סדרה 5 — לקראת הבגרות · גאומטריה אנליטית — נקודות, קטעים וישרים · כיתה י׳

שתי שאלות בנוסח הבגרות, חמישה סעיפים כל אחת: משולש עם גובה ושטח, ומקבילית עם אלכסונים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, וכולם על אותם נתונים.

כתבו כל סעיף כמו בבחינה: שם הכלי, החישוב, והבדיקה. ושמרו תשובות מדויקות, $2\sqrt{5}$ ולא $4.47$ : הסעיף הבא ישתמש בהן.

תרגילים

תרגיל 1

נתון המשולש $ABC$ : $A(-2,\,-1)$ , $B(6,\,3)$ , $C(0,\,5)$ . א. מצאו את משוואת הישר $AB$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 0.5 $x +$ 0

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3 - (-1)}{6 - (-2)} \\ &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y - 3 &= \frac{1}{2}(x - 6) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{2}x\end{aligned}

שיפוע ונקודה, עם $B$

\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1

בדיקה עם $A$ ✓

$b = 0$ : הישר עובר דרך הראשית. $\frac{1}{2} = 0.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון המשולש $ABC$ : $A(-2,\,-1)$ , $B(6,\,3)$ , $C(0,\,5)$ . ב. מצאו את משוואת הגובה מ- $C$ לצלע $AB$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -2 $x +$ 5

הפתרון:

m_{\perp} = -2

הופכי ונגדי ל- $\frac{1}{2}$

\begin{aligned}y - 5 &= -2(x - 0) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 5\end{aligned}

דרך $C$ , שנמצא על ציר ה- $y$

כש- $C$ על ציר ה- $y$ , $b$ הוא בדיוק $y_C$ . עדיין כדאי לכתוב את הצעד: זה מקרה מיוחד, לא כלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון המשולש $ABC$ : $A(-2,\,-1)$ , $B(6,\,3)$ , $C(0,\,5)$ . ג. מצאו את $D$ , נקודת החיתוך של הגובה מ- $C$ עם הצלע $AB$ .

$D($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D($ 2 $,$ 1 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{1}{2}x &= -2x + 5 \ \Rightarrow \ \frac{5}{2}x \\ &= 5 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

משווים את שני הישרים

\begin{aligned}y &= \frac{1}{2} \cdot 2 \\ &= 1\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}M_{AB} &= \left( \frac{-2+6}{2},\ \frac{-1+3}{2} \right) \\ &= (2,\,1)\end{aligned}

שימו לב: $D$ הוא גם אמצע $AB$

הגובה נפל על האמצע, ולכן המשולש שווה שוקיים: $CA = CB = \sqrt{40}$ . זה לא מקרה, זו תכונת הגובה לבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון המשולש $ABC$ : $A(-2,\,-1)$ , $B(6,\,3)$ , $C(0,\,5)$ . ד. חשבו את אורך הגובה $CD$ , כאשר $D(2,\,1)$ . תנו תשובה מדויקת.

$2\sqrt{5}$
$4\sqrt{5}$
$20$
$\sqrt{10}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $2\sqrt{5}$

הפתרון:

\begin{aligned}CD &= \sqrt{(2-0)^2 + (1-5)^2} \\ &= \sqrt{4 + 16} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}\sqrt{20} &= \sqrt{4 \cdot 5} \\ &= 2\sqrt{5}\end{aligned}

מצמצמים את השורש

התשובה: $2\sqrt{5}$ . $20$ הוא ריבוע האורך. $4\sqrt{5}$ הוא אורך $AB$ : $\sqrt{80}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון המשולש $ABC$ : $A(-2,\,-1)$ , $B(6,\,3)$ , $C(0,\,5)$ . ה. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{80} \\ &= 4\sqrt{5}\end{aligned}

הבסיס

CD = 2\sqrt{5}

הגובה, מסעיף ד

\begin{aligned}S &= \frac{4\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{2} \\ &= \frac{8 \cdot 5}{2} \\ &= 20\end{aligned}

$\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$

שני שורשים לא שלמים, ומכפלתם מספר שלם. זו הסיבה לשמור תשובות מדויקות עד הסוף: $4.47 \cdot 2.24$ היה נותן שגיאת עיגול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$ABCD$ מקבילית: $A(0,\,1)$ , $B(6,\,3)$ , $C(8,\,7)$ . א. מצאו את הקודקוד $D$ .

$D($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D($ 2 $,$ 5 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AC} &= \left( \frac{0+8}{2},\ \frac{1+7}{2} \right) \\ &= (4,\,4)\end{aligned}

אמצע האלכסון $AC$

\begin{aligned}x_D &= 8 - 6 \\ &= 2 \\ \quad y_D &= 8 - 3 \\ &= 5\end{aligned}

הקצה השני של $BD$

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1}{3} \\ \quad m_{DC} &= \frac{7 - 5}{8 - 2} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

בדיקה: $AB \parallel DC$ ✓

$D$ מול $B$ : משתמשים באלכסון $BD$ , לא ב- $AD$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$ABCD$ מקבילית: $A(0,\,1)$ , $B(6,\,3)$ , $C(8,\,7)$ . ב. $D(2,\,5)$ . מצאו את משוואת האלכסון $BD$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -0.5 $x +$ 6

הפתרון:

\begin{aligned}m_{BD} &= \frac{5 - 3}{2 - 6} \\ &= \frac{2}{-4} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y - 3 &= -\frac{1}{2}(x - 6) \ \Rightarrow \ y \\ &= -\frac{1}{2}x + 6\end{aligned}

דרך $B$

-\frac{1}{2} \cdot 2 + 6 = 5

בדיקה עם $D$ ✓

$-\frac{1}{2} = -0.5$ . האלכסון יורד: $D$ גבוה מ- $B$ ומשמאלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$ABCD$ מקבילית: $A(0,\,1)$ , $B(6,\,3)$ , $C(8,\,7)$ . ג. מצאו את $E$ , נקודת המפגש של האלכסונים $AC$ ו- $BD$ .

$E($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $E($ 4 $,$ 4 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}E &= M_{AC} \\ &= (4,\,4)\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה: $E$ הוא אמצע $AC$

-\frac{1}{2} \cdot 4 + 6 = 4

בדיקה: $E$ על $BD$ ✓

אין צורך לחתוך שתי משוואות: במקבילית מפגש האלכסונים הוא האמצע של כל אחד מהם. כבר חישבנו אותו בסעיף א.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$ABCD$ מקבילית: $A(0,\,1)$ , $B(6,\,3)$ , $C(8,\,7)$ . ד. $D(2,\,5)$ . איזה מרובע הוא $ABCD$ ?

מקבילית שאינה מלבן ואינה מעוין
מעוין
מלבן
ריבוע

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מקבילית שאינה מלבן ואינה מעוין

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1}{3} \\ \quad m_{AD} &= \frac{5 - 1}{2 - 0} \\ &= 2 \\ \quad \frac{1}{3} \cdot 2 \neq -1\end{aligned}

אין זווית ישרה: לא מלבן

\begin{aligned}AB &= \sqrt{36 + 4} \\ &= \sqrt{40} \\ \quad AD &= \sqrt{4 + 16} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

צלעות סמוכות שונות: לא מעוין

התשובה: מקבילית רגילה. גם האלכסונים מאשרים: $AC = 10$ ו- $BD = \sqrt{20}$ , לא שווים (לא מלבן) ולא מאונכים (לא מעוין): $m_{AC} = \frac{3}{4}$ , $m_{BD} = -\frac{1}{2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$ABCD$ מקבילית: $A(0,\,1)$ , $B(6,\,3)$ , $C(8,\,7)$ . ה. חשבו את אורך האלכסון $AC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{(8-0)^2 + (7-1)^2} \\ &= \sqrt{64 + 36} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

נוסחת המרחק

השלשה $6,\,8,\,10$ . האלכסון השני, $BD = \sqrt{20}$ , קצר בהרבה: עוד סימן שזה לא מלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev