מבוא לחשבון דיפרנציאלי

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

לישר יש שיפוע אחד לכל אורכו. לעקומה — שיפוע שונה בכל נקודה. הנגזרת היא הכלי שנותן את השיפוע הזה.

מבחינה גרפית: הנגזרת בנקודה היא שיפוע המשיק לגרף באותה נקודה — הישר שעובר באותה נקודה ובאותו כיוון כמו הגרף. הוא יכול גם לחצות את הגרף: המשיק ל-y=x3y = x^3 בנקודה (0, 0)(0,\,0) עושה זאת.

כללי הגזירה

(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

הכלל המרכזי — המעריך יורד ומכפיל.

(c)′=0(c)' = 0

נגזרת של מספר קבוע היא אפס — קו אופקי, שיפוע אפס.

(cx)′=c(cx)' = c

נגזרת של cxcx היא cc — זהו שיפוע הישר.

(f+g)′=f′+g′(f−g)′=f′−g′\begin{aligned}(f + g)' &= f' + g' \\ \quad (f - g)' &= f' - g'\end{aligned}

סכום והפרש: גוזרים איבר-איבר, והסימן שבין האיברים נשאר.

(c⋅f)′=c⋅f′(c \cdot f)' = c \cdot f'

מקדם קבוע נשאר במקומו ומכפיל את הנגזרת: (4x3)′=4⋅3x2=12x2(4x^3)' = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2.

(x)′=1(x0)′=(1)′=0\begin{aligned}(x)' &= 1 \\ \quad (x^0)' &= (1)' \\ &= 0\end{aligned}

שני קצוות של אותו כלל: x=x1x = x^1 נותן 1⋅x0=11 \cdot x^0 = 1, וקבוע נותן אפס.

מהי הנגזרת של f(x)=x4−xf(x) = x^4 - x?

להציג את התשובה והפתרון

f′(x)=4x3−1f'(x) = 4x^3 - 1. ההפרש נשאר הפרש, ו-(x)′=1(x)' = 1: הנגזרת של −x-x היא −1-1, לא אפס.

גזירה בסיסית

גזרו: f(x)=x3−4x2+5x−7f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 7.

(x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2

המעריך 3 יורד ומכפיל

(−4x2)′=−8x(-4x^2)' = -8x

ו-2 מכפיל את 4−

(5x)′=5(5x)' = 5

שיפוע קבוע

(−7)′=0(-7)' = 0

קבוע נעלם

f′(x)=3x2−8x+5f'(x) = 3x^2 - 8x + 5

הנגזרת

מקדם, חזקה גבוהה והפרש

גזרו: f(x)=2x5−3x2+x−8f(x) = 2x^5 - 3x^2 + x - 8.

(2x5)′=2⋅5x4=10x4\begin{aligned}(2x^5)' &= 2 \cdot 5x^4 \\ &= 10x^4\end{aligned}

המקדם 22 נשאר, המעריך 55 יורד ומכפיל

(−3x2)′=−6x(-3x^2)' = -6x

הסימן נשאר עם האיבר

(x)′=1(−8)′=0\begin{aligned}(x)' &= 1 \\ \quad (-8)' &= 0\end{aligned}

xx הוא x1x^1; הקבוע נעלם

f′(x)=10x4−6x+1f'(x) = 10x^4 - 6x + 1

מחברים את ארבע הנגזרות באותו סדר

למה זה שימושי — נקודות קיצון

במקסימום או במינימום הגרף לרגע אחד לא עולה ולא יורד — כלומר המשיק אופקי, והשיפוע אפס.

f′(x)=0f'(x) = 0

לכן כדי למצוא נקודות קיצון: גוזרים, משווים לאפס, פותרים — ומציבים בפונקציה המקורית כדי לקבל את הגובה.

להבחין בין מקסימום למינימום: בודקים את סימן הנגזרת משני צדי הנקודה. מפלוס למינוס — מקסימום. ממינוס לפלוס — מינימום.

נקודת קיצון

מצאו את נקודת הקיצון של f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5.

f′(x)=2x−6f'(x) = 2x - 6

גוזרים

2x−6=0⇒x=3\begin{aligned}2x - 6 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

משווים לאפס

f(3)=9−18+5=−4\begin{aligned}f(3) &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים במקורית

(3, −4) מינימום(3,\, -4) \ \text{מינימום}

כי a>0a > 0

שתי הטעויות של הנגזרת.

(x3)′=3x3(x^3)' = 3x^3
3x23x^2

המעריך יורד באחד אחרי שהוא מכפיל.

y0=f′(3)y_0 = f'(3)
y0=f(3)y_0 = f(3)

הגובה מגיע מהפונקציה המקורית. הנגזרת בקיצון שווה אפס תמיד.

מהי הנגזרת של f(x)=5x4f(x) = 5x^4?

להציג את התשובה והפתרון

f′(x)=20x3f'(x) = 20x^3 — מורידים את המעריך למקדם ומחסרים 1. נגזרת של קבוע היא אפס.

מה המשמעות הגאומטרית של f′(a)f'(a)?

להציג את התשובה והפתרון

שיפוע המשיק לגרף בנקודה x=ax = a. זו כל הסיבה שהנגזרת מוצאת קיצון: בקיצון המשיק אופקי.

תרגילים

תרגיל 1

גזרו: f(x)=x3f(x) = x^3

  1. 3x3x
  2. x2x^2
  3. 3x23x^2
  4. 3x33x^3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 3x23x^2

הפתרון:

nxn−1n x^{n-1}

הכלל

3x23x^2

המעריך יורד אחרי שהכפיל

שני שלבים: מכפיל, ואז יורד באחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

גזרו: f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5

  1. 2x−6x2x - 6x
  2. 2x−62x - 6
  3. x−6x - 6
  4. 2x−6+52x - 6 + 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 2x−62x - 6

הפתרון:

(x2)′=2x(x^2)' = 2x

ראשון

(−6x)′=−6(-6x)' = -6

שני

(5)′=0(5)' = 0

הקבוע נעלם

גוזרים איבר-איבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו ה-xx של נקודת הקיצון של f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2x−6=02x - 6 = 0

משווים נגזרת לאפס

x=3x = 3

פותרים

בקיצון המשיק אופקי — שיפוע אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותה פונקציה — מהו ה-yy של נקודת הקיצון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

f(3)=9−18+5=−4\begin{aligned}f(3) &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים במקורית

הנגזרת בקיצון שווה אפס — היא לא נותנת את הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

גזרו f(x)=5x+12f(x) = 5x + 12 ומצאו את f′(2)f'(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

f′(x)=5f'(x) = 5

נגזרת של ישר היא השיפוע

f′(2)=5f'(2) = 5

קבועה בכל נקודה

לישר אותו שיפוע בכל מקום — ולכן הנגזרת קבועה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהי הנגזרת של f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה x=3x = 3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

f′(x)=2x  ⇒  f′(3)=6\begin{aligned}f'(x) &= 2x \;\Rightarrow\; f'(3) \\ &= 6\end{aligned}

גוזרים — ואז מציבים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

גזרו: (3x2)(3x^2) בגרש =

____x.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6x.

הפתרון:

(3x2)′=6x(3x^2)' = 6x

המקדם נשאר, המעריך יורד

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהו שיפוע המשיק לגרף y=x2−4xy = x^2 - 4x בנקודה שבה x=3x = 3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

y′=2x−4  ⇒  y′(3)=2\begin{aligned}y' &= 2x - 4 \;\Rightarrow\; y'(3) \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע המשיק — ערך הנגזרת

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

גזירה עם שגיאה — מצאו את השורה:

f(x)=x3f(x) = x^3
f′(x)=3x3f'(x) = 3x^3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f′(x)=3x3f'(x) = 3x^3 → f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2

הפתרון:

(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}

המעריך יורד באחד

המעריך יורד מקדימה ויורד באחד: משלוש לשתיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהי הנגזרת של פונקציה קבועה, כמו f(x)=7f(x) = 7?

  1. 7
  2. 1
  3. 7x7x
  4. 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 0

הפתרון:

(7)′=0(7)' = 0

קבוע לא משתנה — קצב אפס

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת