תרגול · גאומטריה אנליטית — נקודות, קטעים וישרים · כיתה י׳

עשרה תרגילים על כל הפרק: מרחק בין נקודות, אמצע קטע, שיפוע, ישרים מקבילים ומאונכים, חיתוכים, ומשולש ומקבילית במערכת צירים.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

מהו המרחק בין ראשית הצירים לנקודה $(5,\,12)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

\begin{aligned}d &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= \sqrt{25 + 144} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13\end{aligned}

נוסחת המרחק

השלשה $5,\,12,\,13$ . מרחק מהראשית: פשוט שורש של סכום הריבועים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו אמצע הקטע שקצותיו $(-3,\,5)$ ו- $(7,\,-1)$ ?

$(2,\,2)$
$(5,\,-3)$
$(2,\,3)$
$(4,\,4)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $(2,\,2)$

הפתרון:

\frac{-3 + 7}{2} = 2

ממוצע ה- $x$

\frac{5 + (-1)}{2} = 2

ממוצע ה- $y$

התשובה: $(2,\,2)$ . $(5,\,-3)$ מתקבל ממי שחיסר במקום לחבר: זה חצי ההפרש, לא אמצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו שיפוע הישר העובר דרך $(-1,\,4)$ ו- $(2,\,-5)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

\begin{aligned}m &= \frac{-5 - 4}{2 - (-1)} \\ &= \frac{-9}{3} \\ &= -3\end{aligned}

הפרש ה- $y$ חלקי הפרש ה- $x$ , באותו סדר

הישר יורד: $y$ קטן כש- $x$ גדל. שיפוע שלילי הוא הסימן לכך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

מהי משוואת הישר העובר דרך $(2,\,3)$ ומקביל לישר $y = -2x + 1$ ?

$y = -2x + 7$
$y = -2x + 1$
$y = \frac{1}{2}x + 2$
$y = -2x + 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $y = -2x + 7$

הפתרון:

m = -2

מקבילים: אותו שיפוע

\begin{aligned}y - 3 &= -2(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 7\end{aligned}

שיפוע ונקודה

-2 \cdot 2 + 7 = 3

בדיקה ✓

התשובה: $y = -2x + 7$ . $y = -2x + 3$ לקח את $y$ של הנקודה בתור $b$ . $y = \frac{1}{2}x + 2$ מאונך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מצאו את נקודת החיתוך של הישרים $y = 2x - 3$ ו- $y = -x + 6$ .

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 3 $,$ 3 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}2x - 3 &= -x + 6 \ \Rightarrow \ 3x \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

משווים

\begin{aligned}y &= 2 \cdot 3 - 3 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

-3 + 6 = 3

בדיקה בישר השני ✓

נקודת חיתוך היא זוג: אחרי $x$ מוצאים גם $y$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: הישרים $y = 2x + 1$ ו- $x + 2y - 6 = 0$ מאונכים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}2y &= -x + 6 \ \Rightarrow \ y \\ &= -\frac{1}{2}x + 3\end{aligned}

מבודדים $y$ בישר השני

2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1

מכפלת השיפועים

הטענה נכונה. בצורה הכללית זה לא נראה. אחרי הבידוד, השיפוע $-\frac{1}{2}$ הוא ההופכי והנגדי של $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

באיזו נקודה חותך הישר $3x - 2y - 9 = 0$ את ציר ה- $x$ ? רשמו את שיעור ה- $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}y &= 0 \ \Rightarrow \ 3x - 9 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

על ציר ה- $x$ : $y = 0$

מי שענה $-4.5$ הציב $x = 0$ ומצא את החיתוך עם ציר ה- $y$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(8,\,0)$ , $C(2,\,6)$ . $M$ אמצע $BC$ . מצאו את משוואת התיכון $AM$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 0.6 $x +$ 0

הפתרון:

\begin{aligned}M &= \left( \frac{8+2}{2},\ \frac{0+6}{2} \right) \\ &= (5,\,3)\end{aligned}

אמצע $BC$

\begin{aligned}m_{AM} &= \frac{3 - 0}{5 - 0} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

השיפוע

y = \frac{3}{5}x

דרך הראשית: $b = 0$

$\frac{3}{5} = 0.6$ , ו- $b = 0$ כי $A$ היא הראשית. תיכון: אמצע, ואז ישר דרך שתי נקודות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(8,\,0)$ , $C(2,\,6)$ . מהי משוואת הגובה מ- $C$ לצלע $AB$ ?

$y = 6$
$x = 2$
$y = 2$
$x = 6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x = 2$

הפתרון:

m_{AB} = 0

$AB$ על ציר ה- $x$ : אופקי

\begin{aligned}x &= x_C \\ &= 2\end{aligned}

הגובה מאונך לאופקי, ולכן אנכי, דרך $C$

התשובה: $x = 2$ . לישר אופקי אין «הופכי ונגדי», כי $\frac{1}{0}$ לא מוגדר: הגובה הוא ישר אנכי, ונכתב $x =$ מספר. $y = 6$ הוא הישר האופקי דרך $C$ , מקביל ל- $AB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$ABCD$ מקבילית. $A(2,\,1)$ , $B(8,\,3)$ , $C(10,\,8)$ . מצאו את $D$ .

$D($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D($ 4 $,$ 6 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AC} &= \left( \frac{2+10}{2},\ \frac{1+8}{2} \right) \\ &= (6,\,4.5)\end{aligned}

אמצע האלכסון $AC$

\begin{aligned}x_D &= 12 - 8 \\ &= 4 \\ \quad y_D &= 9 - 3 \\ &= 6\end{aligned}

הקצה השני של $BD$

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1}{3} \\ \quad m_{DC} &= \frac{8 - 6}{10 - 4} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

בדיקה: $AB \parallel DC$ ✓

$D = A + C - B$ : $(2 + 10 - 8,\ 1 + 8 - 3)$ . מי שחישב $B + C - A$ קיבל $(16,\,10)$ , קודקוד של מקבילית אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev