תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: כללי הגזירה, שיפוע המשיק בנקודה, ונקודות קיצון — מציאה וזיהוי מקסימום או מינימום.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

גזרו: f(x)=4x3f(x) = 4x^3

  1. 4x24x^2
  2. 12x212x^2
  3. 12x312x^3
  4. 7x27x^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 12x212x^2

הפתרון:

(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

הכלל

4⋅3x2=12x24 \cdot 3x^2 = 12x^2

המעריך מכפיל את 4 ויורד באחד

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

עבור f(x)=x2+3x−10f(x) = x^2 + 3x - 10, חשבו את f′(1)f'(1).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

f′(x)=2x+3f'(x) = 2x + 3

גוזרים איבר-איבר, הקבוע נעלם

f′(1)=2+3=5\begin{aligned}f'(1) &= 2 + 3 \\ &= 5\end{aligned}

מציבים בנגזרת

שיפוע המשיק בנקודה x=1x = 1 הוא 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הנגזרת של f(x)=−3x+8f(x) = -3x + 8 שווה ל-−3-3 בכל נקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

(−3x)′=−3  (8)′=0\begin{aligned}(-3x)' &= -3 \ \\ \ (8)' &= 0\end{aligned}

נגזרת של cxcx היא cc, ושל קבוע — אפס

נכון. לישר אותו שיפוע בכל מקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

גזרו: f(x)=x3−2x2+7x−1f(x) = x^3 - 2x^2 + 7x - 1

  1. 3x2−4x+63x^2 - 4x + 6
  2. x2−4x+7x^2 - 4x + 7
  3. 3x2−4x+73x^2 - 4x + 7
  4. 3x2−2x+73x^2 - 2x + 7
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 3x2−4x+73x^2 - 4x + 7

הפתרון:

(x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2

ראשון

(−2x2)′=−4x(-2x^2)' = -4x

שני

(7x)′=7  (−1)′=0\begin{aligned}(7x)' &= 7 \ \\ \ (-1)' &= 0\end{aligned}

שלישי ורביעי

הקבוע נעלם — הוא לא מוריד 1 מה-7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו שיפוע המשיק לגרף y=x3−5xy = x^3 - 5x בנקודה שבה x=2x = 2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

y′=3x2−5y' = 3x^2 - 5

גוזרים

y′(2)=12−5=7\begin{aligned}y'(2) &= 12 - 5 \\ &= 7\end{aligned}

שיפוע המשיק — ערך הנגזרת בנקודה

לא מציבים בפונקציה המקורית — היא נותנת גובה, לא שיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו ה-yy של נקודת הקיצון של f(x)=−x2+10x−3f(x) = -x^2 + 10x - 3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22

הפתרון:

f′(x)=−2x+10f'(x) = -2x + 10

גוזרים

−2x+10=0⇒x=5\begin{aligned}-2x + 10 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

משווים לאפס

f(5)=−25+50−3=22\begin{aligned}f(5) &= -25 + 50 - 3 \\ &= 22\end{aligned}

מציבים במקורית

הנקודה (5, 22)(5,\, 22) היא מקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהי נקודת הקיצון של f(x)=2x2−8x+1f(x) = 2x^2 - 8x + 1, ומה סוגה?

  1. (2, 0)(2,\, 0) — מינימום
  2. (2, −7)(2,\, -7) — מקסימום
  3. (−2, 25)(-2,\, 25) — מינימום
  4. (2, −7)(2,\, -7) — מינימום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד (2, −7)(2,\, -7) — מינימום

הפתרון:

f′(x)=4x−8=0⇒x=2\begin{aligned}f'(x) &= 4x - 8 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

גוזרים ומשווים לאפס

f(2)=8−16+1=−7\begin{aligned}f(2) &= 8 - 16 + 1 \\ &= -7\end{aligned}

מציבים במקורית

f′(1)=−4<0  f′(3)=4>0\begin{aligned}f'(1) &= -4 < 0 \ \\ \ f'(3) &= 4 > 0\end{aligned}

ממינוס לפלוס — מינימום

(2, 0)(2,\, 0) נותן את ערך הנגזרת במקום הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

באיזו נקודה (ערך xx) שיפוע המשיק לגרף y=x2−6x+1y = x^2 - 6x + 1 שווה ל-4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

y′=2x−6y' = 2x - 6

הנגזרת היא שיפוע המשיק

2x−6=42x - 6 = 4

משווים ל-4

x=5x = 5

פותרים

בדיקה: 2⋅5−6=42 \cdot 5 - 6 = 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x וקבעו את סוגן.

  1. מקסימום (−2, 16)(-2,\, 16) ומינימום (2, −16)(2,\, -16)
  2. מינימום (−2, 16)(-2,\, 16) ומקסימום (2, −16)(2,\, -16)
  3. מינימום (2, −16)(2,\, -16), ואין מקסימום
  4. מקסימום (−2, 0)(-2,\, 0) ומינימום (2, 0)(2,\, 0)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מקסימום (−2, 16)(-2,\, 16) ומינימום (2, −16)(2,\, -16)

הפתרון:

f′(x)=3x2−12=0⇒x=±2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

גוזרים ומשווים לאפס

f(−2)=−8+24=16  f(2)=8−24=−16\begin{aligned}f(-2) &= -8 + 24 \\ &= 16 \ \\ \ f(2) &= 8 - 24 \\ &= -16\end{aligned}

מציבים במקורית

f′(−3)=15>0  f′(0)=−12<0  f′(3)=15>0\begin{aligned}f'(-3) &= 15 > 0 \ \\ \ f'(0) &= -12 < 0 \ \\ \ f'(3) &= 15 > 0\end{aligned}

סימן הנגזרת משני הצדדים

ב-x=−2x = -2 מפלוס למינוס — מקסימום. ב-x=2x = 2 ממינוס לפלוס — מינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סכום של שני מספרים חיוביים הוא 20. מהי המכפלה הגדולה ביותר שאפשר לקבל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

f(x)=x(20−x)=20x−x2\begin{aligned}f(x) &= x(20 - x) \\ &= 20x - x^2\end{aligned}

xx — מספר אחד, 20−x20 - x — השני

f′(x)=20−2x=0⇒x=10\begin{aligned}f'(x) &= 20 - 2x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

גוזרים ומשווים לאפס

f(10)=10⋅10=100\begin{aligned}f(10) &= 10 \cdot 10 \\ &= 100\end{aligned}

מציבים במקורית

הנגזרת עוברת מפלוס למינוס ב-x=10x = 10, ולכן זה מקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת