חוצי זוויות · קווים מיוחדים במשולש · כיתה י׳

קחו דף, סמנו עליו זווית, וקפלו אותו כך ששתי השוקיים יתלכדו בדיוק. קו הקיפול הוא חוצה הזווית. עכשיו סמנו נקודה על קו הקיפול ומדדו את המרחק שלה מכל שוק: כשמקפלים, שני האנכים נופלים זה על זה. המרחקים שווים, בכל נקודה שתבחרו.

AP

חוצה את הזווית

A

PK

ו-

PL

הם המרחקים של

P

משתי השוקיים, ותמיד

PK = PL

מהו «המרחק של נקודה מישר»? ולמה בקיפול $PK$ נופל בדיוק על $PL$ ?

להציג את התשובה והפתרון

המרחק של נקודה מישר הוא אורך האנך מהנקודה אל הישר, הקטע הקצר ביותר. בקיפול השוק $AB$ נופלת על $AC$ , והאנך מ- $P$ אל $AB$ נופל על האנך מ- $P$ אל $AC$ : אותה נקודה, אותו ישר, אותו אנך.

הגדרה ומקום גאומטרי

חוצה זווית במשולש הוא קטע היוצא מקודקוד, מחלק את זווית המשולש לשתי זוויות שוות, ומסתיים על הצלע שממול. $AD$ חוצה זווית כאשר $\angle BAD = \angle DAC$ .

\begin{aligned}\angle BAD &= \angle DAC \ \Leftrightarrow \ PK \\ &= PL\end{aligned}

משפט: כל נקודה על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משתי שוקי הזווית. וההפך: נקודה שנמצאת במרחקים שווים משתי שוקי הזווית נמצאת על חוצה הזווית.

שני הכיוונים יחד אומרים שחוצה הזווית הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן משתי השוקיים שווה: כל נקודה עליו מקיימת את התנאי, ואף נקודה מחוצה לו לא.

שלושת חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת

משפט: שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת. הסיבה נמצאת במקום הגאומטרי: נקודת המפגש של שני חוצי זוויות נמצאת במרחקים שווים משלוש הצלעות, ולכן היא נמצאת גם על החוצה השלישי. נקודת המפגש הזאת נמצאת תמיד בתוך המשולש, בכל סוג של משולש.

במשולש $ABC$ נפגשים חוצי הזוויות בנקודה $I$ . המרחק של $I$ מהצלע $AB$ הוא $3$ ס״מ. מהו מרחקה מהצלע $BC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$3$ ס״מ. $I$ נמצאת על חוצה הזווית $B$ , ולכן מרחקיה משתי השוקיים $BA$ ו- $BC$ שווים. מאותה סיבה גם מרחקה מ- $AC$ הוא $3$ ס״מ.

משפט חוצה הזווית

עד כאן מדדנו מרחקים מהשוקיים. עכשיו שאלה אחרת: חוצה הזווית פוגע בצלע שממול בנקודה $D$ . איפה על הצלע? באמצע? המשפט הבא עונה, והתשובה תלויה בשתי הצלעות האחרות.

AD

חוצה את הזווית

A

BD

צמוד ל-

AB

DC

צמוד ל-

AC

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

משפט חוצה הזווית: חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שממול הזווית לשני קטעים, שהיחס ביניהם שווה ליחס שתי הצלעות הכולאות את הזווית.

איך זוכרים מה מול מה: כל קטע צמוד לצלע שלו. $BD$ נוגע ב- $B$ , ומעליו הצלע $AB$ . $DC$ נוגע ב- $C$ , ומעליו הצלע $AC$ . בשרטוט שמעל $AB = 4$ ו- $AC = 6$ , ולכן $D$ קרובה יותר ל- $B$ : $BD : DC = 4 : 6 = 2 : 3$ .

כשנתונה הצלע השלמה

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$ , $AC = 10$ ו- $BC = 12$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ . מצאו את $BD$ ואת $DC$ .

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{6}{10} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}BD &= 3t \\ \ DC &= 5t \ \Rightarrow \ 8t \\ &= 12 \ \Rightarrow \ t \\ &= 1.5\end{aligned}

$BC$ מחולק לשמונה חלקים שווים

\begin{aligned}BD &= 4.5 \\ \ DC &= 7.5\end{aligned}

בדיקה: $4.5 + 7.5 = 12$ ו- $\frac{4.5}{7.5} = \frac{3}{5}$ ✓

במשולש שווה שוקיים $AB = AC$ . מה אומר משפט חוצה הזווית על חוצה זווית הראש $AD$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = 1$ , כלומר $BD = DC$ : חוצה זווית הראש הוא גם תיכון. זו התכונה המוכרת של המשולש שווה השוקיים, והמשפט מסביר אותה.

המשפט ההפוך

המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית: אם נקודה $D$ על הצלע $BC$ מקיימת $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ , אז $AD$ חוצה את הזווית $A$ . כך מוכיחים שקטע הוא חוצה זווית מאורכים בלבד, בלי למדוד אף זווית. את ההוכחה של המשפט עצמו, בעזרת שטחים, נראה ביחידה «מגלים ומוכיחים».

לפני שכותבים את היחס, שאלו: מאיזה קודקוד יוצא החוצה? הצלעות ביחס הן שתי הצלעות שיוצאות מאותו קודקוד, והקטעים הם על הצלע השלישית.

שלוש טעויות של חוצה הזווית.

\frac{BD}{DC} = \frac{AC}{AB}

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

היחס הפוך. $BD$ צמוד ל- $AB$ , ולכן $AB$ במונה.

BD = DC

\begin{aligned}BD &= DC \ \Leftrightarrow \ AB \\ &= AC\end{aligned}

חוצה זווית הוא תיכון רק במשולש שווה שוקיים, ורק מקודקוד הראש. במשולש כללי $D$ קרובה יותר לצלע הקצרה.

BD = \tfrac{2}{3} \cdot BC

BD = \tfrac{2}{5} \cdot BC

כשהיחס הוא $2:3$ , הצלע מחולקת ל-חמישה חלקים. «חלק על חלק» איננו «חלק על שלם».

תרגילים

תרגיל 1

AP

חוצה את הזווית

A

PK

ו-

PL

הם המרחקים של

P

משתי השוקיים, ותמיד

PK = PL

$AP$ חוצה את הזווית $A$ . $PK \perp AB$ ו- $PL \perp AC$ . נתון $PK = 3$ . מהו $PL$ ?

$6$
$1.5$
$3$
תלוי במיקום של $P$ על החוצה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $3$

הפתרון:

\begin{aligned}PK &= PL \\ &= 3\end{aligned}

נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משתי השוקיים

הנכונה: $3$ . לא משנה איפה $P$ על החוצה, קרוב לקודקוד או רחוק ממנו: שני המרחקים שווים תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ , $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). נתון $AB = 8$ , $AC = 6$ ו- $BD = 4$ . מצאו את $DC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}\frac{4}{DC} &= \frac{8}{6} \ \Rightarrow \ 8 \cdot DC \\ &= 24 \ \Rightarrow \ DC \\ &= 3\end{aligned}

כפל בהצלבה

$DC = 3$ . $D$ קרובה יותר ל- $C$ , כי $AC$ היא הצלע הקצרה. מי שקיבל $DC = 5.33$ הפך את היחס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ נתון $AB = 5$ , $AC = 7$ ו- $BC = 6$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). מצאו את $BD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{5}{7}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}BD &= 5t \\ \ DC &= 7t \ \Rightarrow \ 12t \\ &= 6 \ \Rightarrow \ t \\ &= 0.5\end{aligned}

$BC$ מחולק ל- $12$ חלקים שווים

\begin{aligned}BD &= 5 \cdot 0.5 \\ &= 2.5\end{aligned}

חמישה חלקים. בדיקה: $DC = 3.5$ , ו- $2.5 + 3.5 = 6$ ✓

$BD = 2.5$ . הצלע השלמה $BC$ מתחלקת ל- $5 + 7 = 12$ חלקים, ו- $BD$ הוא חמישה מהם: $\frac{5}{12} \cdot 6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = 9$ , $AC = 6$ , ו- $D$ נקודה על $BC$ כך ש- $BD = 6$ ו- $DC = 4$ . הוכיחו או הפריכו: $AD$ חוצה את הזווית $A$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{6}{4} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

היחס בין הקטעים

\begin{aligned}\frac{AB}{AC} &= \frac{9}{6} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

היחס בין הצלעות

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \ \Rightarrow \ \angle BAD \\ &= \angle DAC\end{aligned}

המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית

הטענה נכונה. שני היחסים שווים ל- $\frac{3}{2}$ , ולכן $AD$ חוצה זווית לפי המשפט ההפוך. שימו לב שלא מדדנו אף זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

AD

חוצה את הזווית

A

BD

צמוד ל-

AB

DC

צמוד ל-

AC

במשולש $ABC$ , $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). איזה שוויון הוא משפט חוצה הזווית?

$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AC}{AB}$
$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$
$\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$
$BD = DC$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$

הפתרון:

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

כל קטע צמוד לצלע שלו: $BD$ ליד $AB$ , $DC$ ליד $AC$

הנכונה: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ . $BD = DC$ נכון רק בשווה שוקיים; היחס ההפוך מחליף בין הצלעות; ו- $AD$ עצמו לא מופיע במשפט בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 3$ ו- $BC = 4$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). מצאו את $BD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

\begin{aligned}AC^2 &= 3^2 + 4^2 \\ &= 25 \ \Rightarrow \ AC \\ &= 5\end{aligned}

משפט פיתגורס: הצלע השנייה של היחס היא היתר

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}BD &= \frac{3}{3 + 5} \cdot 4 \\ &= 1.5\end{aligned}

שלושה חלקים משמונה

$BD = 1.5$ . הצלעות הכולאות את הזווית $A$ הן $AB$ ו- $AC$ , ו- $AC$ הוא היתר, שצריך קודם למצוא. מי שכתב $\frac{3}{4}$ לקח את שני הניצבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ נתון $AB = 10$ , $AC = 15$ ו- $BC = 20$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). השלימו.

$BD =$ ____ , $DC =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $BD =$ 8 , $DC =$ 12

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{10}{15} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}BD &= \frac{2}{5} \cdot 20 \\ &= 8 \\ \ DC &= \frac{3}{5} \cdot 20 \\ &= 12\end{aligned}

חמישה חלקים: שניים ושלושה

$BD = 8$ ו- $DC = 12$ . בדיקה: $8 + 12 = 20$ ו- $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 7$ ו- $BC = 8$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). מצאו את $BD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{7}{7} \\ &= 1\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}BD &= DC \\ &= \frac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

יחס $1$ פירושו שני קטעים שווים

$BD = 4$ . במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם תיכון, והמשפט אומר בדיוק את זה: יחס $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

AD

חוצה את הזווית

A

BD

צמוד ל-

AB

DC

צמוד ל-

AC

במשולש $ABC$ נתון $AB = 4$ , $AC = 6$ ו- $BC = 5$ , ו- $AD$ חוצה את הזווית $A$ . תלמיד חישב את $BD$ . שורה אחת שגויה, מצאו אותה ותקנו.

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AC}{AB} \\ &= \frac{6}{4}\end{aligned}

BD = \frac{6}{6 + 4} \cdot 5

BD = 3

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\frac{BD}{DC} = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{4}$ → $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{6}$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

$BD$ צמוד ל- $AB$ , ולכן $AB$ במונה

\begin{aligned}BD &= \frac{2}{5} \cdot 5 \\ &= 2\end{aligned}

שני חלקים מחמישה

השורה הראשונה הפוכה. $D$ צריכה להיות קרובה ל- $B$ , כי $AB$ היא הצלע הקצרה: $BD = 2$ , לא $3$ . השורות הבאות עקביות עם הטעות, ולכן נראות תקינות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ נתון $AB = 12$ , $AC = 8$ . הנקודה $D$ על $BC$ מקיימת $BD = 6$ ו- $DC = 4$ . הוכיחו: $AD$ חוצה את הזווית $BAC$ .

$AB = 12$ , $AC = 8$
$D$ על $BC$ , $BD = 6$ , $DC = 4$

$\angle BAD = \angle DAC$

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{BD}{DC} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ — חישוב מהנתונים
$\frac{AB}{AC} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ — חישוב מהנתונים
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ — שני היחסים שווים ל- $\frac{3}{2}$
$\angle BAD = \angle DAC$ — המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{6}{4} &= \frac{12}{8} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

היחסים שווים, ולכן $AD$ חוצה זווית לפי המשפט ההפוך

ההוכחה כולה היא שני חישובים והשוואה. הנימוק האחרון חייב לומר «המשפט ההפוך»: המשפט הישיר מניח שהקטע חוצה זווית, וכאן זה מה שמוכיחים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הגדרה ומקום גאומטרי

שלושת חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת

משפט חוצה הזווית

המשפט ההפוך

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev