3$ : $-4ac = +24$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו: $x^2 > 2x + 8$

$x < -2$ או $x > 4$
$x > 4$
$-2 < x < 4$
$x < -4$ או $x > 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x < -2$ או $x > 4$

הפתרון:

x^2 - 2x - 8 > 0

מעבירים הכול לאגף אחד

\begin{aligned}(x - 4)(x + 2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \ x &= -2\end{aligned}

שורשים

x < -2 \ \text{או} \ x > 4

פתוחה כלפי מעלה: חיובית בחוץ

הנכונה: $x < -2$ או $x > 4$ . אי-שוויון ריבועי לא פותרים כשיש איברים בשני האגפים: קודם מסדרים מול אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו: $\dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{4}{x - 2} + 1$

אין פתרון
$x = 2$
$x = 4$
$x = 6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אין פתרון

הפתרון:

x \neq 2

תחום ההגדרה

x = 4 + (x - 2)

כופלים ב- $x - 2$

\begin{aligned}x &= x + 2 \ \Rightarrow \ 0 \\ &= 2\end{aligned}

סתירה: אין פתרון

הנכונה: אין פתרון. ה- $x$ נעלם ונשאר שקר. ומי שניחש $x = 2$ בחר ערך מחוץ לתחום ההגדרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פתרו: $\sqrt{x + 6} = x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}x + 6 &= x^2 \ \Rightarrow \ x^2 - x - 6 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

\begin{aligned}(x - 3)(x + 2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -2\end{aligned}

מועמדים

\begin{aligned}x &= 3: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \ \checkmark \qquad x \\ &= -2: \ \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2\end{aligned}

בדיקה: $x = -2$ נפסל

אגף ימין הוא $x$ עצמו, ושורש אינו שלילי: לכן רק $x \geq 0$ יכול להתאים, ו- $x = -2$ נפסל מראש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פתרו: $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

$x = 3$ או $x = 1$
$x = 1$ או $x = 9$
$x = \pm 3$
$x = \pm 1$ או $x = \pm 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x = \pm 1$ או $x = \pm 3$

הפתרון:

\begin{aligned}t &= x^2: \ t^2 - 10t + 9 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (t - 1)(t - 9) \\ &= 0\end{aligned}

הצבה ופירוק

\begin{aligned}x^2 &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1 \qquad x^2 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 3\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

הנכונה: $x = \pm 1$ או $x = \pm 3$ . ארבעה פתרונות. « $x = 1$ או $x = 9$ » עצרה ב- $t$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev