אנכים אמצעיים וגבהים · קווים מיוחדים במשולש · כיתה י׳

שני יישובים, $A$ ו- $B$ , רוצים מגדל מים משותף, במרחק שווה משניהם. איפה אפשר להציב אותו? לא בנקודה אחת: יש קו שלם של מקומות אפשריים, וכולם על ישר אחד, שעובר באמצע הדרך בין היישובים ומאונך לה.

M

אמצע

AB

, והישר

MP

מאונך ל-

AB

: זה האנך האמצעי. לכל נקודה עליו,

P

או

Q

, המרחקים משני הקצוות שווים.

למה $PA = PB$ בשרטוט? נסו לנמק בעזרת חפיפת משולשים.

להציג את התשובה והפתרון

המשולשים $PMA$ ו- $PMB$ חופפים לפי צ.ז.צ: $AM = MB$ (אמצע), $\angle PMA = \angle PMB = 90^\circ$ (אנך), ו- $PM$ צלע משותפת. לכן $PA = PB$ . וזה נכון לכל נקודה על הישר.

הגדרה ומקום גאומטרי

אנך אמצעי לקטע הוא ישר המאונך לקטע ועובר דרך אמצעו. שימו לב: התיכון, הגובה וחוצה הזווית יוצאים מקודקוד; האנך האמצעי לא חייב לעבור דרך אף קודקוד.

PA = PB

משפט: כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע. וההפך: נקודה שנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע נמצאת על האנך האמצעי שלו.

כמו חוצה הזווית, גם האנך האמצעי הוא מקום גאומטרי: קבוצת כל הנקודות שמקיימות תנאי. חוצה הזווית אוסף את הנקודות ששוות-מרחק משתי שוקיים; האנך האמצעי אוסף את הנקודות ששוות-מרחק משתי נקודות.

האנך האמצעי לצלע

BC

עובר דרך אמצע הצלע,

D

, ובדרך כלל לא דרך הקודקוד

A

במשולש $ABC$ שבשרטוט, האם האנך האמצעי לצלע $BC$ עובר דרך $A$ ? מתי כן?

להציג את התשובה והפתרון

בדרך כלל לא. הוא עובר דרך $A$ רק כש- $AB = AC$ , כי אז $A$ שוות-מרחק מ- $B$ ומ- $C$ , ולפי המשפט ההפוך היא על האנך האמצעי. במשולש שווה שוקיים האנך האמצעי לבסיס הוא גם הגובה, התיכון וחוצה זווית הראש.

שלושת האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת

D

E

F

אמצעי הצלעות. שלושת האנכים האמצעיים נפגשים ב-

O

, ו-

OA = OB = OC

משפט: שלושת האנכים האמצעיים של צלעות המשולש נחתכים בנקודה אחת. ההסבר בא מהמקום הגאומטרי: הנקודה שבה נפגשים האנכים האמצעיים של $AB$ ושל $BC$ מקיימת $OA = OB$ וגם $OB = OC$ , ולכן $OA = OC$ , ולכן היא גם על האנך האמצעי של $AC$ . נקודת המפגש נמצאת במרחק שווה משלושת הקודקודים.

\alpha, \beta, \gamma < 90^\circ

משולש חד זוויות: נקודת המפגש בתוך המשולש

\gamma = 90^\circ

משולש ישר זווית: נקודת המפגש על אמצע היתר

\gamma > 90^\circ

משולש קהה זווית: נקודת המפגש מחוץ למשולש

במשולש ישר זווית נקודת המפגש של האנכים האמצעיים היא אמצע היתר.

במשולש ישר זווית נקודת המפגש של האנכים האמצעיים היא אמצע היתר. איזה משפט מהיחידה הקודמת אומר את אותו דבר?

להציג את התשובה והפתרון

התיכון ליתר שווה למחצית היתר. אמצע היתר $O$ מקיים $OA = OC$ (חצי היתר) וגם $OB =$ חצי היתר, לפי המשפט. שלושת המרחקים שווים, ולכן $O$ על שלושת האנכים האמצעיים.

גבהים

גובה במשולש הוא קטע היוצא מקודקוד ומאונך לצלע שממול, או להמשכה. משפט: שלושת הגבהים של משולש, או המשכיהם, נחתכים בנקודה אחת. כאן ההבדל בין שלושת סוגי המשולשים בולט ביותר:

\alpha, \beta, \gamma < 90^\circ

חד זוויות: שלושת הגבהים בתוך המשולש, ונקודת המפגש בפנים

\gamma = 90^\circ

ישר זווית: שני הניצבים הם גבהים, ונקודת המפגש היא קודקוד הזווית הישרה

\gamma > 90^\circ

קהה זווית: שני גבהים נופלים על המשכי הצלעות, ונקודת המפגש מחוץ למשולש

הגובה ליתר במשולש ישר זווית

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $BC = 8$ . $CH$ הגובה ליתר. מצאו את $CH$ .

\begin{aligned}AB &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BC}{2} \\ &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

שטח בעזרת שני הניצבים: כל ניצב הוא גובה לניצב השני

\begin{aligned}S &= \frac{AB \cdot CH}{2} \ \Rightarrow \ \frac{10 \cdot CH}{2} \\ &= 24 \ \Rightarrow \ CH \\ &= 4.8\end{aligned}

אותו שטח בעזרת היתר והגובה אליו

«שטח בשתי דרכים» הוא הכלי לכל גובה במשולש ישר זווית: הניצבים נותנים את השטח, והיתר עם הגובה אליו נותן אותו שטח.

שלוש טעויות של האנך האמצעי והגובה.

AH \perp BC \ \Rightarrow \ BH = HC

\begin{aligned}BH &= HC \ \Leftrightarrow \ AB \\ &= AC\end{aligned}

גובה יוצא מקודקוד ומאונך לצלע; אנך אמצעי מאונך לצלע ועובר באמצעה, ובדרך כלל לא מגיע לקודקוד. הם מתלכדים רק במשולש שווה שוקיים.

\angle B > 90^\circ \ \Rightarrow \ H \ \text{בפנים}

\angle B > 90^\circ \ \Rightarrow \ H \ \text{בחוץ}

במשולש קהה זווית הגבהים עצמם לא נפגשים; המשכיהם נפגשים, מחוץ למשולש.

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC \ \Rightarrow \ O \\ &= G\end{aligned}

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC \ \Rightarrow \ O \neq G\end{aligned}

$G$ היא נקודת מפגש התיכונים. הנקודה ששוות-מרחק מהקודקודים היא מפגש האנכים האמצעיים, ובדרך כלל היא נקודה אחרת: מרחקי $G$ מהקודקודים שונים זה מזה.

תרגילים

תרגיל 1

$P$ נקודה על האנך האמצעי של הקטע $AB$ . נתון $PA = 7$ . מהו $PB$ ?

$14$
לא ניתן לדעת בלי $AB$
$7$
$3.5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $7$

הפתרון:

\begin{aligned}PA &= PB \\ &= 7\end{aligned}

נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע

הנכונה: $7$ . אורך $AB$ לא נחוץ: המשפט מדבר על שני המרחקים בלבד, והם שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

האנך האמצעי לצלע

BC

עובר דרך אמצע הצלע,

D

, ובדרך כלל לא דרך הקודקוד

A

הוכיחו או הפריכו: בכל משולש, האנך האמצעי לצלע עובר דרך הקודקוד שממול לצלע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

AB \neq AC

דוגמה נגדית: במשולש שבו $AB = 5$ ו- $AC = 8$ הקודקוד $A$ אינו שווה-מרחק מ- $B$ ומ- $C$

AB \neq AC \ \Rightarrow \ A \notin \ell

$\ell$ האנך האמצעי של $BC$ : לפי המקום הגאומטרי, $A$ נמצאת עליו רק אם $AB = AC$

הטענה לא נכונה. האנך האמצעי לצלע $BC$ עובר דרך $A$ רק כש- $AB = AC$ . זו טעות של ערבוב בין אנך אמצעי לגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש ישר זווית, איפה נמצאת נקודת המפגש של שלושת האנכים האמצעיים?

באמצע הניצב הארוך
באמצע היתר
בקודקוד הזווית הישרה
מחוץ למשולש

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב באמצע היתר

הפתרון:

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC \\ &= \frac{AC}{2}\end{aligned}

אמצע היתר נמצא במרחק שווה משלושת הקודקודים: התיכון ליתר שווה למחצית היתר

הנכונה: באמצע היתר. בקודקוד הזווית הישרה נפגשים הגבהים, לא האנכים האמצעיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש ישר זווית נקודת המפגש של האנכים האמצעיים היא אמצע היתר.

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 9$ ו- $BC = 12$ . $O$ נקודת המפגש של האנכים האמצעיים. מצאו את $OA$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.5

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{9^2 + 12^2} \\ &= 15\end{aligned}

משפט פיתגורס

OA = OC

$O$ אמצע היתר: במשולש ישר זווית האנכים האמצעיים נפגשים באמצע היתר

\begin{aligned}OA &= \frac{AC}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

חצי היתר

$OA = 7.5$ , וכך גם $OB$ ו- $OC$ . שני צעדים: היתר, ואז חצי ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש קהה זווית, איפה נפגשים שלושת הגבהים או המשכיהם?

מחוץ למשולש
בתוך המשולש
על הצלע הארוכה
בקודקוד הזווית הקהה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מחוץ למשולש

הפתרון:

\angle B > 90^\circ

הגבהים מ- $A$ ומ- $C$ נופלים על המשכי הצלעות, מחוץ למשולש

\Rightarrow

המשכי הגבהים נפגשים מחוץ למשולש

הנכונה: מחוץ למשולש. בקודקוד הזווית נפגשים הגבהים רק כשהזווית ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

CH

הגובה ליתר. שני הניצבים

AC

ו-

BC

הם גם הם גבהים של המשולש.

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $BC = 8$ . $CH$ הגובה ליתר $AB$ . מצאו את $CH$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.8

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{36 + 64} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

שטח בעזרת הניצבים

\begin{aligned}\frac{10 \cdot CH}{2} &= 24 \ \Rightarrow \ CH \\ &= 4.8\end{aligned}

אותו שטח בעזרת היתר והגובה ליתר

$CH = 4.8$ . הגובה ליתר קצר משני הניצבים, וזה תמיד כך: הוא הקטע הקצר ביותר מ- $C$ אל $AB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

התאימו לכל סוג משולש את מיקום נקודת המפגש של הגבהים (או המשכיהם).

חד זוויות
ישר זווית
קהה זווית

בקודקוד הזווית הישרה
בתוך המשולש
מחוץ למשולש

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: חד זוויות — בתוך המשולש · ישר זווית — בקודקוד הזווית הישרה · קהה זווית — מחוץ למשולש

הפתרון:

\angle C = 90^\circ \ \Rightarrow \ AC \perp BC

במשולש ישר זווית שני הניצבים הם גבהים, ושניהם עוברים דרך $C$

שלושה סוגים, שלושה מקומות. הכלל לזכור: ככל שהזווית הגדולה גדלה, נקודת המפגש «נדחפת» מהפנים אל הקודקוד ואז החוצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 10$ ו- $BC = 12$ . $AD$ הגובה לבסיס $BC$ . השלימו.

$BD =$ ____ , $AD =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $BD =$ 6 , $AD =$ 8

הפתרון:

\begin{aligned}BD &= DC \\ &= 6\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון

\begin{aligned}AD^2 &= 10^2 - 6^2 \\ &= 64 \ \Rightarrow \ AD \\ &= 8\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABD$

$BD = 6$ ו- $AD = 8$ . הגובה $AD$ הוא כאן גם התיכון, גם חוצה זווית הראש וגם האנך האמצעי ל- $BC$ . ארבעה שמות, קטע אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$P$ נקודה על האנך האמצעי של הקטע $AB$ . נתון $PA = 2x + 1$ ו- $PB = 3x - 4$ . מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

PA = PB

נקודה על האנך האמצעי שוות-מרחק מקצות הקטע

\begin{aligned}2x + 1 &= 3x - 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

פותרים

\begin{aligned}PA &= PB \\ &= 11\end{aligned}

בדיקה ✓

$x = 5$ . המשפט הופך שרטוט למשוואה: שוויון מרחקים, ואז אלגברה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון: $PA = PB$ ו- $QA = QB$ . הוכיחו: הישר $PQ$ הוא האנך האמצעי של הקטע $AB$ .

$PA = PB$
$QA = QB$

$PQ$ הוא האנך האמצעי של $AB$

להציג את התשובה והפתרון

$P$ נמצאת על האנך האמצעי של $AB$ — נקודה שנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע נמצאת על האנך האמצעי שלו (המשפט ההפוך)
$Q$ נמצאת על האנך האמצעי של $AB$ — אותו נימוק: $QA = QB$
$PQ$ הוא האנך האמצעי של $AB$ — דרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד, ושתיהן על האנך האמצעי

הפתרון:

\begin{aligned}PA &= PB \\ \ QA &= QB \ \Rightarrow \ P \\ Q \in \ell\end{aligned}

$\ell$ האנך האמצעי של $AB$ : המשפט ההפוך, פעמיים

PQ = \ell

דרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד

בלי חפיפת משולשים בכלל. המקום הגאומטרי עושה את העבודה: כל נקודה ששוות-מרחק מ- $A$ ומ- $B$ נמצאת על אותו ישר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הגדרה ומקום גאומטרי

שלושת האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת

גבהים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev