כלל המכפלה ופונקציה מורכבת · הנגזרת של פולינום · כיתה י׳

ניחוש טבעי: הנגזרת של מכפלה היא מכפלת הנגזרות. נבדוק על $x^2 \cdot x^3$ . לפי הניחוש: $2x \cdot 3x^2 = 6x^3$ . אבל $x^2 \cdot x^3 = x^5$ , והנגזרת שלה היא $5x^4$ . הניחוש נכשל, ולא בגלל טעות חישוב.

כלל המכפלה

(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

גוזרים את הראשון וכופלים בשני, ועוד הראשון כפול נגזרת השני

בדיקה על $x^2 \cdot x^3$ : $2x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2 = 2x^4 + 3x^4 = 5x^4$ . בדיוק הנגזרת של $x^5$ . הכלל עובד גם כשאפשר לפתוח סוגריים, וגם כשלא נוח.

מכפלה של שני פולינומים

גזרו: $f(x) = (x^2+1)(x^3-2x)$ .

f' = (x^2+1)' \cdot (x^3-2x) + (x^2+1) \cdot (x^3-2x)'

כלל המכפלה

= 2x(x^3-2x) + (x^2+1)(3x^2-2)

גוזרים כל גורם בנפרד

= 2x^4 - 4x^2 + 3x^4 - 2x^2 + 3x^2 - 2

פותחים סוגריים

f'(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2

מכנסים

(x^2+1)(x^3-2x) = x^5 - x^3 - 2x \ \Rightarrow \ 5x^4 - 3x^2 - 2 \ \checkmark

בדיקה: פותחים סוגריים לפני הגזירה ומקבלים אותו דבר

גזרו את $f(x) = x(x+3)$ בשתי דרכים: בכלל המכפלה, ואחרי פתיחת סוגריים.

להציג את התשובה והפתרון

כלל המכפלה: $1 \cdot (x+3) + x \cdot 1 = 2x+3$ . פתיחת סוגריים: $x^2+3x$ , והנגזרת $2x+3$ . אותה תשובה, וכך תמיד: שתי הדרכים חייבות להסכים.

כשאפשר לפתוח סוגריים בקלות, פתחו וגזרו איבר-איבר. כלל המכפלה נחוץ כשהפתיחה ארוכה, וכשגורם אחד הוא בעצמו חזקה של סוגריים, כמו $x^2(x-1)^3$ .

פונקציה בתוך פונקציה — שני שלבים

מהי הנגזרת של $(2x+1)^3$ ? אפשר לפתוח את הסוגריים, אבל $(2x+1)^{10}$ כבר אי אפשר. הפונקציה בנויה משתי שכבות: פנימית $2x+1$ , וחיצונית «בחזקת 3». גוזרים בשני שלבים, ולא יותר.

1: \quad 3(2x+1)^2

גוזרים את החיצונית כאילו הסוגריים הם $x$ : המעריך יורד ומכפיל, ומה שבפנים נשאר כמו שהוא.

2: \quad 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2

כופלים בנגזרת הפנימית. הנגזרת של $2x+1$ היא $2$ .

\begin{aligned}\big((ax+b)^n\big)' &= n(ax+b)^{n-1} \cdot a \qquad \big(g(x)^n\big)' \\ &= n \cdot g(x)^{n-1} \cdot g'(x)\end{aligned}

החיצונית נגזרת ראשונה, ואז כופלים בנגזרת של מה שבפנים

\begin{aligned}\big((3x-2)^4\big)' &= 4(3x-2)^3 \cdot 3 \\ &= 12(3x-2)^3\end{aligned}

פנימית ממעלה ראשונה: כופלים במקדם של $x$

\begin{aligned}\big((5-x)^2\big)' &= 2(5-x) \cdot (-1) \\ &= -2(5-x)\end{aligned}

הנגזרת הפנימית היא $-1$ , והסימן משתנה

\begin{aligned}\big((x^2-1)^3\big)' &= 3(x^2-1)^2 \cdot 2x \\ &= 6x(x^2-1)^2\end{aligned}

פנימית ריבועית: הנגזרת הפנימית היא $2x$ , והיא נכנסת למכפלה

נגזרת של חזקה של סוגריים, ושיפוע בנקודה

נתונה $f(x) = (x^2-4x)^3$ . מצאו את $f'(x)$ ואת שיפוע המשיק בנקודה שבה $x=1$ .

f'(x) = 3(x^2-4x)^2 \cdot (2x-4)

החיצונית: $3(\ldots)^2$ ; הפנימית: $2x-4$

\begin{aligned}x &= 1: \quad 1-4 \\ &= -3 \\ \quad 2-4 &= -2\end{aligned}

מציבים בפנימית ובנגזרתה

\begin{aligned}f'(1) &= 3 \cdot (-3)^2 \cdot (-2) \\ &= 3 \cdot 9 \cdot (-2) \\ &= -54\end{aligned}

שיפוע המשיק ב- $x=1$

מהי הנגזרת של $f(x) = (x^3+1)^2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$2(x^3+1) \cdot 3x^2 = 6x^2(x^3+1)$ . בדיקה בפתיחת סוגריים: $x^6+2x^3+1$ , והנגזרת $6x^5+6x^2 = 6x^2(x^3+1)$ ✓.

למה $\big((2x+1)^3\big)'$ אינו $3(2x+1)^2$ בלבד?

להציג את התשובה והפתרון

כי בפנים לא יושב $x$ אלא $2x+1$ , שמשתנה פי 2 מהר יותר מ- $x$ . השלב השני, הכפל ב- $2$ , הוא מה שמתקן את זה. בדיקה על $(2x+1)^2 = 4x^2+4x+1$ : הנגזרת $8x+4 = 4(2x+1)$ , ולא $2(2x+1)$ .

שלוש הטעויות של הפרק.

(x^2 \cdot x^3)' = 2x \cdot 3x^2

\begin{aligned}(x^2 \cdot x^3)' &= 2x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2 \\ &= 5x^4\end{aligned}

מכפלת הנגזרות אינה נגזרת המכפלה. בדיקה: $x^5$ נותנת $5x^4$ , לא $6x^3$ .

\big((2x+1)^3\big)' = 3(2x+1)^2

\big((2x+1)^3\big)' = 3(2x+1)^2 \cdot 2

שכחו את השלב השני: הכפל בנגזרת הפנימית.

\big((x^2-1)^3\big)' = 3(2x)^2

\big((x^2-1)^3\big)' = 3(x^2-1)^2 \cdot 2x

גזרו את הפנימית בתוך הסוגריים. בשלב הראשון מה שבפנים נשאר כמו שהוא; הנגזרת הפנימית מכפילה מבחוץ.

תרגילים

תרגיל 1

גזרו בעזרת כלל המכפלה: $f(x) = x^2(x+1)$

$3x^2 + 2x$
$2x \cdot 1$
$2x$
$3x^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $3x^2 + 2x$

הפתרון:

f' = 2x \cdot (x+1) + x^2 \cdot 1

כלל המכפלה

= 2x^2 + 2x + x^2 = 3x^2 + 2x

פותחים ומכנסים

x^3 + x^2 \ \Rightarrow \ 3x^2 + 2x \ \checkmark

בדיקה בפתיחת סוגריים

הנכונה: $3x^2 + 2x$ . $2x \cdot 1$ הוא מכפלת הנגזרות, הניחוש שנכשל. $3x^2$ שוכח את האיבר השני של הכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x) = (x+2)(x^2-3)$ . חשבו את $f'(1)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f'(x) = 1 \cdot (x^2-3) + (x+2) \cdot 2x

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(1) &= (1-3) + 3 \cdot 2 \\ &= -2 + 6 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים $x=1$ בלי לפתוח סוגריים

\begin{aligned}f(x) &= x^3 + 2x^2 - 3x - 6 \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 3 + 4 - 3 \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

אחרי הגזירה אפשר להציב מיד, בלי לפשט: $(-2) + 6 = 4$ . הפישוט הוא רק בדיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

גזרו: $f(x) = (3x+1)^4$

$4(3x+1)^3$
$12(3x+1)^3$
$12(3x+1)^4$
$4 \cdot 3^3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $12(3x+1)^3$

הפתרון:

4(3x+1)^3

שלב 1: החיצונית, הסוגריים נשארים

4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3

שלב 2: כופלים בנגזרת הפנימית $3$

הנכונה: $12(3x+1)^3$ . $4(3x+1)^3$ שוכח את השלב השני. $12(3x+1)^4$ לא הוריד את המעריך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x) = (2x-5)^3$ . מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 3(2x-5)^2 \cdot 2 \\ &= 6(2x-5)^2\end{aligned}

שני השלבים

\begin{aligned}f'(3) &= 6 \cdot (6-5)^2 \\ &= 6 \cdot 1 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים

בלי הכפל ב- $2$ מקבלים $3$ : חצי מהשיפוע האמיתי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

גזרו: $f(x) = (x^2-1)^3$

$6x(x^2-1)^3$
$3(2x)^2$
$6x(x^2-1)^2$
$3(x^2-1)^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $6x(x^2-1)^2$

הפתרון:

3(x^2-1)^2

שלב 1: החיצונית

3(x^2-1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2-1)^2

שלב 2: הנגזרת הפנימית $2x$ מכפילה

הנכונה: $6x(x^2-1)^2$ . $3(x^2-1)^2$ בלי הפנימית; $3(2x)^2$ גזר את הפנימית בתוך הסוגריים; $6x(x^2-1)^3$ לא הוריד את המעריך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה $f(x) = (x^2+3)^2$ . חשבו את $f'(1)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2(x^2+3) \cdot 2x \\ &= 4x(x^2+3)\end{aligned}

שני השלבים

\begin{aligned}f'(1) &= 4 \cdot 1 \cdot 4 \\ &= 16\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}f(x) &= x^4 + 6x^2 + 9 \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 4 + 12 \\ &= 16 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה בפתיחת סוגריים

כאן אפשר גם לפתוח סוגריים, ושתי הדרכים נותנות $16$ . מי שקיבל $8$ שכח את הכפל ב- $2x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

גוזרים את $f(x) = x^3(x-2)$ בכלל המכפלה. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

f(x) = x^3(x-2)

f'(x) = 3x^2 \cdot 1

f'(x) = 3x^2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $f'(x) = 3x^2 \cdot 1$ → $f'(x) = 3x^2(x-2) + x^3 \cdot 1$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2(x-2) + x^3 \\ &= 4x^3 - 6x^2\end{aligned}

כלל המכפלה, ואז פישוט

\begin{aligned}f(x) &= x^4 - 2x^3 \ \Rightarrow \ f'(x) \\ &= 4x^3 - 6x^2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

השורה השנייה כפלה נגזרת בנגזרת. הכלל הוא סכום של שתי מכפלות: כל פעם גוזרים גורם אחד בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: הנגזרת של $f(x) = (x^2+1)^2$ היא $2(x^2+1)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2(x^2+1) \cdot 2x \\ &= 4x(x^2+1)\end{aligned}

שני השלבים

\begin{aligned}f(x) &= x^4 + 2x^2 + 1 \ \Rightarrow \ f'(x) \\ &= 4x^3 + 4x \\ &= 4x(x^2+1)\end{aligned}

בדיקה בפתיחת סוגריים

הטענה לא נכונה. $2(x^2+1)$ הוא רק השלב הראשון. הנגזרת הפנימית $2x$ חסרה, ובלעדיה התוצאה שגויה בכל $x \ne \frac{1}{2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה $f(x) = (x^2-2x)^3$ . השלימו.

$f(3)=$ ____ , $f'(3)=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $f(3)=$ 27 , $f'(3)=$ 108

הפתרון:

\begin{aligned}f(3) &= (9-6)^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27\end{aligned}

הגובה, מהפונקציה

f'(x) = 3(x^2-2x)^2 \cdot (2x-2)

שני השלבים

\begin{aligned}f'(3) &= 3 \cdot 3^2 \cdot 4 \\ &= 108\end{aligned}

$9-6=3$ ו- $6-2=4$

שני מספרים שונים מאותה נקודה: $27$ הוא הגובה, $108$ הוא השיפוע. ומי שקיבל $27$ גם בשיפוע שכח לכפול ב- $2x-2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה $f(x) = (x-1)(x^2+2)$ . מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

f'(x) = 1 \cdot (x^2+2) + (x-1) \cdot 2x

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(2) &= 6 + 1 \cdot 4 \\ &= 10\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}f(x) &= x^3 - x^2 + 2x - 2 \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 12 - 4 + 2 \\ &= 10 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

שיפוע המשיק הוא $f'(2)$ , לא $f(2) = 6$ . הגובה $6$ ישמש רק כשיבקשו את משוואת המשיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev