סדרה 4 — מתקדם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות שמחברות שני רעיונות: משיק לפונקציה מורכבת, משיקים אופקיים, שלושה פרמטרים, קריאת סקיצה, קטע סגור, שגיאה בחקירה, ושטח שהמשיק יוצר עם הצירים.

כל תנאי בשאלה הוא משוואה אחת. ספרו את הנעלמים, ספרו את התנאים, ורק אז התחילו לפתור.

תרגילים

תרגיל 1

המשיק לגרף f(x)=(2x−1)3f(x) = (2x - 1)^3 בנקודה שבה x=1x = 1 חותך את ציר ה-yy. מהו שיעור ה-yy של נקודת החיתוך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -5

הפתרון:

f(1)=13=1 ⇒ (1, 1)\begin{aligned}f(1) &= 1^3 \\ &= 1 \ \Rightarrow \ (1,\,1)\end{aligned}

נקודת ההשקה

f′(x)=3(2x−1)2⋅2 ⇒ f′(1)=6\begin{aligned}f'(x) &= 3(2x-1)^2 \cdot 2 \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 6\end{aligned}

השיפוע, בשני שלבים

y−1=6(x−1) ⇒ y=6x−5\begin{aligned}y - 1 &= 6(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 6x - 5\end{aligned}

משוואת המשיק

x=0 ⇒ y=−5\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= -5\end{aligned}

חיתוך עם ציר yy

בלי הכפל ב-22 השיפוע יוצא 33, המשיק y=3x−2y = 3x - 2, והחיתוך −2-2. שלב אחד חסר משנה את כל התשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באילו נקודות המשיק לגרף f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 הוא אופקי?

  1. (0, 2)(0,\,2) ו-(2, −2)(2,\,-2)
  2. (1, 0)(1,\,0)
  3. (0, 0)(0,\,0) ו-(2, 0)(2,\,0)
  4. (0, 2)(0,\,2) בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א (0, 2)(0,\,2) ו-(2, −2)(2,\,-2)

הפתרון:

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ &= 3x(x-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

משיק אופקי: שיפוע אפס

f(0)=2f(2)=8−12+2=−2\begin{aligned}f(0) &= 2 \\ \quad f(2) &= 8 - 12 + 2 \\ &= -2\end{aligned}

הגבהים מ-ff

הנכונה: (0, 2)(0,\,2) ו-(2, −2)(2,\,-2). «(0, 0)(0,\,0) ו-(2, 0)(2,\,0)» כתב את ערכי f′f' במקום הגבהים. «(1, 0)(1,\,0)» הוא נקודה על הגרף, אבל שם f′(1)=−3f'(1) = -3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=ax2+bxf(x) = ax^2 + bx. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x = 1 הוא 55, ו-f(1)=3f(1) = 3. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=2ax+b ⇒ 2a+b=5\begin{aligned}f'(x) &= 2ax + b \ \Rightarrow \ 2a + b \\ &= 5\end{aligned}

השיפוע ב-x=1x = 1

f(1)=a+b=3\begin{aligned}f(1) &= a + b \\ &= 3\end{aligned}

הגובה ב-x=1x = 1

(2a+b)−(a+b)=5−3 ⇒ a=2b=1\begin{aligned}(2a + b) - (a + b) &= 5 - 3 \ \Rightarrow \ a \\ &= 2 \\ \quad b &= 1\end{aligned}

מחסרים

f(x)=2x2+x: f′(1)=5 f(1)=3 ✓\begin{aligned}f(x) &= 2x^2 + x: \ f'(1) \\ &= 5 \\ \ f(1) &= 3 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

תנאי אחד על f′f' ותנאי אחד על ff, מאותה נקודה. אין לבלבל ביניהם: f′(1)=5f'(1) = 5 אינו אומר f(1)=5f(1) = 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c. לפונקציה נקודות קיצון ב-x=−2x = -2 וב-x=2x = 2, והגרף עובר בנקודה (0, 5)(0,\,5). מצאו את aa, bb ו-cc.

a=a= ____ , b=b= ____ , c=c= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a=a= 0 , b=b= -12 , c=c= 5

הפתרון:

f′(x)=3x2+2ax+bf'(x) = 3x^2 + 2ax + b

גוזרים

f′(−2)=12−4a+b=0f′(2)=12+4a+b=0\begin{aligned}f'(-2) &= 12 - 4a + b \\ &= 0 \\ \quad f'(2) &= 12 + 4a + b \\ &= 0\end{aligned}

שני קיצונים

8a=0 ⇒ a=0b=−12\begin{aligned}8a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 0 \\ \quad b &= -12\end{aligned}

מחסרים ומציבים

f(0)=c=5\begin{aligned}f(0) &= c \\ &= 5\end{aligned}

הנקודה (0, 5)(0,\,5)

f(x)=x3−12x+5: f′(x)=3x2−12=3(x−2)(x+2) ✓\begin{aligned}f(x) &= x^3 - 12x + 5: \ f'(x) \\ &= 3x^2 - 12 \\ &= 3(x-2)(x+2) \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

a=0a = 0 היא תשובה לגיטימית: קיצונים סימטריים סביב 00 אומרים שאין איבר x2x^2. שלושה נעלמים, שלושה תנאים, ואף אחד לא מיותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

סקיצה של f
-4-3-2-10123-15-10-5510xy

בשרטוט נתונה סקיצה של ff, עם נקודת מינימום ב-x=−2x = -2 ונקודת מקסימום ב-x=1x = 1. מה נכון לגבי f′f'?

  1. f′(x)>0f'(x) > 0 לכל xx
  2. f′(x)>0f'(x) > 0 כאשר −2<x<1-2 < x < 1
  3. f′(x)>0f'(x) > 0 כאשר x>1x > 1
  4. f′(−2)>0f'(-2) > 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב f′(x)>0f'(x) > 0 כאשר −2<x<1-2 < x < 1

הפתרון:

−2<x<1: f עולה ⇒ f′>0-2 < x < 1: \ f \ \text{עולה} \ \Rightarrow \ f' > 0

מהמינימום למקסימום

x>1: f יורדת ⇒ f′<0x > 1: \ f \ \text{יורדת} \ \Rightarrow \ f' < 0

אחרי המקסימום

f′(−2)=0f'(-2) = 0

בקיצון המשיק אופקי

הנכונה: f′(x)>0f'(x) > 0 כאשר −2<x<1-2 < x < 1. f′f' חיובית איפה ש-ff עולה, ובנקודות הקיצון עצמן היא אפס, לא חיובית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=x4−8x2f(x) = x^4 - 8x^2 בקטע −1≤x≤3-1 \le x \le 3. א. מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה בקטע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -16

הפתרון:

f′(x)=4x3−16x=4x(x−2)(x+2)=0 ⇒ x=0 x=±2\begin{aligned}f'(x) &= 4x^3 - 16x \\ &= 4x(x-2)(x+2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= \pm 2\end{aligned}

שלוש נקודות חשודות; x=−2x = -2 מחוץ לקטע

f(0)=0f(2)=16−32=−16\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(2) &= 16 - 32 \\ &= -16\end{aligned}

החשודות שבקטע

f(−1)=1−8=−7f(3)=81−72=9\begin{aligned}f(-1) &= 1 - 8 \\ &= -7 \\ \quad f(3) &= 81 - 72 \\ &= 9\end{aligned}

הקצוות

min⁡=−16 (x=2)\min = -16 \ (x = 2)

בנקודה פנימית

ארבעה מועמדים: שתי חשודות בקטע ושני קצוות. x=−2x = -2 הייתה נותנת גם −16-16, אבל היא מחוץ לקטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=x4−8x2f(x) = x^4 - 8x^2 בקטע −1≤x≤3-1 \le x \le 3. ב. מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה בקטע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

f(0)=0f(2)=−16f(−1)=−7f(3)=9\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(2) &= -16 \\ \quad f(-1) &= -7 \\ \quad f(3) &= 9\end{aligned}

אותם ארבעה מועמדים

max⁡=9 (x=3)\max = 9 \ (x = 3)

בקצה הימני

x=0x = 0 הוא מקסימום מקומי (f′f' עוברת מפלוס למינוס), אבל הערך 00 שם קטן מ-99 בקצה. מקומי ומוחלט הם שני דברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x אין נקודות קיצון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=3x2+1f'(x) = 3x^2 + 1

גוזרים

3x2+1≥1>03x^2 + 1 \ge 1 > 0

הנגזרת חיובית לכל xx

הטענה נכונה. ל-f′(x)=0f'(x) = 0 אין פתרון, ולכן אין אף נקודה חשודה. ff עולה בכל התחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מוצאים את נקודות הקיצון של f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

f′(x)=3x2−12f'(x) = 3x^2 - 12
3x2−12=0⇒x=2\begin{aligned}3x^2 - 12 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}
f(2)=8−24=−16\begin{aligned}f(2) &= 8 - 24 \\ &= -16\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3x2−12=0⇒x=23x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = 2 → 3x2−12=0⇒x=2 או x=−23x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = 2 \ \text{או} \ x = -2

הפתרון:

x2=4 ⇒ x=±2\begin{aligned}x^2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

למשוואה ריבועית שני פתרונות

f(−2)=−8+24=16\begin{aligned}f(-2) &= -8 + 24 \\ &= 16\end{aligned}

הקיצון שאבד: מקסימום (−2, 16)(-2,\,16)

השורה השנייה איבדה את x=−2x = -2, ואיתו את המקסימום. x2=4x^2 = 4 הוא שני מספרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

המשיק לגרף f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 בנקודה שבה x=3x = 3 יוצר עם שני הצירים משולש. מהו שטח המשולש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f(3)=9−12+7=4f′(3)=2⋅3−4=2\begin{aligned}f(3) &= 9 - 12 + 7 \\ &= 4 \\ \quad f'(3) &= 2 \cdot 3 - 4 \\ &= 2\end{aligned}

נקודה ושיפוע

y−4=2(x−3) ⇒ y=2x−2\begin{aligned}y - 4 &= 2(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x - 2\end{aligned}

משוואת המשיק

x=0⇒y=−2y=0⇒x=1\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= -2 \qquad y \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך עם שני הצירים

S=1⋅22=1\begin{aligned}S &= \frac{1 \cdot 2}{2} \\ &= 1\end{aligned}

ניצבים 11 ו-22

אורכי הניצבים הם מרחקים, ולכן חיוביים: 22 ולא −2-2. אחרי משוואת המשיק, השאלה היא גאומטריה אנליטית רגילה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת