תיכונים · קווים מיוחדים במשולש · כיתה י׳

גזרו משולש מקרטון, כל משולש שתרצו, ונסו לאזן אותו על קצה של עיפרון. יש נקודה אחת בלבד שבה הוא לא נופל. איך מוצאים אותה בלי לנסות? מחברים כל קודקוד לאמצע הצלע שממול, ושלושת הקטעים האלה נפגשים בדיוק שם.

D

E

ו-

F

הם אמצעי הצלעות. שלושת התיכונים

AD

BE

ו-

CF

נפגשים בנקודה

G

מה משותף לשלושת הקטעים $AD$ , $BE$ ו- $CF$ ? ומה ההבדל בינם לבין גובה?

להציג את התשובה והפתרון

כל אחד מהם יוצא מקודקוד ומגיע לאמצע הצלע שממול: $BD = DC$ , $AE = EC$ , $AF = FB$ . גובה, לעומת זאת, יוצא מקודקוד ומאונך לצלע. לתיכון לא אכפת מהזווית, לגובה לא אכפת מהאמצע.

הגדרה

BD = DC

תיכון במשולש הוא קטע המחבר קודקוד עם אמצע הצלע שממולו: $AD$ תיכון כאשר $D$ אמצע $BC$ . לכל משולש שלושה תיכונים.

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת

משפט: שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת. הנקודה הזאת נקראת נקודת מפגש התיכונים, וזאת בדיוק נקודת האיזון של משולש הקרטון. המשפט נכון בכל משולש: חד זוויות, ישר זווית וקהה זווית.

ויש למשפט חלק שני, שהוא זה שמשמש בחישובים: נקודת המפגש מחלקת כל תיכון ביחס $2:1$ . החלק שקרוב לקודקוד גדול פי שניים מהחלק שקרוב לצלע.

\frac{AG}{GD} = \frac{2}{1}

$G$ נקודת מפגש התיכונים, $AD$ תיכון. $AG$ הוא החלק שליד הקודקוד.

AG = 2 \cdot GD

החלק ליד הקודקוד כפול מהחלק ליד הצלע

AG = \tfrac{2}{3} AD

שני שלישים מהתיכון

GD = \tfrac{1}{3} AD

שליש מהתיכון

במשולש $ABC$ התיכון $AD$ באורך $12$ , ו- $G$ נקודת מפגש התיכונים. מהם $AG$ ו- $GD$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$AG = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ ו- $GD = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ . בדיקה: $8 + 4 = 12$ , ו- $8 : 4 = 2 : 1$ .

מהחלק הקטן אל התיכון השלם

במשולש $ABC$ נפגשים התיכונים $AD$ ו- $BE$ בנקודה $G$ . נתון $GD = 2.5$ ו- $BE = 9$ . מצאו את $AD$ ואת $BG$ .

\begin{aligned}AD &= 3 \cdot GD \\ &= 3 \cdot 2.5 \\ &= 7.5\end{aligned}

$GD$ הוא שליש מהתיכון (נקודת מפגש התיכונים מחלקת ביחס $2:1$ )

\begin{aligned}BG &= \tfrac{2}{3} \cdot 9 \\ &= 6\end{aligned}

$BG$ הוא החלק שליד הקודקוד $B$ , שני שלישים מ- $BE$

\begin{aligned}GE &= 9 - 6 \\ &= 3\end{aligned}

בדיקה: $6 : 3 = 2 : 1$ ✓

תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח

AD

תיכון,

AH

הגובה לצלע

BC

. שני המשולשים

ABD

ו-

ADC

חולקים את אותו גובה.

למשולשים $ABD$ ו- $ADC$ יש אותו גובה $AH$ , כי שניהם יוצאים מהקודקוד $A$ והבסיסים שלהם מונחים על אותו ישר $BC$ . והבסיסים שלהם שווים, $BD = DC$ , כי $AD$ תיכון. לכן:

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{BD \cdot AH}{2} \\ &= \frac{DC \cdot AH}{2} \\ &= S_{ADC}\end{aligned}

כל תיכון חוצה את שטח המשולש: $S_{ABD} = S_{ADC} = \frac{1}{2} S_{ABC}$ .

שטח המשולש $ABC$ הוא $30$ סמ״ר, ו- $AD$ תיכון. מהו שטח המשולש $ABD$ ? והאם המשולשים $ABD$ ו- $ADC$ חופפים?

להציג את התשובה והפתרון

$S_{ABD} = 15$ סמ״ר, חצי מהשטח. אבל לא בהכרח חופפים: $AB$ ו- $AC$ יכולים להיות שונים. שטחים שווים אינם צורות שוות.

התיכון ליתר במשולש ישר זווית

M

אמצע היתר

AC

. הקטע

BM

הוא התיכון ליתר.

\begin{aligned}\angle B &= 90^\circ \\ \ AM &= MC \ \Rightarrow \ BM \\ &= \frac{AC}{2}\end{aligned}

משפט: במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

ויש גם משפט הפוך: אם במשולש התיכון לצלע שווה למחצית אותה צלע, המשולש ישר זווית, והזווית הישרה נמצאת בקודקוד שממנו יוצא התיכון. כך מוכיחים זווית ישרה בלי למדוד אף זווית.

מהניצבים אל התיכון ליתר

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 5$ ו- $BC = 12$ . $M$ אמצע היתר $AC$ . מצאו את $BM$ .

\begin{aligned}AC^2 &= 5^2 + 12^2 \\ &= 169 \ \Rightarrow \ AC \\ &= 13\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABC$

\begin{aligned}BM &= \frac{AC}{2} \\ &= \frac{13}{2} \\ &= 6.5\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

במשולש ישר זווית היתר באורך $20$ . באיזה מרחק נמצא אמצע היתר מקודקוד הזווית הישרה?

להציג את התשובה והפתרון

$10$ . המרחק הזה הוא התיכון ליתר, וגם $AM = MC = 10$ : אמצע היתר נמצא במרחק שווה משלושת הקודקודים.

בכל שאלה שבה מופיע «אמצע היתר», כתבו מיד: התיכון ליתר שווה למחצית היתר. ובכל שאלה עם «נקודת מפגש התיכונים», כתבו מיד: $2:1$ .

שלוש טעויות של התיכון.

AG = \tfrac{1}{2} AD

AG = \tfrac{2}{3} AD

נקודת המפגש אינה אמצע התיכון. היא מחלקת אותו ביחס $2:1$ , והחלק הגדול ליד הקודקוד.

BM = \tfrac{1}{2} AB

BM = \tfrac{1}{2} AC

התיכון ליתר שווה לחצי היתר, לא לחצי ניצב. קודם מזהים מהו היתר: הצלע שמול הזווית הישרה.

AD \perp BC

BD = DC

תיכון אינו גובה. הוא מאונך לצלע רק במשולש שווה שוקיים, ורק התיכון לבסיס.

תרגילים

תרגיל 1

בשרטוט, $D$ היא אמצע הצלע $BC$ . איזה שם נכון לקטע $AD$ ?

גובה
אנך אמצעי
תיכון
חוצה זווית

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג תיכון

הפתרון:

BD = DC

הקטע מגיע לאמצע הצלע שממול הקודקוד

הנכונה: תיכון. גובה היה צריך להיות מאונך ל- $BC$ , וחוצה זווית היה צריך לחלק את $\angle A$ . על אף אחד מהם לא נאמר דבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ נפגשים התיכונים $AD$ ו- $BE$ בנקודה $G$ . נתון $AD = 15$ . מצאו את $AG$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\frac{AG}{GD} = \frac{2}{1}

נקודת מפגש התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס $2:1$

\begin{aligned}AG &= \tfrac{2}{3} \cdot 15 \\ &= 10\end{aligned}

החלק ליד הקודקוד הוא שני שלישים

$AG = 10$ ו- $GD = 5$ . מי שכתב $7.5$ חילק את התיכון לשני חלקים שווים, וזה נכון רק לתיכון עצמו על הצלע, לא לנקודת המפגש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ נפגשים התיכונים $AD$ ו- $BE$ בנקודה $G$ . נתון $GD = 4$ . מצאו את אורך התיכון $AD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

GD = \tfrac{1}{3} AD

החלק ליד הצלע הוא שליש מהתיכון

\begin{aligned}AD &= 3 \cdot 4 \\ &= 12\end{aligned}

כופלים ב- $3$

$AD = 12$ , ו- $AG = 8$ . $GD$ הוא החלק הקטן, ולכן כופלים ב- $3$ ולא ב- $1.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

M

אמצע היתר

AC

. הקטע

BM

הוא התיכון ליתר.

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 6$ ו- $BC = 8$ . $M$ אמצע היתר $AC$ . מצאו את $BM$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}AC^2 &= 6^2 + 8^2 \\ &= 100 \ \Rightarrow \ AC \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}BM &= \frac{AC}{2} \\ &= 5\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

$BM = 5$ . קודם היתר, ואז חצי ממנו. מי שכתב $3$ או $4$ חילק ניצב לשניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: בכל משולש, תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים חופפים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

S_{ABD} = S_{ADC}

תיכון מחלק לשני משולשים שווי שטח: אותו גובה, בסיסים שווים

\begin{aligned}AB &= 5 \\ \ AC &= 9\end{aligned}

דוגמה נגדית: במשולש כזה $AB \neq AC$ , ולכן $\triangle ABD$ ו- $\triangle ADC$ אינם חופפים

הטענה לא נכונה. שטחים שווים, כן; חופפים, לא. הם חופפים רק כשהמשולש שווה שוקיים והתיכון יוצא מקודקוד הראש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שטח המשולש $ABC$ הוא $48$ סמ״ר, ו- $AD$ תיכון. מצאו את שטח המשולש $ABD$ בסמ״ר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

BD = DC

$AD$ תיכון

\begin{aligned}S_{ABD} &= S_{ADC} \\ &= \frac{48}{2} \\ &= 24\end{aligned}

אותו גובה מ- $A$ ובסיסים שווים: תיכון חוצה את השטח

$24$ סמ״ר. התיכון חוצה את השטח בכל משולש, לא רק בשווה שוקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ , $G$ נקודת מפגש התיכונים ו- $AD$ תיכון באורך $18$ . השלימו.

$AG =$ ____ , $GD =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AG =$ 12 , $GD =$ 6

הפתרון:

\begin{aligned}AG &= \tfrac{2}{3} \cdot 18 \\ &= 12\end{aligned}

שני שלישים ליד הקודקוד

\begin{aligned}GD &= 18 - 12 \\ &= 6\end{aligned}

השליש הנותר. בדיקה: $12 : 6 = 2 : 1$ ✓

$AG = 12$ ו- $GD = 6$ . הסכום חייב לתת את התיכון השלם, $18$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CM$ תיכון ליתר $AB$ . נתון $AB = 26$ . מהו $CM$ ?

$6.5$
אי אפשר לדעת בלי הניצבים
$26$
$13$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $13$

הפתרון:

\begin{aligned}CM &= \frac{AB}{2} \\ &= \frac{26}{2} \\ &= 13\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

הנכונה: $13$ . הניצבים בכלל לא נחוצים: המשפט מדבר על היתר בלבד. $6.5$ הוא רבע מהיתר, טעות של «חצי מחצי».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, ו- $BM$ תיכון ליתר $AC$ . נתון $BM = 7.5$ ו- $AB = 9$ . מצאו את $BC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= 2 \cdot BM \\ &= 15\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר, ולכן היתר כפול מהתיכון

\begin{aligned}BC^2 &= 15^2 - 9^2 \\ &= 225 - 81 \\ &= 144\end{aligned}

משפט פיתגורס

BC = 12

שורש

$BC = 12$ . הצעד הראשון הוא מהתיכון אל היתר: $AC = 15$ . מי שהציב $7.5$ בפיתגורס במקום $15$ קיבל שורש של מספר שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

AD

תיכון,

AH

הגובה לצלע

BC

. שני המשולשים

ABD

ו-

ADC

חולקים את אותו גובה.

במשולש $ABC$ , $AD$ תיכון לצלע $BC$ , ו- $AH$ הגובה לצלע $BC$ . הוכיחו: $S_{ABD} = S_{ADC}$ .

$AD$ תיכון לצלע $BC$
$AH \perp BC$

$S_{ABD} = S_{ADC}$

להציג את התשובה והפתרון

$BD = DC$ — הגדרת התיכון: $D$ אמצע $BC$
$AH$ הוא הגובה של $\triangle ABD$ וגם של $\triangle ADC$ — שני המשולשים חולקים את הקודקוד $A$ , והבסיסים $BD$ ו- $DC$ מונחים על אותו ישר $BC$
$S_{ABD} = \frac{BD \cdot AH}{2}$ , $S_{ADC} = \frac{DC \cdot AH}{2}$ — נוסחת שטח משולש
$S_{ABD} = S_{ADC}$ — בשני השטחים אותו גובה $AH$ ובסיסים שווים $BD = DC$

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{BD \cdot AH}{2} \\ &= \frac{DC \cdot AH}{2} \\ &= S_{ADC}\end{aligned}

אותו גובה, בסיסים שווים

הרעיון כולו: גובה משותף. הגובה $AH$ יכול ליפול גם מחוץ לקטע $BD$ , במשולש קהה זווית, וההוכחה לא משתנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הגדרה

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת

תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח

התיכון ליתר במשולש ישר זווית

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev