סדרה 5 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שתי שאלות בנוסח הבגרות, מחולקות לסעיפים: פרבולה וישר בגרף, ושבר אלגברי שמצמצמים ואז פותרים. ועוד שלוש שאלות קצרות: משוואה אי-רציונלית, דו-ריבועית, ושורשים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, וכולם על אותם נתונים.

כתבו כל סעיף כמו בבחינה: הצעד, החישוב, והבדיקה. סעיף שנשען על סעיף קודם — הפנו אליו: «לפי סעיף א, נקודות המפגש הן...».

תרגילים

תרגיל 1

f(x) = x² − 2x − 3 (כחול) ו-g(x) = x + 1 (כתום)

נתונות הפונקציות f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 ו-g(x)=x+1g(x) = x + 1, המשורטטות בגרף. א. מצאו את נקודות המפגש של שני הגרפים. רשמו קודם את הנקודה עם ה-xx הקטן.

( ____ , ____ ) ו-( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ( -1 , 0 ) ו-( 4 , 5 )

הפתרון:

x2−2x−3=x+1 ⇒ x2−3x−4=0\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= x + 1 \ \Rightarrow \ x^2 - 3x - 4 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים אגף

(x−4)(x+1)=0 ⇒ x=−1 x=4\begin{aligned}(x - 4)(x + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

מפרקים

x=−1 ⇒ y=0x=4 ⇒ y=5\begin{aligned}x &= -1 \ \Rightarrow \ y \\ &= 0 \\ \qquad x &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 5\end{aligned}

מציבים בישר

הגרף מאשר: (−1, 0)(-1,\,0) על ציר ה-xx, ו-(4, 5)(4,\,5) למעלה מימין. תשובה שלא מתאימה לגרף היא סימן לטעות סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

f(x) = x² − 2x − 3 (כחול) ו-g(x) = x + 1 (כתום)

נתונות הפונקציות f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 ו-g(x)=x+1g(x) = x + 1, המשורטטות בגרף. ב. עבור אילו ערכי xx מתקיים f(x)<g(x)f(x) < g(x)?

  1. −1<x<3-1 < x < 3
  2. x<−1x < -1 או x>4x > 4
  3. x<4x < 4
  4. −1<x<4-1 < x < 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −1<x<4-1 < x < 4

הפתרון:

x=−1 x=4\begin{aligned}x &= -1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

נקודות המפגש, לפי סעיף א

−1<x<4-1 < x < 4

הישר מעל הפרבולה בין המפגשים

x=0: f(0)=−3<g(0)=1\begin{aligned}x &= 0: \ f(0) \\ &= -3 < g(0) \\ &= 1\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: −1<x<4-1 < x < 4. −1<x<3-1 < x < 3 עונה על «איפה ff שלילית», שאלה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

f(x) = x² − 2x − 3 (כחול) ו-g(x) = x + 1 (כתום)

נתונות הפונקציות f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 ו-g(x)=x+1g(x) = x + 1, המשורטטות בגרף. ג. עבור אילו ערכי xx מתקיים f(x)<0f(x) < 0?

  1. x<3x < 3
  2. x<−1x < -1 או x>3x > 3
  3. −1<x<3-1 < x < 3
  4. −1<x<4-1 < x < 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג −1<x<3-1 < x < 3

הפתרון:

x2−2x−3=(x−3)(x+1)=0 ⇒ x=−1 x=3\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= (x - 3)(x + 1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

חיתוך ff עם ציר ה-xx

−1<x<3-1 < x < 3

פתוחה כלפי מעלה: שלילית בין השורשים

הנכונה: −1<x<3-1 < x < 3. הפעם משווים את ff לציר ה-xx, לא ל-gg: השורשים −1-1 ו-33, ולא נקודות המפגש −1-1 ו-44.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

f(x) = x² − 2x − 3 (כחול) ו-g(x) = x + 1 (כתום)

נתונות הפונקציות f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 ו-g(x)=x+1g(x) = x + 1, המשורטטות בגרף. ד. עבור איזה ערך של kk לישר y=ky = k ולפרבולה ff יש נקודה משותפת אחת בדיוק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

x2−2x−3=k ⇒ x2−2x−(3+k)=0\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= k \ \Rightarrow \ x^2 - 2x - (3 + k) \\ &= 0\end{aligned}

משווים

4+4(3+k)=0 ⇒ 16+4k=0 ⇒ k=−4\begin{aligned}4 + 4(3 + k) &= 0 \ \Rightarrow \ 16 + 4k \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= -4\end{aligned}

פתרון אחד: דיסקרימיננטה אפס

f(1)=1−2−3=−4\begin{aligned}f(1) &= 1 - 2 - 3 \\ &= -4\end{aligned}

בדיקה: זה ערך הקודקוד, ב-x=1x = 1 ✓

ישר אופקי פוגש פרבולה בנקודה אחת רק כשהוא עובר בקודקוד. מתחת לקודקוד אין מפגש, מעליו שניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון הביטוי x2−16x2−8x+16\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}. א. איזה ערך של xx אסור?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x2−8x+16=(x−4)2x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2

המכנה: ריבוע של הפרש

(x−4)2≠0 ⇒ x≠4(x - 4)^2 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 4

ערך אחד אסור

המכנה הוא ריבוע מושלם, ולכן יש לו שורש אחד בלבד. מי שענה ±4\pm 4 קרא אותו כהפרש ריבועים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון הביטוי x2−16x2−8x+16\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}. ב. צמצמו את הביטוי.

  1. x+4(x−4)2\dfrac{x + 4}{(x - 4)^2}
  2. −16−8x+16\dfrac{-16}{-8x + 16}
  3. x−4x+4\dfrac{x - 4}{x + 4}
  4. x+4x−4\dfrac{x + 4}{x - 4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x+4x−4\dfrac{x + 4}{x - 4}

הפתרון:

x2−16=(x−4)(x+4)x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)

הפרש ריבועים במונה

(x−4)(x+4)(x−4)2=x+4x−4\frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 4)^2} = \frac{x + 4}{x - 4}

מצמצמים גורם x−4x - 4 אחד

הנכונה: x+4x−4\frac{x + 4}{x - 4}. −16−8x+16\frac{-16}{-8x + 16} «צמצמה» את x2x^2, איבר של סכום. בדיקה ב-x=0x = 0: −1616=−1\frac{-16}{16} = -1 ו-4−4=−1\frac{4}{-4} = -1 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון הביטוי x2−16x2−8x+16\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}. ג. פתרו: x2−16x2−8x+16=3\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16} = 3

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

x+4x−4=3\frac{x + 4}{x - 4} = 3

לפי סעיף ב

x+4=3(x−4) ⇒ x+4=3x−12 ⇒ x=8\begin{aligned}x + 4 &= 3(x - 4) \ \Rightarrow \ x + 4 \\ &= 3x - 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

כופלים ב-x−4x - 4, מותר כי x≠4x \neq 4

64−1664−64+16=4816=3\begin{aligned}\frac{64 - 16}{64 - 64 + 16} &= \frac{48}{16} \\ &= 3\end{aligned}

בדיקה בביטוי המקורי ✓

x=8x = 8 בתחום (סעיף א). הצמצום מסעיף ב הפך משוואה ריבועית למשוואה ממעלה ראשונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו: x+10=x−2\sqrt{x + 10} = x - 2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

x+10=x2−4x+4x + 10 = x^2 - 4x + 4

מעלים בריבוע: (x−2)2(x - 2)^2 לפי הזהות

x2−5x−6=0 ⇒ (x−6)(x+1)=0\begin{aligned}x^2 - 5x - 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 6)(x + 1) \\ &= 0\end{aligned}

מועמדים 66 ו-−1-1

x=6: 16=4=6−2 ✓x=−1: 9=3≠−3\begin{aligned}x &= 6: \ \sqrt{16} \\ &= 4 \\ &= 6 - 2 \ \checkmark \qquad x \\ &= -1: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \neq -3\end{aligned}

בדיקה: x=−1x = -1 נפסל

אגף ימין x−2x - 2 חייב להיות אי-שלילי: x≥2x \geq 2. זה פוסל את x=−1x = -1 עוד לפני ההצבה, אבל ההצבה היא מה שכותבים בבחינה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פתרו: x4−17x2+16=0x^4 - 17x^2 + 16 = 0

  1. x=±2x = \pm 2 או x=±8x = \pm 8
  2. x=±4x = \pm 4
  3. x=±1x = \pm 1 או x=±4x = \pm 4
  4. x=1x = 1 או x=16x = 16
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x=±1x = \pm 1 או x=±4x = \pm 4

הפתרון:

t=x2: t2−17t+16=0 ⇒ (t−1)(t−16)=0\begin{aligned}t &= x^2: \ t^2 - 17t + 16 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (t - 1)(t - 16) \\ &= 0\end{aligned}

הצבה ופירוק: מכפלה 1616, סכום 1717

x2=1 ⇒ x=±1x2=16 ⇒ x=±4\begin{aligned}x^2 &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1 \qquad x^2 \\ &= 16 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 4\end{aligned}

חוזרים ל-xx

x=4: 256−272+16=0\begin{aligned}x &= 4: \ 256 - 272 + 16 \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: x=±1x = \pm 1 או x=±4x = \pm 4. «±2\pm 2 או ±8\pm 8» חילקה את tt ב-22 במקום להוציא שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חשבו: 12⋅2732\dfrac{\sqrt{12} \cdot \sqrt{27}}{3^2}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

12⋅27=324=18\begin{aligned}\sqrt{12} \cdot \sqrt{27} &= \sqrt{324} \\ &= 18\end{aligned}

שורש של מכפלה: 12⋅27=324=18212 \cdot 27 = 324 = 18^2

189=2\frac{18}{9} = 2

מחלקים ב-32=93^2 = 9

או דרך הוצאת גורמים: 23⋅33=6⋅3=182\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18. שתי הדרכים, אותה תשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת