סדרה 4 — מתקדם · טכניקה אלגברית, משוואות ואי-שוויונות · כיתה י׳

עשר שאלות של שלושה צעדים: פירוק בשלושה גשעים, שבר שמצמצמים ואז מחשבים, פרמטר בדיסקרימיננטה, מערכת שבה הישר משיק, אי-שוויון עם $a < 0$ , ומשוואה עם שני שורשים ושני פתרונות.

פרמטר בדיסקרימיננטה: «פתרון אחד» פירושו $b^2 - 4ac = 0$ . מערכת עם פתרון יחיד פירושה שהישר משיק לפרבולה. שני הרעיונות הם אותו רעיון.

תרגילים

תרגיל 1

פרקו לגורמים באופן מלא: $2x^3 - 8x$

$2(x^3 - 4x)$
$2x(x - 2)^2$
$2x(x - 2)(x + 2)$
$2x(x^2 - 4)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $2x(x - 2)(x + 2)$

הפתרון:

2x(x^2 - 4)

גורם משותף $2x$

2x(x - 2)(x + 2)

הפרש ריבועים בסוגריים

הנכונה: $2x(x - 2)(x + 2)$ . $2x(x^2 - 4)$ נכונה אבל לא מלאה: «באופן מלא» פירושו עד שאין מה לפרק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

צמצמו את $\dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9}$ , וחשבו את ערכו של הביטוי המצומצם ב- $x = 1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

\frac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 2}{x + 3}

טרינום במונה, הפרש ריבועים במכנה, מצמצמים $x - 3$

\begin{aligned}x &= 1: \ \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}\frac{1 - 1 - 6}{1 - 9} &= \frac{-6}{-8} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

בדיקה בביטוי המקורי ✓

הביטוי המקורי והמצומצם נותנים אותו ערך בכל $x$ בתחום. זו בדיוק המשמעות של צמצום נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פשטו: $\dfrac{a^5 \cdot (a^2)^3}{a^4}$

$a^{26}$
$a^7$
$a^{6}$
$a^{4}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $a^7$

הפתרון:

(a^2)^3 = a^6

חזקה של חזקה

a^5 \cdot a^6 = a^{11}

כפל: מחברים

\frac{a^{11}}{a^4} = a^7

חילוק: מחסרים

הנכונה: $a^7$ . $a^{26}$ הכפילה בשלב הכפל. $a^6$ חיברה $5 + 2 \cdot 3$ ושכחה לחלק, או חילקה $11 : 4$ ועיגלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו: $\dfrac{\sqrt{32} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}\sqrt{32} &= \sqrt{16 \cdot 2} \\ &= 4\sqrt{2}\end{aligned}

מוציאים גורם

\begin{aligned}\frac{4\sqrt{2} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} &= \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= 5\end{aligned}

מחברים ומצמצמים

אפשר גם לחלק כל מחובר בנפרד: $\sqrt{16} + 1 = 5$ . שתי הדרכים חוקיות, כי במונה סכום של שני איברים שכל אחד מתחלק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

עבור איזה ערך חיובי של $k$ למשוואה $x^2 + kx + 16 = 0$ יש פתרון אחד בדיוק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

b^2 - 4ac = k^2 - 64

הדיסקרימיננטה

\begin{aligned}k^2 - 64 &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= \pm 8\end{aligned}

פתרון אחד: דיסקרימיננטה אפס

\begin{aligned}k &= 8: \ x^2 + 8x + 16 \\ &= (x + 4)^2\end{aligned}

בדיקה: ריבוע מושלם ✓

גם $k = -8$ נותן ריבוע מושלם, $(x - 4)^2$ . השאלה ביקשה את החיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו את המערכת: $y = x^2 - 4x + 4$ ו- $y = -x + 4$ . רשמו את שתי הנקודות, קודם זו עם ה- $x$ הקטן.

( ____ , ____ ) ו-( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ( 0 , 4 ) ו-( 3 , 1 )

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 - 4x + 4 &= -x + 4 \ \Rightarrow \ x^2 - 3x \\ &= 0\end{aligned}

משווים

\begin{aligned}x(x - 3) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 3\end{aligned}

גורם משותף, לא מחלקים ב- $x$

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 4 \\ \qquad x &= 3 \ \Rightarrow \ y \\ &= 1\end{aligned}

מציבים בישר

מי שחילק ב- $x$ איבד את הנקודה $(0,\,4)$ , שהיא נקודת החיתוך של שני הגרפים עם ציר ה- $y$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה המערכת $y = x^2 + 2$ ו- $y = 2x + 1$ . מה נכון?

שני פתרונות
פתרון יחיד, $(0,\,1)$
אין פתרון
פתרון יחיד, $(1,\,3)$ : הישר משיק לפרבולה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד פתרון יחיד, $(1,\,3)$ : הישר משיק לפרבולה

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 + 2 &= 2x + 1 \ \Rightarrow \ x^2 - 2x + 1 \\ &= 0\end{aligned}

משווים

\begin{aligned}(x - 1)^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ y &= 3\end{aligned}

שורש כפול

\begin{aligned}1 + 2 &= 3 \\ &= 2 + 1\end{aligned}

בדיקה בשתי המשוואות ✓

הנכונה: פתרון יחיד, $(1,\,3)$ . דיסקרימיננטה אפס במשוואת ההצבה: הישר נוגע בפרבולה בנקודה אחת. $(0,\,1)$ על הישר אבל לא על הפרבולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו: $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$

$x \leq 1$ או $x \geq 3$
$x \geq 3$
$-3 \leq x \leq -1$
$1 \leq x \leq 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $1 \leq x \leq 3$

הפתרון:

x^2 - 4x + 3 \leq 0

כופלים ב- $-1$ : הכיוון מתהפך

\begin{aligned}(x - 1)(x - 3) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

שורשים

1 \leq x \leq 3

פתוחה כלפי מעלה, $\leq 0$ בין השורשים

הנכונה: $1 \leq x \leq 3$ . אפשר גם בלי להפוך: $a = -1 < 0$ , פרבולה פתוחה כלפי מטה, חיובית בין השורשים. שתי הדרכים נותנות אותו קטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פתרו: $\dfrac{x}{x + 2} + \dfrac{1}{x} = 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x \neq -2 ,\ x \neq 0

תחום ההגדרה

x \cdot x + (x + 2) = x(x + 2)

כופלים במכנה המשותף $x(x + 2)$

\begin{aligned}x^2 + x + 2 &= x^2 + 2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

ה- $x^2$ מצטמצם

\frac{2}{4} + \frac{1}{2} = 1

בתחום, ובדיקה ✓

גם ה- $1$ באגף ימין מוכפל במכנה המשותף. מי ששכח קיבל $x^2 + x + 2 = 1$ , משוואה אחרת לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פתרו: $\sqrt{3x + 4} - \sqrt{x} = 2$

$x = 0$ או $x = 4$
אין פתרון
$x = 4$
$x = 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x = 0$ או $x = 4$

הפתרון:

\sqrt{3x + 4} = 2 + \sqrt{x}

מבודדים

\begin{aligned}3x + 4 &= 4 + 4\sqrt{x} + x \ \Rightarrow \ 2x \\ &= 4\sqrt{x} \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\sqrt{x}\end{aligned}

מעלים בריבוע ומצמצמים

\begin{aligned}x^2 &= 4x \ \Rightarrow \ x(x - 4) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

מעלים בריבוע שוב, גורם משותף

\begin{aligned}x &= 0: \ 2 - 0 \\ &= 2 \ \checkmark \qquad x \\ &= 4: \ 4 - 2 \\ &= 2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: שניהם

הנכונה: $x = 0$ או $x = 4$ . מי שחילק את $x = 2\sqrt{x}$ ב- $\sqrt{x}$ מצא רק $x = 4$ : חלוקה במשהו שיכול להיות אפס מאבדת פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev