סדרה 5 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים כמו בשאלון: חקירה מלאה של פולינום, שני פרמטרים מנקודת קיצון, קריאת הגרף של f′f', וערכים גדול וקטן ביותר בקטע סגור. סעיפים של אותה שאלה חולקים את אותו פתיח.

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: נגזרת מלאה, נקודות חשודות, סימנים משני הצדדים, גבהים מ-ff, וקצוות כשהתחום סגור.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−4f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4. א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

עם ציר yy: (0,(0, ____ )) ; עם ציר xx: x=x= ____ (הקטן) ו-x=x= ____ (הגדול)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עם ציר yy: (0,(0, -4 )) ; עם ציר xx: x=x= 1 (הקטן) ו-x=x= 4 (הגדול)

הפתרון:

f(0)=−4f(0) = -4

ציר yy

x3−6x2+9x−4=(x−1)2(x−4)=0 ⇒ x=1 x=4\begin{aligned}x^3 - 6x^2 + 9x - 4 &= (x-1)^2(x-4) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

ציר xx; בדיקה: f(1)=1−6+9−4=0f(1) = 1 - 6 + 9 - 4 = 0 ✓, f(4)=64−96+36−4=0f(4) = 64 - 96 + 36 - 4 = 0 ✓

הגורם (x−1)2(x-1)^2 אומר שהגרף נוגע בציר ב-x=1x = 1 ולא חוצה אותו: זו תהיה גם נקודת קיצון בסעיף ב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−4f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4. ב. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.

מקסימום: (( ____ ,, ____ )) ; מינימום: (( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: (( 1 ,, 0 )) ; מינימום: (( 3 ,, -4 ))

הפתרון:

f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)=0 ⇒ x=1 x=3\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12x + 9 \\ &= 3(x-1)(x-3) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

נקודות חשודות

f′(0)=9>0f′(2)=−3<0f′(4)=9>0\begin{aligned}f'(0) &= 9 > 0 \\ \quad f'(2) &= -3 < 0 \\ \quad f'(4) &= 9 > 0\end{aligned}

פלוס, מינוס, פלוס

f(1)=0f(3)=27−54+27−4=−4\begin{aligned}f(1) &= 0 \\ \quad f(3) &= 27 - 54 + 27 - 4 \\ &= -4\end{aligned}

הגבהים מ-ff

מקסימום (1, 0)(1,\,0), מינימום (3, −4)(3,\,-4). המקסימום יושב על ציר ה-xx, כמו שסעיף א רמז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−4f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4. ג. מהו תחום הירידה של הפונקציה?

  1. 1<x<31 < x < 3
  2. 1<x<41 < x < 4
  3. x<1x < 1 או x>3x > 3
  4. x<3x < 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 1<x<31 < x < 3

הפתרון:

f′(x)<0 ⇔ 3(x−1)(x−3)<0 ⇔ 1<x<3f'(x) < 0 \ \Leftrightarrow \ 3(x-1)(x-3) < 0 \ \Leftrightarrow \ 1 < x < 3

בין שתי הנקודות החשודות

הנכונה: 1<x<31 < x < 3. 1<x<41 < x < 4 ערבב את החיתוך עם ציר xx (x=4x = 4) עם הקיצון (x=3x = 3). תחומי עלייה וירידה נקבעים מ-f′f', לא מהשורשים של ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−4f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4. ד. מהי משוואת המשיק לגרף בנקודת החיתוך שלו עם ציר ה-yy?

  1. y=9x−4y = 9x - 4
  2. y=−3x−4y = -3x - 4
  3. y=−4x+9y = -4x + 9
  4. y=9x+4y = 9x + 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א y=9x−4y = 9x - 4

הפתרון:

x=0: f(0)=−4 ⇒ (0, −4)\begin{aligned}x &= 0: \ f(0) \\ &= -4 \ \Rightarrow \ (0,\,-4)\end{aligned}

נקודת ההשקה

f′(0)=9f'(0) = 9

השיפוע

y+4=9(x−0) ⇒ y=9x−4\begin{aligned}y + 4 &= 9(x - 0) \ \Rightarrow \ y \\ &= 9x - 4\end{aligned}

משוואת המשיק

הנכונה: y=9x−4y = 9x - 4. כשנקודת ההשקה על ציר ה-yy, המספר החופשי של המשיק הוא הגובה שלה. «y=−3x−4y = -3x - 4» לקח את f′(2)f'(2) במקום f′(0)f'(0).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=ax3+bx2f(x) = ax^3 + bx^2. לפונקציה נקודת קיצון ב-(2, 4)(2,\,4). א. מצאו את aa ואת bb.

a=a= ____ , b=b= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a=a= -1 , b=b= 3

הפתרון:

f′(x)=3ax2+2bx ⇒ f′(2)=12a+4b=0 ⇒ b=−3a\begin{aligned}f'(x) &= 3ax^2 + 2bx \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 12a + 4b \\ &= 0 \ \Rightarrow \ b \\ &= -3a\end{aligned}

קיצון ב-x=2x = 2

f(2)=8a+4b=4\begin{aligned}f(2) &= 8a + 4b \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה על הגרף

8a−12a=4 ⇒ a=−1b=3\begin{aligned}8a - 12a &= 4 \ \Rightarrow \ a \\ &= -1 \\ \quad b &= 3\end{aligned}

מציבים

f(x)=−x3+3x2: f′(2)=−12+12=0 f(2)=−8+12=4 ✓\begin{aligned}f(x) &= -x^3 + 3x^2: \ f'(2) \\ &= -12 + 12 \\ &= 0 \\ \ f(2) &= -8 + 12 \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

נקודת קיצון עם שני שיעורים היא שני תנאים: f′(2)=0f'(2) = 0 ו-f(2)=4f(2) = 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=ax3+bx2f(x) = ax^3 + bx^2 עם aa ו-bb שמצאתם, כלומר f(x)=−x3+3x2f(x) = -x^3 + 3x^2. ב. מהי נקודת הקיצון השנייה של הפונקציה, ומה סוגה?

  1. (0, 0)(0,\,0) — מינימום
  2. (0, 0)(0,\,0) — מקסימום
  3. אין נקודת קיצון שנייה
  4. (−2, 20)(-2,\,20) — מינימום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א (0, 0)(0,\,0) — מינימום

הפתרון:

f′(x)=−3x2+6x=−3x(x−2)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}f'(x) &= -3x^2 + 6x \\ &= -3x(x-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

נקודות חשודות

f′(−1)=−9<0f′(1)=3>0\begin{aligned}f'(-1) &= -9 < 0 \\ \quad f'(1) &= 3 > 0\end{aligned}

סביב 00: ממינוס לפלוס

f(0)=0f(0) = 0

מינימום (0, 0)(0,\,0)

הנכונה: (0, 0)(0,\,0) — מינימום. ואז (2, 4)(2,\,4) הוא מקסימום: f′(3)=−9<0f'(3) = -9 < 0. הנקודה (−2, 20)(-2,\,20) על הגרף, אבל f′(−2)=−24≠0f'(-2) = -24 \ne 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הגרף של f′
-5-4-3-2-10123-5-4-3-2-1123456f′(x)x

בשרטוט נתון הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff: פרבולה שחותכת את הציר ב-x=−3x = -3 וב-x=1x = 1. א. מהם שיעורי ה-xx של נקודות הקיצון של ff, ומה סוגן?

  1. מקסימום ב-x=−3x = -3 בלבד
  2. מקסימום ב-x=−3x = -3 ומינימום ב-x=1x = 1
  3. מינימום ב-x=−1x = -1
  4. מינימום ב-x=−3x = -3 ומקסימום ב-x=1x = 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מקסימום ב-x=−3x = -3 ומינימום ב-x=1x = 1

הפתרון:

x<−3: f′>0−3<x<1: f′<0x>1: f′>0x < -3: \ f' > 0 \qquad -3 < x < 1: \ f' < 0 \qquad x > 1: \ f' > 0

הפרבולה פונה כלפי מעלה: מעל, מתחת, מעל

x=−3: +→− ⇒ max⁡x=1: −→+ ⇒ min⁡\begin{aligned}x &= -3: \ + \to - \ \Rightarrow \ \max \qquad x \\ &= 1: \ - \to + \ \Rightarrow \ \min\end{aligned}

לפי החלפת הסימן

הנכונה: מקסימום ב-x=−3x = -3 ומינימום ב-x=1x = 1. «מינימום ב-x=−1x = -1» קרא את הקודקוד של f′f' כאילו הוא של ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הגרף של f′
-5-4-3-2-10123-5-4-3-2-1123456f′(x)x

באותו שרטוט של f′f' (פרבולה שחותכת את הציר ב-x=−3x = -3 וב-x=1x = 1). ב. בתחום x>1x > 1 הפונקציה ff:

  1. עולה
  2. עולה ואז יורדת
  3. אי אפשר לדעת בלי הגרף של ff
  4. יורדת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א עולה

הפתרון:

x>1: f′(x)>0x > 1: \ f'(x) > 0

הפרבולה מעל הציר מימין לשורש 11

f′>0 ⇒ f עולהf' > 0 \ \Rightarrow \ f \ \text{עולה}

בכל התחום x>1x > 1

הנכונה: עולה. הגרף של f′f' מספיק לגמרי: הסימן שלו הוא כל מה שצריך לדעת על הכיוון של ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הגרף של f′
-5-4-3-2-10123-5-4-3-2-1123456f′(x)x

באותו שרטוט של f′f' (פרבולה שחותכת את הציר ב-x=−3x = -3 וב-x=1x = 1, וקודקודה ב-x=−1x = -1). ג. הוכיחו או הפריכו: ל-ff יש נקודת קיצון ב-x=−1x = -1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f′(−1)=−4≠0f'(-1) = -4 \ne 0

בקודקוד f′f' שלילית, לא אפס

−3<x<1: f′<0-3 < x < 1: \ f' < 0

ff יורדת לאורך כל הקטע, גם ב-x=−1x = -1

הטענה לא נכונה. ב-x=−1x = -1 הנגזרת בשיא השליליות שלה: ff יורדת שם הכי מהר, ולא מתהפכת. קיצון של ff נמצא רק איפה ש-f′f' חוצה את הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=x3−3x2+1f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 בקטע −1≤x≤4-1 \le x \le 4. מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בקטע.

הערך הגדול ביותר: ____ , מתקבל ב-x=x= ____ ; הערך הקטן ביותר: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הערך הגדול ביותר: 17 , מתקבל ב-x=x= 4 ; הערך הקטן ביותר: -3

הפתרון:

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ &= 3x(x-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

שתי חשודות, שתיהן בקטע

f(0)=1f(2)=8−12+1=−3\begin{aligned}f(0) &= 1 \\ \quad f(2) &= 8 - 12 + 1 \\ &= -3\end{aligned}

בחשודות

f(−1)=−1−3+1=−3f(4)=64−48+1=17\begin{aligned}f(-1) &= -1 - 3 + 1 \\ &= -3 \\ \quad f(4) &= 64 - 48 + 1 \\ &= 17\end{aligned}

בקצוות

max⁡=17 (x=4)min⁡=−3 (x=−1, x=2)\begin{aligned}\max &= 17 \ (x = 4) \qquad \min \\ &= -3 \ (x = -1 ,\ x = 2)\end{aligned}

הגדול ביותר בקצה; הקטן ביותר מתקבל פעמיים

הערך הקטן ביותר, −3-3, מתקבל גם בקצה x=−1x = -1 וגם במינימום הפנימי x=2x = 2. זה מותר: הערך אחד, והמקומות שניים. והמקסימום המקומי (0, 1)(0,\,1) אינו הגדול ביותר בקטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת