סדרה 3 — מאתגר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות של שלושה-ארבעה צעדים: משיק ששיפועו נתון, משיק וחיתוכו עם ציר ה-yy, מכפלה שכתובה כגורמים, פרמטר, קריאת הגרף של f′f', וערכי קיצון בקטע סגור.

כשנותנים שיפוע, כותבים f′(x)=mf'(x) = m ופותרים ל-xx. כשנותנים נקודה, מציבים ב-ff. וכשהתחום סגור, הקצוות תמיד ברשימה.

תרגילים

תרגיל 1

באיזו נקודה (שיעור xx) שיפוע המשיק לגרף f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x שווה ל-66?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=2x+2f'(x) = 2x + 2

הנגזרת היא השיפוע

2x+2=6 ⇒ x=2\begin{aligned}2x + 2 &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

משווים ל-66

הפעם השיפוע נתון וה-xx מבוקש: משווים את הנגזרת ל-66, לא את הפונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המשיק לגרף f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x בנקודה שבה x=1x = 1 חותך את ציר ה-yy. מהו שיעור ה-yy של נקודת החיתוך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

f(1)=1−4=−3 ⇒ (1, −3)\begin{aligned}f(1) &= 1 - 4 \\ &= -3 \ \Rightarrow \ (1,\,-3)\end{aligned}

נקודת ההשקה

f′(x)=3x2−4 ⇒ f′(1)=−1\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 4 \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= -1\end{aligned}

השיפוע

y+3=−(x−1) ⇒ y=−x−2\begin{aligned}y + 3 &= -(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -x - 2\end{aligned}

משוואת המשיק

x=0 ⇒ y=−2\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= -2\end{aligned}

חיתוך עם ציר yy

אחרי שיש משוואת ישר, ממשיכים כמו בגאומטריה אנליטית. השיפוע שלילי: המשיק יורד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

גזרו: f(x)=(x−2)2(x+1)f(x) = (x - 2)^2 (x + 1)

  1. (x−2)2+2(x−2)(x - 2)^2 + 2(x - 2)
  2. 2(x−2)(x+1)2(x - 2)(x + 1)
  3. 3x(x−2)3x(x - 2)
  4. 2(x−2)2(x - 2)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 3x(x−2)3x(x - 2)

הפתרון:

f′=2(x−2)⋅(x+1)+(x−2)2⋅1f' = 2(x-2) \cdot (x+1) + (x-2)^2 \cdot 1

כלל המכפלה, עם ((x−2)2)′=2(x−2)\big((x-2)^2\big)' = 2(x-2)

=(x−2)(2(x+1)+(x−2))=(x−2)(3x)= (x-2)\big(2(x+1) + (x-2)\big) = (x-2)(3x)

מוציאים גורם משותף (x−2)(x-2)

f(x)=x3−3x2+4 ⇒ f′(x)=3x2−6x=3x(x−2) ✓\begin{aligned}f(x) &= x^3 - 3x^2 + 4 \ \Rightarrow \ f'(x) \\ &= 3x^2 - 6x \\ &= 3x(x-2) \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה בפתיחת סוגריים

הנכונה: 3x(x−2)3x(x - 2). 2(x−2)(x+1)2(x-2)(x+1) שוכח את האיבר השני של הכלל; 2(x−2)2(x-2) גזר רק גורם אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=(x−2)2(x+1)f(x) = (x - 2)^2 (x + 1), ונגזרתה f′(x)=3x(x−2)f'(x) = 3x(x - 2). מצאו את שיעורי ה-xx של נקודות הקיצון.

מקסימום ב-x=x= ____ ; מינימום ב-x=x= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום ב-x=x= 0 ; מינימום ב-x=x= 2

הפתרון:

3x(x−2)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}3x(x-2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

נקודות חשודות

f′(−1)=9>0f′(1)=−3<0f′(3)=9>0\begin{aligned}f'(-1) &= 9 > 0 \\ \quad f'(1) &= -3 < 0 \\ \quad f'(3) &= 9 > 0\end{aligned}

פלוס, מינוס, פלוס

f(0)=4f(2)=0\begin{aligned}f(0) &= 4 \\ \quad f(2) &= 0\end{aligned}

מקסימום (0, 4)(0,\,4), מינימום (2, 0)(2,\,0)

כשהנגזרת כבר מפורקת לגורמים, הנקודות החשודות נקראות ישירות. הסוג עדיין דורש את הסימנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x3+ax2−15xf(x) = x^3 + ax^2 - 15x. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=1x = 1. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

f′(x)=3x2+2ax−15f'(x) = 3x^2 + 2ax - 15

גוזרים

f′(1)=3+2a−15=0 ⇒ a=6\begin{aligned}f'(1) &= 3 + 2a - 15 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

קיצון ב-x=1x = 1

f′(x)=3x2+12x−15=3(x+5)(x−1) ✓\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 + 12x - 15 \\ &= 3(x+5)(x-1) \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: הקיצון השני ב-x=−5x = -5

התנאי הולך ל-f′f'. מי שהציב f(1)=0f(1) = 0 קיבל 1+a−15=01 + a - 15 = 0, כלומר a=14a = 14, וזה חיתוך עם ציר xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה f(x)=x4f(x) = x^4 יש נקודת מינימום ב-(0, 0)(0,\,0).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=4x3=0 ⇒ x=0\begin{aligned}f'(x) &= 4x^3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

נקודה חשודה

f′(−1)=−4<0f′(1)=4>0\begin{aligned}f'(-1) &= -4 < 0 \\ \quad f'(1) &= 4 > 0\end{aligned}

ממינוס לפלוס

הטענה נכונה. בניגוד ל-x3x^3, כאן הסימן מתחלף, ולכן (0, 0)(0,\,0) הוא מינימום. אותה נקודה חשודה, שתי תשובות שונות: רק הטבלה מכריעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הגרף של f′
-3-2-1012345-5-4-3-2-112345f′(x)x

בשרטוט נתון הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff: פרבולה שחותכת את הציר ב-x=−1x = -1 וב-x=3x = 3. באיזה xx יש ל-ff נקודת מינימום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

x<−1: f′<0−1<x<3: f′>0x>3: f′<0x < -1: \ f' < 0 \qquad -1 < x < 3: \ f' > 0 \qquad x > 3: \ f' < 0

הפרבולה מתחת, מעל, מתחת

x=−1: −→+ ⇒ min⁡x = -1: \ - \to + \ \Rightarrow \ \min

מינימום

x=3: +→− ⇒ max⁡x = 3: \ + \to - \ \Rightarrow \ \max

מקסימום

הפרבולה של f′f' פונה כלפי מטה, ולכן שלילית מחוץ לשורשים. מי שענה x=1x = 1 קרא את הקודקוד של f′f' כאילו הוא קיצון של ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

המשיק לגרף f(x)=x2f(x) = x^2 מקביל לישר y=4x+1y = 4x + 1. מהי משוואת המשיק?

  1. y=4x−8y = 4x - 8
  2. y=4x−4y = 4x - 4
  3. y=4x+4y = 4x + 4
  4. y=4x+1y = 4x + 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב y=4x−4y = 4x - 4

הפתרון:

m=4 ⇒ 2x=4 ⇒ x=2\begin{aligned}m &= 4 \ \Rightarrow \ 2x \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מקבילים: אותו שיפוע; פותרים f′(x)=4f'(x) = 4

f(2)=4 ⇒ (2, 4)f(2) = 4 \ \Rightarrow \ (2,\,4)

נקודת ההשקה

y−4=4(x−2) ⇒ y=4x−4\begin{aligned}y - 4 &= 4(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= 4x - 4\end{aligned}

משוואת המשיק

הנכונה: y=4x−4y = 4x - 4. «y=4x+1y = 4x + 1» הוא הישר הנתון עצמו, והוא לא נוגע בפרבולה. הפעם השיפוע נתון, ונקודת ההשקה היא מה שמחפשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=x3−3x2−9x+1f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 בקטע −2≤x≤2-2 \le x \le 2. א. מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה בקטע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)=0 ⇒ x=−1 x=3\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x - 9 \\ &= 3(x-3)(x+1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

נקודות חשודות; x=3x = 3 מחוץ לקטע

f(−1)=−1−3+9+1=6\begin{aligned}f(-1) &= -1 - 3 + 9 + 1 \\ &= 6\end{aligned}

בנקודה החשודה שבקטע

f(−2)=−8−12+18+1=−1f(2)=8−12−18+1=−21\begin{aligned}f(-2) &= -8 - 12 + 18 + 1 \\ &= -1 \\ \quad f(2) &= 8 - 12 - 18 + 1 \\ &= -21\end{aligned}

הקצוות

max⁡=6 (x=−1)\max = 6 \ (x = -1)

בנקודה פנימית

x=3x = 3 היא נקודת מינימום של ff, אבל היא מחוץ לקטע, ולכן לא משתתפת. משווים רק את מה שבתוך הקטע ואת הקצוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=x3−3x2−9x+1f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 בקטע −2≤x≤2-2 \le x \le 2. ב. מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה בקטע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -21

הפתרון:

f(−1)=6f(−2)=−1f(2)=−21\begin{aligned}f(-1) &= 6 \\ \quad f(-2) &= -1 \\ \quad f(2) &= -21\end{aligned}

אותה רשימה: חשודה בקטע ושני קצוות

min⁡=−21 (x=2)\min = -21 \ (x = 2)

בקצה הימני

ff יורדת מ-x=−1x = -1 עד x=3x = 3, ולכן בתוך הקטע היא יורדת עד הקצה x=2x = 2. המינימום «האמיתי» ב-x=3x = 3 נמצא מחוץ לקטע, והקצה תופס את מקומו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת