פותרים יחד · קווים מיוחדים במשולש · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: תיכונים במערכת צירים, חוצה זווית במשולש ישר זווית, התיכון ליתר, המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית, ואנך אמצעי כמקום גאומטרי. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

בכל שלב של גאומטריה כותבים את שם המשפט: «לפי משפט חוצה הזווית», «התיכון ליתר שווה למחצית היתר». תשובה בלי נימוק מאבדת נקודות גם כשהמספר נכון.

1 — תיכונים במערכת צירים והיחס 2:1

A(2,\,6)

B(-4,\,0)

C(8,\,0)

D

אמצע

BC

E

אמצע

AC

פעילות אינטראקטיבית

נתון משולש $A(2,\,6)$ , $B(-4,\,0)$ , $C(8,\,0)$ . א. מצאו את משוואת התיכון $AD$ לצלע $BC$ . ב. מצאו את משוואת התיכון $BE$ לצלע $AC$ . ג. מצאו את נקודת המפגש $G$ של התיכונים. ד. חשבו את $AG$ ואת $GD$ ובדקו את היחס ביניהם.

A(2,\,6) ,\quad B(-4,\,0) ,\quad C(8,\,0)

לחצו «להתחיל». תיכון מתחיל באמצע צלע, ולכן קודם אמצעים.

א. אמצע BC

D\left(\frac{-4 + 8}{2},\ 0\right) = D(2,\,0)

נוסחת אמצע קטע.

א. התיכון AD

\begin{aligned}x_A &= x_D \\ &= 2 \ \Rightarrow \ AD: \ x \\ &= 2\end{aligned}

ל- $A$ ול- $D$ אותו שיעור $x$ : הישר אנכי, ואין לו שיפוע.

ב. אמצע AC

E\left(\frac{2 + 8}{2},\ \frac{6 + 0}{2}\right) = E(5,\,3)

נוסחת אמצע קטע.

ב. התיכון BE

\begin{aligned}m_{BE} &= \frac{3 - 0}{5 - (-4)} \\ &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{3}(x + 4)\end{aligned}

ישר לפי שיפוע ונקודה $B(-4,\,0)$ .

ג. חיתוך

\begin{aligned}x &= 2 \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{3} \cdot 6 \\ &= 2 \ \Rightarrow \ G(2,\,2)\end{aligned}

מציבים $x = 2$ במשוואת $BE$ .

ד. מרחקים

\begin{aligned}AG &= 6 - 2 \\ &= 4 \\ \qquad GD &= 2 - 0 \\ &= 2\end{aligned}

על ישר אנכי המרחק הוא הפרש שיעורי ה- $y$ .

ד. היחס

\begin{aligned}\frac{AG}{GD} &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

נקודת מפגש התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס $2:1$ , החלק הגדול ליד הקודקוד ✓

המדידה מאשרת את המשפט, והמשפט מאשר את החישוב: אם היה יוצא יחס אחר, הייתה טעות בדרך.

לעשות את הפעילות ב-elev

מצאו את התיכון השלישי, $CF$ , ובדקו שהוא עובר דרך $G$ .

להציג את התשובה והפתרון

$F$ אמצע $AB$ : $F(-1,\,3)$ . $m_{CF} = \frac{3 - 0}{-1 - 8} = -\frac{1}{3}$ , ולכן $y = -\frac{1}{3}(x - 8)$ . ב- $x = 2$ : $y = -\frac{1}{3} \cdot (-6) = 2$ ✓. שלושת התיכונים נפגשים ב- $G(2,\,2)$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — חוצה זווית במשולש ישר זווית

פעילות אינטראקטיבית

חוצה זווית, כשאחת הצלעות ביחס היא היתר

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 9$ ו- $BC = 12$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). א. מצאו את $AC$ . ב. מצאו את $BD$ . ג. חשבו את שטח המשולש $ABD$ .

$BD = 4.5$ , $S_{ABD} = 20.25$

$BD = 6$ , $S_{ABD} = 27$

$BD = \frac{36}{7}$ , $S_{ABD} = \frac{162}{7}$

$BD = 7.5$ , $S_{ABD} = 33.75$

א. איך מוצאים את $AC$ ?

משפט פיתגורס: $AC^2 = 9^2 + 12^2$

להציג את התשובה והפתרון

$AC$ הוא היתר מול הזווית הישרה $B$ .

$AC = 9 + 12 = 21$

להציג את התשובה והפתרון

צלעות לא מתחברות. היתר קצר מסכום הניצבים.

\begin{aligned}AC &= \sqrt{81 + 144} \\ &= \sqrt{225} \\ &= 15\end{aligned}

משפט פיתגורס.

ב. מהו היחס של משפט חוצה הזווית כאן?

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{15}$

להציג את התשובה והפתרון

הצלעות הכולאות את הזווית $A$ הן $AB$ ו- $AC$ .

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{9}{12}$

להציג את התשובה והפתרון

$BC$ היא הצלע שמחולקת, לא צלע ביחס. היחס הוא בין שתי הצלעות שיוצאות מ- $A$ .

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{9}{15} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית.

ב. איך עוברים מהיחס אל $BD$ ?

$BD = \frac{3}{3 + 5} \cdot 12$

להציג את התשובה והפתרון

$BC$ מחולק לשמונה חלקים, ו- $BD$ הוא שלושה מהם.

$BD = \frac{3}{5} \cdot 12$

להציג את התשובה והפתרון

«חלק על חלק» איננו «חלק על שלם». $\frac{3}{5}$ הוא היחס בין $BD$ ל- $DC$ , לא בין $BD$ ל- $BC$ .

\begin{aligned}BD &= \frac{3}{8} \cdot 12 \\ &= 4.5 \\ \qquad DC &= 7.5\end{aligned}

בדיקה: $\frac{4.5}{7.5} = \frac{3}{5}$ ✓

ג. מהו הגובה של המשולש $ABD$ לבסיס $BD$ ?

$AB = 9$ , כי $\angle B = 90^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

$AB$ מאונך ל- $BC$ , ולכן גם ל- $BD$ .

$AD$

להציג את התשובה והפתרון

$AD$ הוא חוצה זווית, לא גובה. הוא לא מאונך ל- $BD$ .

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{BD \cdot AB}{2} \\ &= \frac{4.5 \cdot 9}{2} \\ &= 20.25\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: מחצית מכפלת הניצבים.

להציג את התשובה והפתרון

$BD = 4.5$ ו- $S_{ABD} = 20.25$ . התשובה $BD = 7.5$ היא $DC$ ; $BD = 6$ מניחה שחוצה הזווית הוא תיכון; ו- $\frac{36}{7}$ באה מהיחס $\frac{9}{12}$ עם הניצב במקום היתר.

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — התיכון ליתר, מהתיכון אל המשולש כולו

פעילות אינטראקטיבית

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CM$ תיכון ליתר $AB$ . נתון $CM = 6.5$ ו- $AC = 5$ . א. מצאו את $AB$ . ב. מצאו את $BC$ . ג. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

\begin{aligned}\angle C &= 90^\circ \\ \quad CM &= 6.5 \\ \quad AC &= 5\end{aligned}

לחצו «להתחיל». תיכון ליתר פירושו: היתר ידוע.

א.

\begin{aligned}CM &= \frac{AB}{2} \ \Rightarrow \ AB \\ &= 2 \cdot 6.5 \\ &= 13\end{aligned}

במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

ב.

\begin{aligned}BC^2 &= AB^2 - AC^2 \\ &= 169 - 25 \\ &= 144 \ \Rightarrow \ BC \\ &= 12\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABC$ .

ג.

\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BC}{2} \\ &= \frac{5 \cdot 12}{2} \\ &= 30\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: מחצית מכפלת הניצבים. $CM$ לא משתתף כאן.

שלושה משפטים בשלוש שורות: התיכון ליתר, פיתגורס, ושטח. כל שורה נושאת את שמה.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם אפשר היה לחשב את השטח כ- $\frac{AB \cdot CM}{2}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $CM$ הוא תיכון, לא גובה: הוא לא מאונך ל- $AB$ . השטח בעזרת היתר דורש את הגובה ליתר, $CH$ , ואותו מוצאים דווקא מהשטח: $\frac{13 \cdot CH}{2} = 30$ , כלומר $CH = \frac{60}{13}$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — להוכיח חציית זווית מאורכים בלבד

פעילות אינטראקטיבית

המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית

במשולש $ABC$ נתון $AB = 12$ , $AC = 18$ ו- $BC = 20$ . הנקודה $D$ על $BC$ מקיימת $BD = 8$ . א. הוכיחו ש- $AD$ חוצה את הזווית $A$ . ב. נתון $\angle BAC \approx 81^\circ$ . מצאו את $\angle BAD$ .

$AD$ חוצה זווית לפי המשפט ההפוך, ו- $\angle BAD = 40.5^\circ$

$AD$ חוצה זווית כי $BD < DC$ , ו- $\angle BAD = 40.5^\circ$

$AD$ חוצה זווית לפי המשפט ההפוך, ו- $\angle BAD = 81^\circ$

אי אפשר להוכיח בלי זוויות

מה מחשבים קודם?

$DC = BC - BD = 12$

להציג את התשובה והפתרון

ליחס $\frac{BD}{DC}$ צריך את שני הקטעים.

$\angle BAD$ מהשרטוט

להציג את התשובה והפתרון

שרטוט אינו הוכחה, ואף זווית לא נתונה.

\begin{aligned}DC &= 20 - 8 \\ &= 12\end{aligned}

הקטע השני.

אילו שני יחסים משווים?

$\frac{BD}{DC} = \frac{8}{12}$ ו- $\frac{AB}{AC} = \frac{12}{18}$

להציג את התשובה והפתרון

כל קטע מול הצלע הצמודה לו.

$\frac{BD}{BC} = \frac{8}{20}$ ו- $\frac{AB}{AC} = \frac{12}{18}$

להציג את התשובה והפתרון

המשפט מדבר על היחס בין שני הקטעים $BD$ ו- $DC$ , לא על חלק מהצלע השלמה.

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{8}{12} \\ &= \frac{2}{3} \\ \qquad \frac{AB}{AC} &= \frac{12}{18} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

שני היחסים שווים.

מה הנימוק למסקנה?

להציג את התשובה והפתרון

מיחס שווה אל חציית זווית: זה הכיוון ההפוך.

משפט חוצה הזווית

להציג את התשובה והפתרון

המשפט הישיר מניח שהקטע חוצה זווית ומסיק את היחס. כאן מוכיחים את ההפך.

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \ \Rightarrow \ \angle BAD \\ &= \angle DAC\end{aligned}

המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית.

ב. מהי $\angle BAD$ ?

$\frac{81^\circ}{2} = 40.5^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

חוצה זווית מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות.

$81^\circ \cdot \frac{2}{5} = 32.4^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

היחס $2:3$ הוא בין הקטעים על $BC$ , לא בין הזוויות. חוצה זווית תמיד מחלק את הזווית לשניים שווים.

\begin{aligned}\angle BAD &= \frac{81^\circ}{2} \\ &= 40.5^\circ\end{aligned}

הגדרת חוצה הזווית.

להציג את התשובה והפתרון

$AD$ חוצה זווית לפי המשפט ההפוך, ו- $\angle BAD = 40.5^\circ$ . «כי $BD < DC$ » אינו נימוק: הרבה קטעים מחלקים את $BC$ לחלק קטן וגדול בלי לחצות את הזווית. רק השוויון בין היחסים מוכיח.

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — אנך אמצעי ומקום גאומטרי

פעילות אינטראקטיבית

נתונות $A(1,\,1)$ ו- $B(5,\,3)$ . א. מצאו את אמצע $AB$ . ב. מצאו את שיפוע האנך האמצעי של $AB$ . ג. כתבו את משוואת האנך האמצעי. ד. הנקודה $P$ נמצאת על האנך האמצעי ושיעור ה- $x$ שלה הוא $2$ . מצאו את $P$ והראו ש- $PA = PB$ .

A(1,\,1) ,\quad B(5,\,3)

לחצו «להתחיל». שני תנאים לאנך האמצעי: דרך האמצע, ומאונך.

א.

M\left(\frac{1 + 5}{2},\ \frac{1 + 3}{2}\right) = M(3,\,2)

נוסחת אמצע קטע.

ב.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3 - 1}{5 - 1} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -2\end{aligned}

מכפלת שיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$ .

ג.

\begin{aligned}y - 2 &= -2(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 8\end{aligned}

ישר לפי שיפוע ונקודה $M$ .

ד. P

\begin{aligned}x &= 2 \ \Rightarrow \ y \\ &= -4 + 8 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ P(2,\,4)\end{aligned}

מציבים במשוואת האנך האמצעי.

ד. מרחקים

\begin{aligned}PA &= \sqrt{1 + 9} \\ &= \sqrt{10} \\ \qquad PB &= \sqrt{9 + 1} \\ &= \sqrt{10}\end{aligned}

$PA = PB$ : נקודה על האנך האמצעי שוות-מרחק מקצות הקטע ✓

התוצאה $\sqrt{10}$ נשארת כשורש. תשובה מדויקת, לא $3.16$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

נקודה $Q$ מקיימת $QA = QB$ ושיעור ה- $y$ שלה הוא $0$ . מצאו את $Q$ בלי לחשב מרחקים.

להציג את התשובה והפתרון

לפי המשפט ההפוך, $Q$ על האנך האמצעי $y = -2x + 8$ . מציבים $y = 0$ : $x = 4$ , ולכן $Q(4,\,0)$ . בדיקה: $QA = \sqrt{9 + 1}$ ו- $QB = \sqrt{1 + 9}$ , שווים ✓

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

המשפטים של הפרק, לניסוח הנימוקים. הקלידו תיכון, חוצה או אנך והרשימה תצטמצם.

תרגילים

תרגיל 1

נתון משולש $A(4,\,6)$ , $B(0,\,0)$ , $C(8,\,0)$ . $AD$ תיכון לצלע $BC$ ו- $BE$ תיכון לצלע $AC$ . מצאו את נקודת המפגש $G$ של התיכונים, ואת $AG$ .

$G($ ____ $,$ ____ $)$ , $AG =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $G($ 4 $,$ 2 $)$ , $AG =$ 4

הפתרון:

D(4,\,0) \ \Rightarrow \ AD: \ x = 4

אמצע $BC$ ; התיכון אנכי

E(6,\,3) \ \Rightarrow \ BE: \ y = \tfrac{1}{2}x

אמצע $AC$ ; ישר דרך הראשית

\begin{aligned}x &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 2 \ \Rightarrow \ G(4,\,2)\end{aligned}

חיתוך

\begin{aligned}AG &= 6 - 2 \\ &= 4 \\ \quad GD &= 2\end{aligned}

יחס $2:1$ ✓

$G(4,\,2)$ ו- $AG = 4$ . הבדיקה בסוף היא לא קישוט: יחס שאינו $2:1$ מגלה טעות בחישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 8$ ו- $BC = 6$ . $CD$ חוצה את הזווית $C$ ( $D$ על $AB$ ). מצאו את $DB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{64 + 36} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס: היתר

\begin{aligned}\frac{AD}{DB} &= \frac{AC}{BC} \\ &= \frac{10}{6} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית מהקודקוד $C$ : הצלעות הכולאות הן $CA$ ו- $CB$

\begin{aligned}DB &= \frac{3}{5 + 3} \cdot 8 \\ &= 3\end{aligned}

שלושה חלקים משמונה

$DB = 3$ , ו- $AD = 5$ . הפעם החוצה יוצא מ- $C$ , ולכן הצלע המחולקת היא $AB$ , והצלעות ביחס הן $CA$ ו- $CB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CM$ תיכון ליתר $AB$ . נתון $CM = 10$ ו- $AC = 12$ . מצאו את $BC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 2 \cdot CM \\ &= 20\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}BC^2 &= 20^2 - 12^2 \\ &= 400 - 144 \\ &= 256 \ \Rightarrow \ BC \\ &= 16\end{aligned}

משפט פיתגורס

$BC = 16$ . מי שהציב $CM = 10$ כצלע בפיתגורס טעה: $CM$ אינו צלע של המשולש $ABC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = 10$ , $AC = 15$ , ו- $D$ על $BC$ כך ש- $BD = 6$ ו- $DC = 9$ . הוכיחו או הפריכו: $AD$ חוצה את הזווית $A$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{6}{9} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

היחס בין הקטעים

\begin{aligned}\frac{AB}{AC} &= \frac{10}{15} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

היחס בין הצלעות

\Rightarrow \ \angle BAD = \angle DAC

המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית

הטענה נכונה. שני היחסים שווים ל- $\frac{2}{3}$ . הנימוק הוא המשפט ההפוך, ולא המשפט הישיר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונות $A(2,\,3)$ ו- $B(6,\,5)$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של האנך האמצעי של $AB$ עם ציר ה- $y$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

M(4,\,4)

אמצע הקטע

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{5 - 3}{6 - 2} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -2\end{aligned}

שיפוע מאונך

\begin{aligned}y - 4 &= -2(x - 4) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 12\end{aligned}

משוואת האנך האמצעי

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 12\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$

$12$ . חיתוך עם ציר ה- $y$ : מציבים $x = 0$ . מי שקיבל $6$ השתמש בשיפוע $-\frac{1}{2}$ במקום $-2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — תיכונים במערכת צירים והיחס 2:1

2 — חוצה זווית במשולש ישר זווית

3 — התיכון ליתר, מהתיכון אל המשולש כולו

4 — להוכיח חציית זווית מאורכים בלבד

5 — אנך אמצעי ומקום גאומטרי

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev