משוואת המשיק

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כדי לכתוב משוואה של ישר צריך שני דברים, ורק שניים: שיפוע, ונקודה שהישר עובר דרכה. זה נכון לכל ישר בעולם — וגם למשיק.

y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)

משוואת ישר שעובר בנקודה (x0, y0)(x_0,\, y_0) ושיפועו mm

הנוסחה הזו מוכרת מהגיאומטריה האנליטית, והיא לא משתנה כאן. כל מה שנשאר הוא למלא שני מקומות: מהו mm, ומהי נקודת ההשקה (x0, y0)(x_0,\, y_0).

למה לא מספיק לדעת רק את השיפוע כדי לכתוב את משוואת המשיק?

להציג את התשובה והפתרון

כי לאותו שיפוע יש אינסוף ישרים מקבילים. הנקודה היא מה שבוחר מתוכם את הישר האחד שבאמת נוגע בגרף.

מאיפה מגיע כל אחד מהשניים

m=f′(x0)m = f'(x_0)

השיפוע — מהנגזרת. זה כל תפקידה כאן.

y0=f(x0)y_0 = f(x_0)

הגובה — מהפונקציה עצמה.

זו הנקודה המרכזית של הפרק: שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת באותה נקודה. לעקומה אין שיפוע אחד, ולכן אי אפשר סתם לקרוא את mm מהגרף — גוזרים, ומציבים את ה-xx של נקודת ההשקה.

f′(x)f'(x) הוא ביטוי, והוא משתנה מנקודה לנקודה. f′(x0)f'(x_0) הוא מספר. שיפוע של ישר הוא תמיד מספר — ולכן חייבים להציב.

נתון f(x)=x2f(x) = x^2. מהו שיפוע המשיק בנקודה שבה x0=5x_0 = 5?

להציג את התשובה והפתרון

f′(x)=2xf'(x) = 2x, ולכן f′(5)=10f'(5) = 10. השיפוע הוא 10 — מספר, לא ביטוי.

שלושת השלבים

11

הנקודה — מציבים x0x_0 בפונקציה ומקבלים y0=f(x0)y_0 = f(x_0).

22

השיפוע — גוזרים, מציבים x0x_0 בנגזרת ומקבלים m=f′(x0)m = f'(x_0).

33

הישר — מציבים את שניהם ב-y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) ומפשטים.

הסדר בין שני השלבים הראשונים לא חשוב, אבל ההפרדה ביניהם כן: הגובה בא מ-ff, השיפוע מ-f′f'. ערבוב בין השתיים הוא הטעות שחוזרת הכי הרבה במבחנים.

משיק בנקודה נתונה

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 בנקודה שבה x0=3x_0 = 3.

f(3)=9−12+3=0\begin{aligned}f(3) &= 9 - 12 + 3 \\ &= 0\end{aligned}

נקודת ההשקה היא (3, 0)(3,\, 0)

f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4

גוזרים

m=f′(3)=6−4=2\begin{aligned}m &= f'(3) \\ &= 6 - 4 \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע — מספר

y−0=2(x−3)y - 0 = 2(x - 3)

מציבים שיפוע ונקודה

y=2x−6y = 2x - 6

משוואת המשיק

בדוגמה יצא y0=0y_0 = 0. האם זה אומר שגם השיפוע אפס?

להציג את התשובה והפתרון

לא. y0=0y_0 = 0 אומר רק שנקודת ההשקה יושבת על ציר ה-xx. השיפוע יצא 2, והוא מגיע מהנגזרת בלבד.

כשהגובה שלילי

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 בנקודה שבה x0=4x_0 = 4.

f(4)=16−24+5=−3\begin{aligned}f(4) &= 16 - 24 + 5 \\ &= -3\end{aligned}

נקודת ההשקה היא (4, −3)(4,\, -3)

f′(x)=2x−6f'(x) = 2x - 6

גוזרים

m=f′(4)=8−6=2\begin{aligned}m &= f'(4) \\ &= 8 - 6 \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

y−(−3)=2(x−4)y - (-3) = 2(x - 4)

שימו לב לסימן — מינוס על מינוס

y=2x−11y = 2x - 11

משוואת המשיק

משיק אופקי

ישר אופקי הוא ישר ששיפועו אפס. לכן משיק אופקי מתקבל בדיוק היכן ש-f′(x)=0f'(x) = 0 — וזו בדיוק נקודת הקיצון שכבר הכרנו. גם כאן חוזר אותו זוג: הנגזרת נותנת את ה-xx, והפונקציה נותנת את הגובה.

המשיק בנקודת הקיצון

מצאו את המשיק האופקי לגרף f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x.

f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4

גוזרים

2x−4=0⇒x=2\begin{aligned}2x - 4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

משיק אופקי — שיפוע אפס

f(2)=4−8=−4\begin{aligned}f(2) &= 4 - 8 \\ &= -4\end{aligned}

הגובה מהמקורית

y=−4y = -4

ישר אופקי דרך (2, −4)(2,\, -4)

שתי הטעויות של המשיק.

y0=f′(x0)y_0 = f'(x_0)
y0=f(x0)y_0 = f(x_0)

הגובה מגיע מהפונקציה המקורית. הנגזרת נותנת שיפוע, לא גובה.

m=f′(x)m = f'(x)
m=f′(x0)m = f'(x_0)

שיפוע חייב לצאת מספר. אם נשאר xx בתשובה — לא הצבתם את נקודת ההשקה.

תרגילים

תרגיל 1

מהו שיפוע המשיק לגרף f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה שבה x0=4x_0 = 4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

f′(x)=2xf'(x) = 2x

גוזרים

f′(4)=8f'(4) = 8

מציבים את x0x_0

השיפוע הוא ערך הנגזרת בנקודה — ולכן מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהי משוואת המשיק לגרף y=x2y = x^2 בנקודה (1, 1)(1,\, 1)?

  1. y=x−1y = x - 1
  2. y=2xy = 2x
  3. y=2x−1y = 2x - 1
  4. y=2x+1y = 2x + 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y=2x−1y = 2x - 1

הפתרון:

m=f′(1)=2\begin{aligned}m &= f'(1) \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע מהנגזרת

y−1=2(x−1)y - 1 = 2(x - 1)

שיפוע ונקודה

y=2x−1y = 2x - 1

מפשטים

בדיקה מהירה: הישר עובר ב-(1, 1)(1,\, 1), כי 2⋅1−1=12 \cdot 1 - 1 = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x. מהו ה-yy של נקודת ההשקה כאשר x0=2x_0 = 2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f(2)=8−4=4\begin{aligned}f(2) &= 8 - 4 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים במקורית

הגובה תמיד מגיע מ-ff, לעולם לא מ-f′f'.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותה פונקציה f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x — מהו שיפוע המשיק ב-x0=2x_0 = 2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

f′(x)=3x2−2f'(x) = 3x^2 - 2

גוזרים

f′(2)=12−2=10\begin{aligned}f'(2) &= 12 - 2 \\ &= 10\end{aligned}

מציבים

אותה נקודה, שתי הצבות שונות: ff לגובה, f′f' לשיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 ונקודת השקה שבה x0=4x_0 = 4. השלימו:

הגובה הוא f(4)=f(4) = ____, ושיפוע המשיק הוא f′(4)=f'(4) = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הגובה הוא f(4)=f(4) = -3, ושיפוע המשיק הוא f′(4)=f'(4) = 2

הפתרון:

f(4)=16−24+5=−3\begin{aligned}f(4) &= 16 - 24 + 5 \\ &= -3\end{aligned}

הגובה

f′(x)=2x−6⇒f′(4)=2\begin{aligned}f'(x) &= 2x - 6 \Rightarrow f'(4) \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

שני המספרים האלה הם בדיוק מה שצריך כדי לכתוב את הישר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מוצאים את המשיק ל-f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה שבה x0=3x_0 = 3. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

f′(x)=2xf'(x) = 2x
m=f′(3)=6\begin{aligned}m &= f'(3) \\ &= 6\end{aligned}
y0=f′(3)=6\begin{aligned}y_0 &= f'(3) \\ &= 6\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y0=f′(3)=6y_0 = f'(3) = 6 → y0=f(3)=9y_0 = f(3) = 9

הפתרון:

y0=f(3)=9\begin{aligned}y_0 &= f(3) \\ &= 9\end{aligned}

הגובה מהפונקציה

y−9=6(x−3)⇒y=6x−9\begin{aligned}y - 9 &= 6(x - 3) \Rightarrow y \\ &= 6x - 9\end{aligned}

המשיק הנכון

הנגזרת שימשה כבר לשיפוע. היא לא יכולה לשמש גם לגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

כדי לכתוב את משוואת המשיק מספיק לדעת את השיפוע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)

בנוסחה יש גם mm וגם (x0, y0)(x_0,\, y_0)

y=2x+cy = 2x + c

בלי נקודה, cc נשאר חופשי — אינסוף ישרים מקבילים

השיפוע קובע את הכיוון בלבד. הנקודה קובעת איזה מבין הישרים המקבילים זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

באיזה xx המשיק לגרף f(x)=x2−10xf(x) = x^2 - 10x הוא אופקי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

f′(x)=2x−10f'(x) = 2x - 10

גוזרים

2x−10=0⇒x=5\begin{aligned}2x - 10 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

אופקי פירושו שיפוע אפס

משיק אופקי ונקודת קיצון הם אותה נקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

המשיק לגרף f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה (3, 9)(3,\, 9) חותך את ציר ה-yy. מהו ה-yy של נקודת החיתוך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -9

הפתרון:

m=f′(3)=6\begin{aligned}m &= f'(3) \\ &= 6\end{aligned}

השיפוע

y−9=6(x−3)⇒y=6x−9\begin{aligned}y - 9 &= 6(x - 3) \Rightarrow y \\ &= 6x - 9\end{aligned}

משוואת המשיק

x=0⇒y=−9\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= -9\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-yy

אחרי שיש משוואה של ישר, ממשיכים איתה כמו עם כל ישר אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהי משוואת המשיק לגרף f(x)=x3f(x) = x^3 בנקודה שבה x0=1x_0 = 1?

  1. y=3x+1y = 3x + 1
  2. y=x+2y = x + 2
  3. y=3x−2y = 3x - 2
  4. y=3xy = 3x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y=3x−2y = 3x - 2

הפתרון:

f(1)=1f(1) = 1

הנקודה (1, 1)(1,\, 1)

f′(x)=3x2⇒m=3\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 \Rightarrow m \\ &= 3\end{aligned}

השיפוע

y−1=3(x−1)⇒y=3x−2\begin{aligned}y - 1 &= 3(x - 1) \Rightarrow y \\ &= 3x - 2\end{aligned}

מציבים ומפשטים

בדיקה: ב-x=1x = 1 הישר נותן 3−2=13 - 2 = 1, בדיוק גובה הגרף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה — שאלה 2

תרגיל 11

א. לגרף הפונקציה f(x)=x4−6xf(x)=x^4-6x יש משיק ששיפועו 2626. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת ההשקה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=4x3−6f'(x)=4x^3-6

גוזרים

4x3−6=26 ⇒ x3=8\begin{aligned}4x^3-6 &= 26 \ \Rightarrow \ x^3 \\ &= 8\end{aligned}

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת

x=2x=2

השורש השלישי של 88

נקודת ההשקה ב-x=2x=2. ל-x3=8x^3=8 יש פתרון אחד בלבד, ולכן יש משיק אחד בלבד בשיפוע הזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

א. לגרף הפונקציה f(x)=x4−6xf(x)=x^4-6x יש משיק ששיפועו 2626, ונקודת ההשקה שלו ב-x=2x=2. מצאו את משוואת המשיק.

y=y= ____ x+x+ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y= 26 x+x+ -48

הפתרון:

f(2)=16−12=4\begin{aligned}f(2) &= 16-12 \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה: (2, 4)(2,\,4) — מ-ff, לא מ-f′f'

y−4=26(x−2)y-4=26(x-2)

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

y=26x−48y=26x-48

פותחים סוגריים

משוואת המשיק: y=26x−48y=26x-48. בדיקה: 26⋅2−48=426 \cdot 2-48=4 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת