סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בשני צעדים: דיאגרמת ון עם «רק» ו«אף אחד», טבלה של 2 על 3 בשני הכיוונים, הסתברות שלמה ובייס, ובדיקת אי-תלות.

בכל שאלה על שני מאורעות, מלאו קודם את החיתוך. בכל שאלת «ידוע ש...», שאלו לאיזה כיוון הולכים.

תרגילים

תרגיל 1

בכיתה 40 תלמידים. 25 אוהבים כדורגל, 18 אוהבים כדורסל, ו-8 אוהבים את שני המשחקים. בוחרים תלמיד באקראי. מה ההסתברות שהוא אוהב רק כדורסל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

18−8=1018-8=10

כדורסל בלי החיתוך

1040=0.25\frac{10}{40}=0.25

ההסתברות

«רק כדורסל» הוא העיגול של כדורסל בלי החיתוך. 1840\frac{18}{40} כולל גם את מי שאוהב את שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בכיתה 40 תלמידים. 25 אוהבים כדורגל, 18 אוהבים כדורסל, ו-8 אוהבים את שני המשחקים. בוחרים תלמיד באקראי. מה ההסתברות שהוא לא אוהב אף אחד משני המשחקים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.125

הפתרון:

25+18−8=3525+18-8=35

אוהבים לפחות משחק אחד

40−3540=540=0.125\begin{aligned}\frac{40-35}{40} &= \frac{5}{40} \\ &= 0.125\end{aligned}

המשלים

מי שחישב 40−25−18<040-25-18<0 שכח שה-8 נספרו פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

P(A)=0.7P(A)=0.7, P(Bˉ)=0.6P(\bar{B})=0.6 ו-P(A∪B)=0.8P(A \cup B)=0.8. מה P(A∩B)P(A \cap B)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

P(B)=1−0.6=0.4\begin{aligned}P(B) &= 1-0.6 \\ &= 0.4\end{aligned}

קודם המשלים

P(A∩B)=0.7+0.4−0.8=0.3\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.7+0.4-0.8 \\ &= 0.3\end{aligned}

נוסחת האיחוד

הנתון הוא P(Bˉ)P(\bar{B}), לא P(B)P(B). מי שהציב 0.60.6 קיבל 0.50.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

יםטיולבביתסה״כ
צעירים40301080
מבוגרים204060120
סה״כ607070200

בסקר שאלו 200 תושבים מה הם מעדיפים לעשות בשבת. בוחרים באקראי תושב שהשתתף בסקר. ידוע שהתושב מבוגר. מה ההסתברות שהוא מעדיף טיול? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.333

הפתרון:

40120=13≈0.333\frac{40}{120}=\frac{1}{3} \approx 0.333

טיול, חלקי שורת המבוגרים

המכנה הוא 120 המבוגרים. 4070\frac{40}{70} הוא הכיוון ההפוך: מבוגרים מתוך מי שמעדיף טיול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

יםטיולבביתסה״כ
צעירים40301080
מבוגרים204060120
סה״כ607070200

בסקר שאלו 200 תושבים מה הם מעדיפים לעשות בשבת. בוחרים באקראי תושב שהשתתף בסקר. ידוע שהתושב מעדיף ים. מה ההסתברות שהוא צעיר? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.667

הפתרון:

4060=23≈0.667\frac{40}{60}=\frac{2}{3} \approx 0.667

צעירים, חלקי עמודת הים

התנאי הוא «ים», ולכן המכנה הוא העמודה, 60. 4080=0.5\frac{40}{80}=0.5 הוא P(ים∣צעיר)P(\text{ים} \mid \text{צעיר}).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

60% מתלמידי בית הספר מגיעים באוטובוס, והשאר ברגל. מבין הבאים באוטובוס 10% מאחרים, ומבין ההולכים ברגל 5% מאחרים. מה ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מאחר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.08

הפתרון:

0.6⋅0.1+0.4⋅0.050.6 \cdot 0.1+0.4 \cdot 0.05

הסתברות שלמה: שני מסלולים

=0.06+0.02=0.08=0.06+0.02=0.08

מחברים

0.0750.075 הוא ממוצע פשוט של 10% ו-5%. הממוצע המשוקלל קרוב יותר ל-10%, כי רוב התלמידים באים באוטובוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

60% מתלמידי בית הספר מגיעים באוטובוס, והשאר ברגל. מבין הבאים באוטובוס 10% מאחרים, ומבין ההולכים ברגל 5% מאחרים. תלמיד איחר. מה ההסתברות שהגיע באוטובוס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

P(B∩L)=0.6⋅0.1=0.06\begin{aligned}P(B \cap L) &= 0.6 \cdot 0.1 \\ &= 0.06\end{aligned}

נסמן BB — אוטובוס, LL — מאחר

P(B∣L)=0.060.08=0.75\begin{aligned}P(B \mid L) &= \frac{0.06}{0.08} \\ &= 0.75\end{aligned}

בייס

0.10.1 היא P(L∣B)P(L \mid B) — הכיוון ההפוך. בין המאחרים, שלושה רבעים באו באוטובוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בכד 5 פתקים, ועליהם המספרים 1, 2, 3, 4, 5. מוציאים שני פתקים בזה אחר זה, בלי החזרה. מה ההסתברות ששני המספרים זוגיים?

  1. 25\frac{2}{5}
  2. 15\frac{1}{5}
  3. 425\frac{4}{25}
  4. 110\frac{1}{10}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 110\frac{1}{10}

הפתרון:

25⋅14=110\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}

שני פתקים זוגיים: 2 ו-4

הנכונה: 110\frac{1}{10}. 425\frac{4}{25} מחזיר את הפתק. 25\frac{2}{5} הוא רק הפתק הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

P(A)=0.4P(A)=0.4, P(B)=0.5P(B)=0.5 ו-P(A∪B)=0.7P(A \cup B)=0.7. המאורעות AA ו-BB בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

P(A∩B)=0.4+0.5−0.7=0.2\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.4+0.5-0.7 \\ &= 0.2\end{aligned}

נוסחת האיחוד

P(A)⋅P(B)=0.4⋅0.5=0.2\begin{aligned}P(A) \cdot P(B) &= 0.4 \cdot 0.5 \\ &= 0.2\end{aligned}

המבחן השני מתקיים

נכון. קודם מוצאים את החיתוך, ואחר כך משווים אותו למכפלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מטילים מטבע הוגן שלוש פעמים. מה ההסתברות שלפחות פעם אחת יצא «עץ»?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.875

הפתרון:

(12)3=18\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}

אף פעם לא «עץ»

1−18=78=0.875\begin{aligned}1-\frac{1}{8} &= \frac{7}{8} \\ &= 0.875\end{aligned}

המשלים

3⋅12=1.53 \cdot \frac{1}{2}=1.5 אינו הסתברות. «לפחות פעם אחת» — תמיד דרך המשלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת