הגובה של הגרף בנקודה שבה x=a

משוואת המשיק בנקודה שבה x=a

שיפוע המיתר בין x=0 ל-x=a

קצב שינוי — מהמיתר אל המשיק · הנגזרת של פולינום · כיתה י׳

אוטובוס בכביש 6 נוסע במהירות קבועה: בכל שעה הוא מתקדם 90 ק"מ, ולא משנה באיזו שעה מסתכלים. מכונית שיוצאת מרמזור מאיצה: בשנייה הראשונה היא מתקדמת מעט, בשנייה השלישית הרבה יותר. לשני הסיפורים יש גרף, ושני הגרפים נראים אחרת.

ישר: אותה מדרגה בכל צעד

הגרף של

y=2x+1

. כל צעד של

1

ימינה מעלה את הגרף ב-

2

, תמיד. זה השיפוע של הישר, והוא אותו מספר בכל מקום.

עקומה: המדרגות גדלות

הגרף של

y=x^2

. אותם צעדים של

1

ימינה, אבל המדרגות הן

1

3

5

7

: קצב השינוי משתנה מנקודה לנקודה. לעקומה אין שיפוע אחד.

בגרף של $y=x^2$ , כמה תעלה המדרגה בין $x=4$ ל- $x=5$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$25-16=9$ . המדרגות הן המספרים האי-זוגיים: $1,3,5,7,9$ . הגרף עולה מהר יותר ויותר.

קצב שינוי ממוצע — שיפוע המיתר

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

קצב השינוי הממוצע של $f$ בקטע מ- $a$ עד $b$

לוקחים שתי נקודות על הגרף, $A=(a,\,f(a))$ ו- $B=(b,\,f(b))$ , ומחשבים את שיפוע הישר שעובר דרכן. הישר הזה נקרא מיתר, והשיפוע שלו הוא קצב השינוי הממוצע בקטע. על ישר המספר הזה קבוע; על עקומה הוא תלוי בקטע שבחרנו.

קצב שינוי ממוצע של $x^2$

חשבו את קצב השינוי הממוצע של $f(x)=x^2$ בקטע מ- $x=1$ עד $x=3$ .

\begin{aligned}f(1) &= 1 \\ \quad f(3) &= 9\end{aligned}

הגבהים בשני הקצוות

\begin{aligned}\frac{9-1}{3-1} &= \frac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

שיפוע המיתר בין $(1,\,1)$ ל- $(3,\,9)$

ומהו קצב השינוי הממוצע של $f(x)=x^2$ בקטע מ- $x=0$ עד $x=2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{4-0}{2-0}=2$ . קטע אחר, מספר אחר. זה ההבדל מישר, שבו כל קטע נותן אותו שיפוע.

מהמיתר אל המשיק — הנגזרת בנקודה

ומה אם רוצים את הקצב בנקודה אחת, לא בקטע? משאירים את $A$ במקומה ומקרבים אליה את $B$ . המיתר נעשה קצר יותר ויותר, והשיפוע שלו מתקרב למספר אחד. הישר שאליו המיתר «מתיישר» נקרא משיק, והמספר הזה הוא הנגזרת של $f$ בנקודה $a$ , ומסמנים אותו $f'(a)$ .

h \to 0 \ \Rightarrow \ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \to f'(a)

ההגדרה. כש- $h$ שואף לאפס, שיפוע המיתר שואף למספר אחד, וזו הנגזרת.

f'(a) = m

המשמעות הגאומטרית. $f'(a)$ הוא שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=a$ .

f'(a) > 0 ,\quad f'(a) < 0

הסימן. נגזרת חיובית: הגרף עולה שם. נגזרת שלילית: הגרף יורד שם.

הנגזרת של $x^2$ בנקודה $x=3$ , בלי שום כלל

מצאו את $f'(3)$ עבור $f(x)=x^2$ מתוך שיפוע המיתר.

\begin{aligned}A &= (3,\,9) \\ \quad B &= (3+h,\,(3+h)^2)\end{aligned}

נקודה קבועה ונקודה קרובה

\begin{aligned}\frac{(3+h)^2-9}{h} &= \frac{9+6h+h^2-9}{h} \\ &= \frac{6h+h^2}{h}\end{aligned}

שיפוע המיתר, לפי נוסחת הכפל המקוצר

=6+h \ \xrightarrow{\ h \to 0\ } \ 6

ככל ש- $h$ קטן, השיפוע מתקרב ל- $6$

f'(3)=6

שיפוע המשיק בנקודה $(3,\,9)$

לפי אותו חישוב, למה שווה $f'(a)$ עבור $f(x)=x^2$ בנקודה כללית $a$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h \to 2a$ . לכן $f'(a)=2a$ : ב- $x=1$ זה $2$ , ב- $x=3$ זה $6$ . בשיעור הבא זה יהפוך לכלל.

שלוש מילים, שלושה דברים שונים: מיתר עובר דרך שתי נקודות על הגרף. משיק נוגע בגרף בנקודה אחת. נגזרת היא מספר: שיפוע המשיק.

שתי הטעויות של ההתחלה.

f'(2) = \frac{f(3)-f(1)}{3-1}

\frac{f(2+h)-f(2)}{h} \to f'(2)

שיפוע של מיתר הוא קצב ממוצע בקטע. הנגזרת היא מה שהשיפוע הזה מתקרב אליו כשהקטע מתכווץ. ב- $x^2$ הם יוצאים שווים במקרה; בפונקציה אחרת לא.

\begin{aligned}f'(3) &= y \\ &= 6x - 9\end{aligned}

f'(3) = 6

הנגזרת בנקודה היא מספר, השיפוע. המשיק הוא ישר, והמשוואה שלו תגיע בשיעור נפרד.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x)=3x-2$ . מהו קצב השינוי הממוצע של $f$ בקטע מ- $x=1$ עד $x=5$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}f(1) &= 1 \\ \quad f(5) &= 13\end{aligned}

הגבהים בקצוות

\begin{aligned}\frac{13-1}{5-1} &= \frac{12}{4} \\ &= 3\end{aligned}

שיפוע המיתר

על ישר קצב השינוי הוא השיפוע, $3$ , בכל קטע שנבחר. אין צורך לחשב, אבל החישוב מאשר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=x^2$ . מהו קצב השינוי הממוצע של $f$ בקטע מ- $x=2$ עד $x=4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}f(2) &= 4 \\ \quad f(4) &= 16\end{aligned}

הגבהים בקצוות

\begin{aligned}\frac{16-4}{4-2} &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

שיפוע המיתר

מי שמחשב $\frac{16}{4}=4$ חילק גובה במיקום. מחלקים הפרש גבהים בהפרש מיקומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון הישר $y=-2x+7$ . מהו קצב השינוי שלו בקטע מ- $x=1$ עד $x=10$ ?

תלוי בנקודות שבוחרים
$-2$
$2$
$7$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $-2$

הפתרון:

\begin{aligned}f(1) &= 5 \\ \quad f(10) &= -13\end{aligned}

הגבהים

\begin{aligned}\frac{-13-5}{10-1} &= \frac{-18}{9} \\ &= -2\end{aligned}

שיפוע המיתר: השיפוע של הישר

הנכונה: $-2$ . על ישר הקצב אינו תלוי בנקודות. $7$ הוא הגובה ב- $x=0$ , לא קצב. $2$ שוכח את הסימן: הישר יורד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=x^2+1$ . מהו קצב השינוי הממוצע של $f$ בקטע מ- $x=0$ עד $x=3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}f(0) &= 1 \\ \quad f(3) &= 10\end{aligned}

הגבהים בקצוות

\frac{10-1}{3-0}=3

שיפוע המיתר

ה- $+1$ מרים את כל הגרף, אבל לא משנה את השיפוע: הוא מתבטל בהפרש $f(3)-f(0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=x^2$ . שיפוע המיתר בין $A=(2,\,4)$ לבין $B=(2+h,\,(2+h)^2)$ שווה ל- $4+h$ . השלימו.

כאשר $h$ שואף לאפס, השיפוע שואף ל- ____ ; לכן $f'(2)=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כאשר $h$ שואף לאפס, השיפוע שואף ל- 4 ; לכן $f'(2)=$ 4

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{(2+h)^2-4}{h} &= \frac{4h+h^2}{h} \\ &= 4+h\end{aligned}

שיפוע המיתר

4+h \to 4

$h$ קטן, והתוספת נעלמת

f'(2)=4

שיפוע המשיק ב- $(2,\,4)$

$4+h$ הוא שיפוע של מיתר, ומשתנה עם $h$ . $4$ הוא המספר האחד שהמיתרים מתקרבים אליו: הנגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: קצב השינוי הממוצע של $f(x)=x^2$ בקטע מ- $x=1$ עד $x=3$ שווה בדיוק ל- $f'(2)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\frac{9-1}{3-1}=4

שיפוע המיתר

\begin{aligned}f'(2) &= 2 \cdot 2 \\ &= 4\end{aligned}

הנגזרת באמצע הקטע, לפי $f'(a)=2a$

הטענה נכונה. בפרבולה שיפוע המיתר שווה לנגזרת באמצע הקטע. זו תכונה של $x^2$ דווקא, לא כלל כללי: לא להסיק ממנה שמיתר ונגזרת הם אותו דבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הגרף של f(x) = x² − 2x

בשרטוט: הגרף של $f(x)=x^2-2x$ ושלוש נקודות עליו. באיזו נקודה הנגזרת שלילית?

בנקודה $A$
בנקודה $C$
בנקודה $B$
באף אחת מהן

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א בנקודה $A$

הפתרון:

A: \ f'(-1)<0

משמאל לקודקוד הגרף יורד, והמשיק יורד

B: \ f'(1)=0

בקודקוד המשיק אופקי

C: \ f'(3)>0

מימין לקודקוד הגרף עולה

הנכונה: בנקודה $A$ . הנגזרת שלילית איפה שהגרף יורד, לא איפה שהגרף מתחת לציר: ב- $B$ הגובה שלילי, אבל המשיק אופקי והנגזרת אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מכונית יוצאת מרמזור. המרחק שעברה, במטרים, אחרי $t$ שניות הוא $s(t)=t^2$ . מהי המהירות הממוצעת שלה, במטרים לשנייה, בין $t=2$ ל- $t=5$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

\begin{aligned}s(2) &= 4 \\ \quad s(5) &= 25\end{aligned}

המרחק בשני הרגעים

\begin{aligned}\frac{25-4}{5-2} &= \frac{21}{3} \\ &= 7\end{aligned}

מרחק חלקי זמן: קצב השינוי הממוצע

מהירות ממוצעת היא שיפוע המיתר של גרף המרחק. המהירות ברגע $t=2$ היא $s'(2)=4$ , וברגע $t=5$ היא $10$ : הממוצע $7$ נמצא ביניהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הגרף של $f(x)=x^2$ יורד משמאל לקודקוד $(0,\,0)$ ועולה מימינו. מיינו את הנקודות לפי סימן הנגזרת.

הנגזרת חיובית
הנגזרת שלילית

$x=-0.5$
$x=-2$
$x=0.5$
$x=3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=3$ — הנגזרת חיובית · $x=-2$ — הנגזרת שלילית · $x=0.5$ — הנגזרת חיובית · $x=-0.5$ — הנגזרת שלילית

הפתרון:

x>0 \ \Rightarrow \ f'(x)=2x>0

מימין לקודקוד הגרף עולה

x<0 \ \Rightarrow \ f'(x)=2x<0

משמאל לקודקוד הגרף יורד

הסימן של הנגזרת אומר לאן הגרף הולך, לא איפה הוא נמצא: ב- $x=-2$ הגובה $4$ חיובי, אבל הגרף יורד שם, והנגזרת שלילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהו $f'(a)$ ?

הגובה של הגרף בנקודה שבה $x=a$
משוואת המשיק בנקודה שבה $x=a$
שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=a$
שיפוע המיתר בין $x=0$ ל- $x=a$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=a$

הפתרון:

f(a) \ne f'(a)

הגובה בא מ- $f$ , השיפוע מ- $f'$

\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \to f'(a)

המיתר מתכווץ סביב $a$ , לא מתחיל ב- $0$

הנכונה: שיפוע המשיק בנקודה שבה $x=a$ . הנגזרת היא מספר, לא משוואה של ישר: המשיק הוא הישר, והנגזרת היא השיפוע שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

קצב שינוי ממוצע — שיפוע המיתר

מהמיתר אל המשיק — הנגזרת בנקודה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev