סדרה 3 — מאתגר · הסתברות · כיתה י׳

עשר שאלות שמחברות כמה כלים: מותנית לתוך נוסחת האיחוד, טבלה חסרה, עץ של שלושה שלבים, בייס עם מספרים קטנים ו«לפחות פעמיים».

כשהנתון הוא הסתברות מותנית, הפכו אותה קודם לחיתוך. רק החיתוך נכנס לנוסחת האיחוד.

תרגילים

תרגיל 1

$P(A)=0.5$ , $P(B)=0.4$ ו- $P(A \mid B)=0.25$ . מה $P(A \cup B)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.8

הפתרון:

\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.4 \cdot 0.25 \\ &= 0.1\end{aligned}

כלל הכפל

\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.5+0.4-0.1 \\ &= 0.8\end{aligned}

נוסחת האיחוד

את $P(A \mid B)$ אי אפשר להציב ישר בנוסחת האיחוד. קודם הופכים אותה לחיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$P(A \mid B)=0.6$ , $P(B \mid A)=0.4$ ו- $P(A \cap B)=0.12$ . מה $P(A \cup B)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.38

הפתרון:

\begin{aligned}P(B) &= \frac{0.12}{0.6} \\ &= 0.2\end{aligned}

מ- $P(A \mid B)$

\begin{aligned}P(A) &= \frac{0.12}{0.4} \\ &= 0.3\end{aligned}

מ- $P(B \mid A)$

\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.3+0.2-0.12 \\ &= 0.38\end{aligned}

נוסחת האיחוד

כל הסתברות מותנית נותנת את התנאי שלה: $P(A \mid B)$ נותנת את $P(B)$ , לא את $P(A)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

	עובדים	סטודנטים	גמלאים	סה״כ
מנויים	0.15	?	0.05	0.3
לא מנויים	?	0.1	0.25	?
סה״כ	0.5	?	?	1

בעיר נבדקו מנויי חדר הכושר. הטבלה נותנת את ההסתברויות לכל צירוף של מנוי ותעסוקה. בוחרים תושב באקראי. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה בתשובה האחרונה.

ההסתברות לסטודנט: ____ ; ההסתברות שסטודנט הוא מנוי: ____ ; ההסתברות שמי שאינו מנוי הוא גמלאי: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ההסתברות לסטודנט: 0.2 ; ההסתברות שסטודנט הוא מנוי: 0.5 ; ההסתברות שמי שאינו מנוי הוא גמלאי: 0.357

הפתרון:

0.3-0.15-0.05=0.1

המשבצת החסרה: סטודנטים מנויים

0.1+0.1=0.2

עמודת הסטודנטים

\frac{0.1}{0.2}=0.5

מנויים מבין הסטודנטים

\begin{aligned}1-0.3 &= 0.7 \\ \quad \frac{0.25}{0.7} &= \frac{5}{14} \approx 0.357\end{aligned}

גמלאים מבין הלא מנויים

בכל סעיף, המכנה הוא מה שידוע: עמודת הסטודנטים, $0.2$ , ואחר כך שורת הלא מנויים, $0.7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בקופסה 4 כדורים אדומים ו-2 לבנים. מוציאים שלושה כדורים בזה אחר זה, בלי החזרה. מה ההסתברות שיצא בדיוק כדור לבן אחד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

\frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4}=\frac{24}{120}

לבן-אדום-אדום

\frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}=\frac{24}{120}

אדום-לבן-אדום

\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}=\frac{24}{120}

אדום-אדום-לבן

\begin{aligned}3 \cdot \frac{24}{120} &= \frac{72}{120} \\ &= 0.6\end{aligned}

שלושה מסלולים זרים

הלבן יכול לצאת בכל אחת משלוש ההוצאות. מי שחישב רק את המסלול הראשון קיבל $0.2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בקופסה 4 כדורים אדומים ו-2 לבנים. מוציאים שלושה כדורים בזה אחר זה, בלי החזרה. מה ההסתברות שהכדור השני לבן? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.333

הפתרון:

\frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5}+\frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5}

הסתברות שלמה על הכדור הראשון

=\frac{8}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{3} \approx 0.333

בדיוק כמו בהוצאה הראשונה

בלי לדעת מה יצא ראשון, לכדור השני אותה הסתברות כמו לראשון, $\frac{2}{6}$ . $\frac{2}{5}$ נכון רק אם ידוע שהראשון אדום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשלוח טלפונים 2% פגומים. מכונת בדיקה מסמנת טלפון פגום כ«פגום» בהסתברות 0.9, ומסמנת בטעות טלפון תקין כ«פגום» בהסתברות 0.05. טלפון סומן כ«פגום». מה ההסתברות שהוא באמת פגום? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.269

הפתרון:

0.02 \cdot 0.9=0.018

פגום וסומן

0.98 \cdot 0.05=0.049

תקין וסומן בטעות

\begin{aligned}P(\text{סומן}) &= 0.018+0.049 \\ &= 0.067\end{aligned}

הסתברות שלמה

\frac{0.018}{0.067}=\frac{18}{67} \approx 0.269

בייס

$0.9$ היא ההסתברות לסמן בהינתן שהטלפון פגום. כיוון שרוב הטלפונים תקינים, רוב הסימונים באים מטעויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בטבלה דו-ממדית של הסתברויות: $P(A \cap B)=0.12$ , $P(A \cap \bar{B})=0.28$ ו- $P(\bar{A} \cap B)=0.18$ . האם $A$ ו- $B$ בלתי תלויים?

אי אפשר לדעת בלי $P(\bar{A} \cap \bar{B})$
כן: $P(A) \cdot P(B)=0.4 \cdot 0.3=0.12$
לא: $P(A)+P(B) \neq 1$
לא: $0.12 \neq 0.28$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב כן: $P(A) \cdot P(B)=0.4 \cdot 0.3=0.12$

הפתרון:

\begin{aligned}P(A) &= 0.12+0.28 \\ &= 0.4\end{aligned}

שורת $A$

\begin{aligned}P(B) &= 0.12+0.18 \\ &= 0.3\end{aligned}

עמודת $B$

\begin{aligned}P(A) \cdot P(B) &= 0.12 \\ &= P(A \cap B)\end{aligned}

המבחן השני מתקיים

הנכונה: כן. $P(\bar{A} \cap \bar{B})=1-0.58=0.42$ מתקבל מהשאר, ולא צריך אותו. $P(A)+P(B)=1$ אינו קשור לאי-תלות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$A$ ו- $B$ בלתי תלויים, $P(A)=0.3$ ו- $P(A \cup B)=0.65$ . מה $P(B)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

0.65=0.3+p-0.3p

נסמן $p=P(B)$

\begin{aligned}0.35 &= 0.7p \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.5\end{aligned}

פותרים

$0.35$ היא התשובה למאורעות זרים. כאן החיתוך הוא $0.3p$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

אם $A \subseteq B$ ו- $0<P(A)<P(B)<1$ , אז $A$ ו- $B$ תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

A \cap B=A

$A$ מוכל ב- $B$

P(A \mid B)=\frac{P(A)}{P(B)}>P(A)

מחלקים במספר קטן מ-1

נכון. אם $B$ קרה, $A$ נעשה סביר יותר, כי $A$ נמצא כולו בתוך $B$ . המבחן הראשון אינו מתקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שחקנית כדורסל זורקת שלוש זריקות עונשין. בכל זריקה היא קולעת בהסתברות 0.7, ואין קשר בין הזריקות. מה ההסתברות שתקלע לפחות פעמיים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.784

הפתרון:

3 \cdot 0.7^2 \cdot 0.3=0.441

בדיוק פעמיים: שלושה מסלולים

0.7^3=0.343

שלוש פעמים

0.441+0.343=0.784

«לפחות פעמיים» הוא «פעמיים» או «שלוש»

«לפחות פעמיים» כולל גם את שלוש הקליעות. מי ששכח אותן קיבל $0.441$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev