מגלים בקואורדינטות ומוכיחים · קווים מיוחדים במשולש · כיתה י׳

שלושת המשפטים על נקודות המפגש נשמעים כמו קסם: למה ששלושה ישרים ייפגשו דווקא בנקודה אחת? הדרך של המתמטיקאים היא בשלושה שלבים. מודדים, כאן במערכת צירים; משערים חוק; ואז מוכיחים אותו לכל משולש. ביחידה הזאת נעשה את שלושת השלבים.

האנך האמצעי של קטע נתון

נתונות $A(1,\,2)$ ו- $B(7,\,4)$ . האנך האמצעי עובר דרך אמצע $AB$ ומאונך לו. שני הכלים מהגאומטריה האנליטית: אמצע קטע ושיפוע של ישר מאונך.

האנך האמצעי של AB

M

אמצע

AB

. הישר

y = -3x + 15

עובר דרך

M

ומאונך ל-

AB

. הנקודה

P(3,\,6)

עליו מקיימת

PA = PB

פעילות אינטראקטיבית

משוואת האנך האמצעי של $AB$ , כאשר $A(1,\,2)$ ו- $B(7,\,4)$

A(1,\,2) ,\quad B(7,\,4)

לחצו «להתחיל». אמצע קודם, שיפוע אחר כך.

אמצע

M\left(\frac{1 + 7}{2},\ \frac{2 + 4}{2}\right) = M(4,\,3)

האנך האמצעי עובר דרך $M$ .

שיפוע AB

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4 - 2}{7 - 1} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

השיפוע של הקטע עצמו.

שיפוע מאונך

\begin{aligned}m \cdot \frac{1}{3} &= -1 \ \Rightarrow \ m \\ &= -3\end{aligned}

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים $-1$ .

משוואה

\begin{aligned}y - 3 &= -3(x - 4) \ \Rightarrow \ y \\ &= -3x + 15\end{aligned}

ישר לפי שיפוע ונקודה.

בדיקה

\begin{aligned}P(3,\,6): \ PA &= \sqrt{4 + 16} \\ &= \sqrt{20} \\ \quad PB &= \sqrt{16 + 4} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

$P$ על הישר ( $-9 + 15 = 6$ ✓), ומרחקיה מ- $A$ ומ- $B$ שווים, כפי שהמשפט מבטיח.

המדידה מאשרת את המשפט: נקודה על האנך האמצעי שוות-מרחק מקצות הקטע.

לעשות את הפעילות ב-elev

בדקו נקודה שאינה על הישר, למשל $Q(4,\,5)$ . האם $QA = QB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$QA = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$ ו- $QB = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ . לא שווים, ובדיוק כך צריך להיות: לפי המשפט ההפוך, נקודה ששוות-מרחק מ- $A$ ומ- $B$ חייבת להיות על האנך האמצעי, ו- $Q$ לא שם.

מפגש התיכונים של משולש נתון

במשולש $A(3,\,6)$ , $B(0,\,0)$ , $C(9,\,0)$ נמצא את משוואות שני תיכונים, נחתוך אותם, ואז נבדוק אם התיכון השלישי עובר דרך אותה נקודה, ואם היחס הוא באמת $2:1$ .

שלושת התיכונים של המשולש

A(3,\,6)

B(0,\,0)

C(9,\,0)

. התיכונים

AD

BE

ו-

CF

נפגשים ב-

G(4,\,2)

פעילות אינטראקטיבית

התיכונים של המשולש $A(3,\,6)$ , $B(0,\,0)$ , $C(9,\,0)$

A(3,\,6) ,\quad B(0,\,0) ,\quad C(9,\,0)

לחצו «להתחיל». כל תיכון מתחיל באמצע צלע.

אמצעים

D(4.5,\,0) ,\quad E(6,\,3) ,\quad F(1.5,\,3)

$D$ אמצע $BC$ , $E$ אמצע $AC$ , $F$ אמצע $AB$ .

התיכון AD

\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{0 - 6}{4.5 - 3} \\ &= -4 \ \Rightarrow \ y \\ &= -4x + 18\end{aligned}

ישר דרך $A$ ו- $D$ .

התיכון BE

\begin{aligned}m_{BE} &= \frac{3 - 0}{6 - 0} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{2}x\end{aligned}

ישר דרך $B$ ו- $E$ , עובר בראשית.

חיתוך

\begin{aligned}\frac{1}{2}x &= -4x + 18 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \ y &= 2\end{aligned}

$G(4,\,2)$ .

התיכון CF

\begin{aligned}m_{CF} &= \frac{3 - 0}{1.5 - 9} \\ &= -0.4 \ \Rightarrow \ y \\ &= -0.4x + 3.6\end{aligned}

בדיקה: $x = 4$ נותן $y = 2$ ✓. גם התיכון השלישי עובר דרך $G$ .

היחס

\begin{aligned}AG &= \sqrt{1 + 16} \\ &= \sqrt{17} \\ \quad GD &= \sqrt{0.25 + 4} \\ &= \sqrt{4.25} \\ &= \frac{\sqrt{17}}{2}\end{aligned}

$AG : GD = 2 : 1$ , בדיוק כמו במשפט.

שלושה ישרים, נקודה אחת. ומה שנמדד כאן במשולש אחד, המשפט מבטיח לכל משולש.

לעשות את הפעילות ב-elev

חשבו את ממוצע שיעורי ה- $x$ של שלושת הקודקודים ואת ממוצע שיעורי ה- $y$ . מה מקבלים?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{3 + 0 + 9}{3} = 4$ ו- $\frac{6 + 0 + 0}{3} = 2$ : בדיוק $G(4,\,2)$ . זו השערה שעולה מהמדידה, והיא נכונה בכל משולש. בבחינה, כשמבקשים את נקודת המפגש, כותבים את משוואות התיכונים וחותכים; הממוצע טוב לבדיקה.

מפגש האנכים האמצעיים במשולש ישר זווית

האנכים האמצעיים במשולש ישר זווית

האנך האמצעי של

AB

הוא

y = 3

, של

BC

הוא

x = 4

. הם נפגשים ב-

O(4,\,3)

, אמצע היתר, ו-

OA = OB = OC = 5

שלושה מרחקים שווים

במשולש $A(0,\,6)$ , $B(0,\,0)$ , $C(8,\,0)$ מצאו את נקודת המפגש של האנכים האמצעיים, וחשבו את מרחקה מכל קודקוד.

y = 3

האנך האמצעי של $AB$ : $AB$ אנכי, אמצעו $(0,\,3)$ , ולכן האנך האמצעי אופקי

x = 4

האנך האמצעי של $BC$ : $BC$ אופקי, אמצעו $(4,\,0)$ , ולכן האנך האמצעי אנכי

O(4,\,3)

חיתוך שני האנכים. וזה בדיוק אמצע היתר $AC$

\begin{aligned}OA &= \sqrt{16 + 9} \\ &= 5 \\ \quad OB &= \sqrt{16 + 9} \\ &= 5 \\ \quad OC &= \sqrt{16 + 9} \\ &= 5\end{aligned}

שלושה מרחקים שווים, ולכן $O$ גם על האנך האמצעי של $AC$

משפט חוצה הזווית — ההוכחה בעזרת שטחים

עד כאן מדדנו. עכשיו מוכיחים, לכל משולש. הרעיון: לחשב את היחס בין שטחי $ABD$ ו- $ADC$ בשתי דרכים. פעם עם הגובה מ- $A$ , ופעם עם הגבהים מ- $D$ .

AD

חוצה זווית.

AH

הגובה מ-

A

ל-

BC

, משותף למשולשים

ABD

ו-

ADC

DK

ו-

DL

המרחקים של

D

מהשוקיים

AB

ו-

AC

פעילות אינטראקטיבית

הוכחה: אם $AD$ חוצה את הזווית $A$ , אז $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

\begin{aligned}\angle BAD &= \angle DAC \ \Rightarrow \ \frac{BD}{DC} \\ &= \frac{AB}{AC}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». כל שלב הוא נוסחת שטח או משפט מהיחידות הקודמות.

גובה מ-A

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{BD \cdot AH}{2} \\ \quad S_{ADC} &= \frac{DC \cdot AH}{2}\end{aligned}

לשני המשולשים אותו גובה $AH$ , כי הבסיסים $BD$ ו- $DC$ על אותו ישר.

יחס ראשון

\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \frac{BD}{DC}

$AH$ מצטמצם.

D על החוצה

DK = DL

נקודה על חוצה זווית שוות-מרחק משתי השוקיים. כאן משתמשים בנתון.

גבהים מ-D

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{AB \cdot DK}{2} \\ \quad S_{ADC} &= \frac{AC \cdot DL}{2}\end{aligned}

אותם שני משולשים, הפעם עם הבסיסים $AB$ ו- $AC$ והגבהים מ- $D$ .

יחס שני

\begin{aligned}\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} &= \frac{AB \cdot DK}{AC \cdot DL} \\ &= \frac{AB}{AC}\end{aligned}

$DK = DL$ מצטמצם.

מסקנה

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

אותו יחס שטחים חושב בשתי דרכים, ולכן שני הביטויים שווים. מש״ל.

ההוכחה מכילה גם תוצאה שימושית בפני עצמה: $\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \frac{AB}{AC}$ . חוצה זווית מחלק את השטח ביחס הצלעות.

לעשות את הפעילות ב-elev

באיזה שלב של ההוכחה השתמשנו בכך ש- $AD$ חוצה זווית? ומה היה קורה בלי זה?

להציג את התשובה והפתרון

רק בשלב $DK = DL$ . בלי הנתון, שני היחסים היו $\frac{BD}{DC}$ ו- $\frac{AB \cdot DK}{AC \cdot DL}$ , ובלי $DK = DL$ אי אפשר לצמצם. כל שאר השלבים נכונים לכל קטע מ- $A$ אל $BC$ .

היחס בין השטחים

במשולש $ABC$ , $AD$ חוצה את הזווית $A$ . נתון $AB = 10$ , $AC = 15$ ושטח המשולש $ABD$ הוא $20$ סמ״ר. מצאו את שטח המשולש $ADC$ .

\begin{aligned}\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{10}{15} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

מההוכחה: גבהים שווים מ- $D$ אל השוקיים

\begin{aligned}\frac{20}{S_{ADC}} &= \frac{2}{3} \ \Rightarrow \ S_{ADC} \\ &= 30\end{aligned}

כפל בהצלבה

סדר העבודה בבחינה: קודם מחשבים או משערים, אחר כך כותבים את הנימוק בשם המשפט. תשובה שמסתמכת על מדידה בשרטוט בלבד אינה הוכחה.

שלוש טעויות של המדידה וההוכחה.

AG = GD

AG = 2 \cdot GD

מי שלא חישב את המרחקים מניח ש- $G$ באמצע התיכון. המדידה ב- $A(3,\,6)$ , $B(0,\,0)$ , $C(9,\,0)$ נותנת $\sqrt{17}$ מול $\frac{\sqrt{17}}{2}$ .

m_{\perp} = \frac{1}{3}

m_{\perp} = -3

השיפוע של האנך האמצעי הוא הנגדי וההופכי לשיפוע הקטע, לא אותו שיפוע ולא ההופכי בלבד.

DK = DL \ \text{תמיד}

\begin{aligned}DK &= DL \ \Leftrightarrow \ \angle BAD \\ &= \angle DAC\end{aligned}

המרחקים של $D$ מהשוקיים שווים רק כש- $D$ על חוצה הזווית. זה השלב היחיד בהוכחה שמשתמש בנתון.

תרגילים

תרגיל 1

M

אמצע

AB

נתונות הנקודות $A(1,\,2)$ ו- $B(7,\,4)$ . מצאו את שיפוע האנך האמצעי של $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4 - 2}{7 - 1} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע הקטע

\begin{aligned}m \cdot \frac{1}{3} &= -1 \ \Rightarrow \ m \\ &= -3\end{aligned}

האנך האמצעי מאונך לקטע: מכפלת השיפועים $-1$

$m = -3$ . מי שכתב $-\frac{1}{3}$ הפך את הסימן בלבד, ומי שכתב $3$ הפך את השבר בלבד. צריך את שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונות $A(2,\,1)$ ו- $B(6,\,5)$ . השלימו את הנתונים של האנך האמצעי של $AB$ .

אמצע: $($ ____ $,$ ____ $)$ , שיפוע האנך האמצעי: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אמצע: $($ 4 $,$ 3 $)$ , שיפוע האנך האמצעי: -1

הפתרון:

M(4,\,3)

אמצע הקטע

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{5 - 1}{6 - 2} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -1\end{aligned}

מאונך לשיפוע $1$

\begin{aligned}y - 3 &= -(x - 4) \ \Rightarrow \ y \\ &= -x + 7\end{aligned}

המשוואה, לבדיקה

אמצע $(4,\,3)$ , שיפוע $-1$ . הנגדי וההופכי של $1$ הוא $-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $A(1,\,1)$ , $B(7,\,1)$ , $C(4,\,7)$ מצאו את נקודת מפגש התיכונים $G$ .

$G($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $G($ 4 $,$ 3 $)$

הפתרון:

D(4,\,1) \ \Rightarrow \ CD: \ x = 4

$D$ אמצע $AB$ ; התיכון $CD$ אנכי

\begin{aligned}E(5.5,\,4) \ \Rightarrow \ m_{AE} &= \frac{4 - 1}{5.5 - 1} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

$E$ אמצע $BC$ ; שיפוע התיכון $AE$

\begin{aligned}y - 1 &= \tfrac{2}{3}(x - 1) \ \Rightarrow \ x \\ &= 4: \ y \\ &= 3\end{aligned}

מציבים $x = 4$

$G(4,\,3)$ . בדיקה בממוצע: $\frac{1 + 7 + 4}{3} = 4$ ו- $\frac{1 + 1 + 7}{3} = 3$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $A(0,\,8)$ , $B(0,\,0)$ , $C(6,\,0)$ , $O$ היא נקודת המפגש של האנכים האמצעיים. מצאו את $OB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\angle B = 90^\circ

$AB$ על ציר ה- $y$ ו- $BC$ על ציר ה- $x$

O(3,\,4)

במשולש ישר זווית האנכים האמצעיים נפגשים באמצע היתר $AC$

\begin{aligned}OB &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= 5\end{aligned}

מרחק בין נקודות. בדיקה: $AC = 10$ , ו- $OB = \frac{AC}{2}$ ✓

$OB = 5$ . אפשר גם בלי קואורדינטות: $AC = \sqrt{64 + 36} = 10$ , ו- $OB$ הוא התיכון ליתר, חצי ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונות $A(-2,\,0)$ ו- $B(4,\,0)$ . מהי משוואת האנך האמצעי של $AB$ ?

$x = 1$
$y = 1$
$x = 2$
$y = 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x = 1$

הפתרון:

M(1,\,0)

אמצע הקטע: $\frac{-2 + 4}{2} = 1$

x = 1

$AB$ אופקי, ולכן האנך האמצעי אנכי: כל הנקודות שבהן $x = 1$

הנכונה: $x = 1$ . $y = 0$ הוא הישר של $AB$ עצמו; $x = 2$ היא טעות באמצע ( $\frac{4 - 2}{2}$ במקום $\frac{4 + (-2)}{2}$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $A(1,\,5)$ , $B(0,\,1)$ , $C(8,\,1)$ , $AD$ הוא התיכון לצלע $BC$ . מצאו את אורך $AD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

D(4,\,1)

אמצע $BC$ : $\frac{0 + 8}{2} = 4$

\begin{aligned}AD &= \sqrt{(4 - 1)^2 + (1 - 5)^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

מרחק בין נקודות

$AD = 5$ . תיכון מתחיל תמיד באמצע: מי שחישב את המרחק מ- $A$ ל- $B$ או ל- $C$ מדד צלע, לא תיכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: במשולש $A(3,\,6)$ , $B(0,\,0)$ , $C(9,\,0)$ נקודת מפגש התיכונים היא $(4,\,2)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

E(6,\,3) \ \Rightarrow \ BE: \ y = \tfrac{1}{2}x

התיכון מ- $B$ לאמצע $AC$

F(1.5,\,3) \ \Rightarrow \ CF: \ y = -0.4x + 3.6

התיכון מ- $C$ לאמצע $AB$

\begin{aligned}\tfrac{1}{2}x &= -0.4x + 3.6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \ y &= 2\end{aligned}

חיתוך

הטענה נכונה. שני תיכונים מספיקים כדי למצוא את $G$ , כי השלישי עובר דרכה לפי המשפט. בדיקה: התיכון $AD$ , $y = -4x + 18$ , נותן ב- $x = 4$ את $y = 2$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ , $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). נתון $AB = 10$ , $AC = 15$ , ושטח המשולש $ABD$ הוא $20$ סמ״ר. מצאו את שטח המשולש $ADC$ בסמ״ר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

DK = DL

המרחקים של $D$ משתי השוקיים שווים: $D$ על חוצה הזווית

\begin{aligned}\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} &= \frac{AB \cdot DK}{AC \cdot DL} \\ &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{10}{15} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

שטחים עם הגבהים מ- $D$

\begin{aligned}S_{ADC} &= 20 \cdot \frac{3}{2} \\ &= 30\end{aligned}

כפל בהצלבה

$30$ סמ״ר. זו בדיוק המחצית השנייה של ההוכחה: חוצה זווית מחלק את השטח ביחס הצלעות, בלי לדעת אף גובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $BC$ מקיימת $BD = 3$ ו- $DC = 5$ . שטח המשולש $ABC$ הוא $32$ סמ״ר. מצאו את שטח המשולש $ABD$ בסמ״ר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} &= \frac{BD \cdot AH}{BC \cdot AH} \\ &= \frac{3}{8}\end{aligned}

אותו גובה $AH$ מ- $A$ ; הבסיסים $3$ ו- $8$

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{3}{8} \cdot 32 \\ &= 12\end{aligned}

כופלים

$12$ סמ״ר. $AD$ כאן אינו חוצה זווית ולא תיכון, ובכל זאת השטחים מתחלקים כמו הבסיסים: זה השלב הראשון של ההוכחה, שנכון לכל קטע מ- $A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון משולש $A(0,\,6)$ , $B(0,\,0)$ , $C(8,\,0)$ והנקודה $M(4,\,3)$ . הוכיחו: $M$ היא נקודת המפגש של שלושת האנכים האמצעיים של המשולש.

$A(0,\,6)$ , $B(0,\,0)$ , $C(8,\,0)$
$M(4,\,3)$

$M$ נקודת המפגש של האנכים האמצעיים

להציג את התשובה והפתרון

$MA = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3 - 6)^2} = 5$ — נוסחת המרחק
$MB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ — נוסחת המרחק
$MC = \sqrt{(4 - 8)^2 + 3^2} = 5$ — נוסחת המרחק
$M$ על האנך האמצעי של $AB$ — $MA = MB$ : נקודה ששוות-מרחק מקצות קטע נמצאת על האנך האמצעי שלו
$M$ על האנך האמצעי של $BC$ — $MB = MC$ : אותו משפט
$M$ נקודת המפגש של האנכים האמצעיים — $M$ על שניים מהאנכים האמצעיים, ושלושתם נחתכים בנקודה אחת

הפתרון:

\begin{aligned}MA &= MB \\ &= MC \\ &= 5\end{aligned}

שלושה מרחקים שווים

M \in \ell_{AB} ,\ M \in \ell_{BC}

המשפט ההפוך של המקום הגאומטרי, לכל צלע

שלושה חישובי מרחק ומשפט אחד. $M$ הוא גם אמצע היתר $AC$ , ו- $MB = 5 = \frac{AC}{2}$ : התיכון ליתר, שוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

האנך האמצעי של קטע נתון

מפגש התיכונים של משולש נתון

מפגש האנכים האמצעיים במשולש ישר זווית

משפט חוצה הזווית — ההוכחה בעזרת שטחים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev