סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים: כלל המכפלה ופונקציה מורכבת, משוואת משיק, נקודות קיצון של פולינום ממעלה שלישית, פרמטר אחד, וקריאת הגרף של f′f'.

בכל נקודת קיצון: הנגזרת נותנת את ה-xx, הפונקציה נותנת את ה-yy, וסימני הנגזרת משני הצדדים נותנים את הסוג.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=(x2+2)(x−1)f(x) = (x^2 + 2)(x - 1). חשבו את f′(2)f'(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

f′(x)=2x(x−1)+(x2+2)⋅1f'(x) = 2x(x-1) + (x^2+2) \cdot 1

כלל המכפלה

f′(2)=4⋅1+6=10\begin{aligned}f'(2) &= 4 \cdot 1 + 6 \\ &= 10\end{aligned}

מציבים

f(x)=x3−x2+2x−2 ⇒ f′(2)=12−4+2=10 ✓\begin{aligned}f(x) &= x^3 - x^2 + 2x - 2 \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 12 - 4 + 2 \\ &= 10 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

מכפלת הנגזרות, 2x⋅1=42x \cdot 1 = 4, היא הטעות הצפויה. הכלל הוא סכום של שתי מכפלות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=(x2−3)3f(x) = (x^2 - 3)^3. חשבו את f′(2)f'(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

f′(x)=3(x2−3)2⋅2xf'(x) = 3(x^2-3)^2 \cdot 2x

החיצונית, ואז הפנימית

f′(2)=3⋅12⋅4=12\begin{aligned}f'(2) &= 3 \cdot 1^2 \cdot 4 \\ &= 12\end{aligned}

4−3=14 - 3 = 1, ו-2⋅2=42 \cdot 2 = 4

בלי הכפל ב-2x2x מקבלים 33. הפנימית ריבועית, והנגזרת שלה 2x2x תלויה ב-xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהי משוואת המשיק לגרף f(x)=x2−3xf(x) = x^2 - 3x בנקודה שבה x=2x = 2?

  1. y=x+4y = x + 4
  2. y=x−2y = x - 2
  3. y=x−4y = x - 4
  4. y=−2x+2y = -2x + 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y=x−4y = x - 4

הפתרון:

f(2)=4−6=−2\begin{aligned}f(2) &= 4 - 6 \\ &= -2\end{aligned}

נקודת ההשקה (2, −2)(2,\,-2)

f′(x)=2x−3 ⇒ f′(2)=1\begin{aligned}f'(x) &= 2x - 3 \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 1\end{aligned}

השיפוע

y+2=1⋅(x−2) ⇒ y=x−4\begin{aligned}y + 2 &= 1 \cdot (x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= x - 4\end{aligned}

שיפוע ונקודה

הנכונה: y=x−4y = x - 4. בדיקה: ב-x=2x = 2 הישר נותן −2-2 ✓. «y=x−2y = x - 2» כתב את הגובה במקום המספר החופשי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו הערך המינימלי של f(x)=x2−6x+2f(x) = x^2 - 6x + 2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -7

הפתרון:

f′(x)=2x−6=0 ⇒ x=3\begin{aligned}f'(x) &= 2x - 6 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

נקודה חשודה

f(3)=9−18+2=−7\begin{aligned}f(3) &= 9 - 18 + 2 \\ &= -7\end{aligned}

הערך מ-ff

f′(0)=−6<0f′(4)=2>0\begin{aligned}f'(0) &= -6 < 0 \\ \quad f'(4) &= 2 > 0\end{aligned}

ממינוס לפלוס: מינימום

שואלים על הערך, כלומר ה-yy. 33 הוא ה-xx של המינימום, לא הערך שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x. מצאו את נקודת המקסימום.

x=x= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= -2 , y=y= 16

הפתרון:

f′(x)=3x2−12=0 ⇒ x=±2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

נקודות חשודות

f′(−3)=15>0f′(0)=−12<0\begin{aligned}f'(-3) &= 15 > 0 \\ \quad f'(0) &= -12 < 0\end{aligned}

סביב −2-2: מפלוס למינוס, מקסימום

f(−2)=−8+24=16\begin{aligned}f(-2) &= -8 + 24 \\ &= 16\end{aligned}

הגובה

המקסימום ב-x=−2x = -2, לא ב-x=2x = 2: שם f′f' עוברת ממינוס לפלוס, וזה מינימום (2, −16)(2,\,-16).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. מיינו את הקטעים לפי ההתנהגות של ff.

  • ff עולה
  • ff יורדת
  • −1<x<1-1 < x < 1
  • 2<x<42 < x < 4
  • x<−1x < -1
  • x>1x > 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x<−1x < -1 — ff עולה · −1<x<1-1 < x < 1 — ff יורדת · x>1x > 1 — ff עולה · 2<x<42 < x < 4 — ff עולה

הפתרון:

f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 3 \\ &= 3(x-1)(x+1)\end{aligned}

נקודות חשודות ±1\pm 1

f′(−2)=9>0f′(0)=−3<0f′(2)=9>0\begin{aligned}f'(-2) &= 9 > 0 \\ \quad f'(0) &= -3 < 0 \\ \quad f'(2) &= 9 > 0\end{aligned}

עולה, יורדת, עולה

2<x<42 < x < 4 נמצא בתוך x>1x > 1, ולכן ff עולה שם. הסימן של f′f' קבוע בכל קטע בין שתי נקודות חשודות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=x2+axf(x) = x^2 + ax. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=−2x = -2. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f′(x)=2x+af'(x) = 2x + a

גוזרים

f′(−2)=−4+a=0 ⇒ a=4\begin{aligned}f'(-2) &= -4 + a \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

קיצון: הנגזרת מתאפסת

בדיקה: f(x)=x2+4xf(x) = x^2 + 4x, קודקוד ב-x=−42=−2x = -\frac{4}{2} = -2 ✓. מי שהציב ב-ff קיבל 4−2a=04 - 2a = 0, כלומר a=2a = 2, וזה חיתוך עם ציר xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x אי-זוגית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(−x)=−x3+x=−(x3−x)=−f(x)\begin{aligned}f(-x) &= -x^3 + x \\ &= -(x^3 - x) \\ &= -f(x)\end{aligned}

כל איבר מחליף סימן

הטענה נכונה. חזקות אי-זוגיות בלבד, והגרף סימטרי ביחס לראשית: f(1)=0f(1) = 0 ו-f(−1)=0f(-1) = 0, f(2)=6f(2) = 6 ו-f(−2)=−6f(-2) = -6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הגרף של f′
-4-3-2-101234-5-4-3-2-1123456f′(x)x

בשרטוט נתון הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff: פרבולה שחותכת את הציר ב-x=−2x = -2 וב-x=2x = 2. מה נכון לגבי ff?

  1. מינימום ב-x=0x = 0
  2. מינימום ב-x=−2x = -2 ומקסימום ב-x=2x = 2
  3. ל-ff אין נקודות קיצון
  4. מקסימום ב-x=−2x = -2 ומינימום ב-x=2x = 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מקסימום ב-x=−2x = -2 ומינימום ב-x=2x = 2

הפתרון:

x<−2: f′>0−2<x<2: f′<0x>2: f′>0x < -2: \ f' > 0 \qquad -2 < x < 2: \ f' < 0 \qquad x > 2: \ f' > 0

מעל, מתחת, מעל

x=−2: +→− ⇒ max⁡x=2: −→+ ⇒ min⁡\begin{aligned}x &= -2: \ + \to - \ \Rightarrow \ \max \qquad x \\ &= 2: \ - \to + \ \Rightarrow \ \min\end{aligned}

לפי החלפת הסימן

הנכונה: מקסימום ב-x=−2x = -2 ומינימום ב-x=2x = 2. «מינימום ב-x=0x = 0» קרא את הקודקוד של f′f' כאילו הוא קיצון של ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x בקטע 0≤x≤40 \le x \le 4. מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה בקטע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

f′(x)=2x−2=0 ⇒ x=1f(1)=−1\begin{aligned}f'(x) &= 2x - 2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \quad f(1) &= -1\end{aligned}

נקודה חשודה: מינימום

f(0)=0f(4)=16−8=8\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(4) &= 16 - 8 \\ &= 8\end{aligned}

הקצוות

max⁡=8 (x=4)\max = 8 \ (x = 4)

בקצה הימני

הנגזרת מוצאת רק את המינימום. הערך הגדול ביותר בקטע סגור נמצא בקצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת