סדרה 4 — מתקדם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות שבהן צריך לבנות את הכלי בעצמכם: טבלה 2 על 2 מתוך נתונים מותנים, העברת כדור בין קופסאות, עץ הפוך, והוכחה שהמשלים שומר על אי-תלות.

כשהשאלה נראית מבולבלת, ציירו טבלה 2 על 2 של הסתברויות ומלאו אותה משבצת אחרי משבצת.

תרגילים

תרגיל 1

P(A)=0.6P(A)=0.6, P(B)=0.5P(B)=0.5 ו-P(A∣B)=0.8P(A \mid B)=0.8. מה P(B∣Aˉ)P(B \mid \bar{A})?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

P(A∩B)=0.5⋅0.8=0.4\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.5 \cdot 0.8 \\ &= 0.4\end{aligned}

כלל הכפל

P(Aˉ∩B)=0.5−0.4=0.1\begin{aligned}P(\bar{A} \cap B) &= 0.5-0.4 \\ &= 0.1\end{aligned}

שאר BB

P(B∣Aˉ)=0.10.4=0.25\begin{aligned}P(B \mid \bar{A}) &= \frac{0.1}{0.4} \\ &= 0.25\end{aligned}

חלקי P(Aˉ)=0.4P(\bar{A})=0.4

ציירו טבלה 2 על 2 ומלאו אותה. התנאי Aˉ\bar{A} הוא המכנה: 0.40.4, לא 0.50.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

AA ו-BB בלתי תלויים, P(Aˉ)=0.5P(\bar{A})=0.5 ו-P(A∪B)=0.9P(A \cup B)=0.9. מה P(B)P(B)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.8

הפתרון:

P(A)=0.5P(A)=0.5

המשלים

0.9=0.5+p−0.5p ⇒ 0.4=0.5p\begin{aligned}0.9 &= 0.5+p-0.5p \ \Rightarrow \ 0.4 \\ &= 0.5p\end{aligned}

נסמן p=P(B)p=P(B)

p=0.8p=0.8

פותרים

דרך נוספת: P(A∪B‾)=P(Aˉ)⋅P(Bˉ)P(\overline{A \cup B})=P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}), כלומר 0.1=0.5⋅P(Bˉ)0.1=0.5 \cdot P(\bar{B}), ולכן P(Bˉ)=0.2P(\bar{B})=0.2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

P(A)=0.3P(A)=0.3 ו-P(B)=0.8P(B)=0.8. מהו הערך הקטן ביותר האפשרי של P(A∩B)P(A \cap B)?

  1. 0.10.1
  2. 0.240.24
  3. 00
  4. 0.30.3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 0.10.1

הפתרון:

P(A∩B)=0.3+0.8−P(A∪B)P(A \cap B)=0.3+0.8-P(A \cup B)

נוסחת האיחוד

P(A∪B)≤1 ⇒ P(A∩B)≥0.1P(A \cup B) \leq 1 \ \Rightarrow \ P(A \cap B) \geq 0.1

החיתוך קטן ככל שהאיחוד גדול

הנכונה: 0.10.1. 00 אפשרי רק אם P(A)+P(B)≤1P(A)+P(B) \leq 1. 0.240.24 הוא המכפלה — הערך כשהמאורעות בלתי תלויים, ולא הקטן ביותר. 0.30.3 הוא הערך הגדול ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

70% מהנבחנים בטסט נהיגה עשו יותר מ-20 שיעורים. מבין אלה 80% עברו את הטסט, ומבין השאר 50% עברו. מה ההסתברות שנבחן אקראי עבר את הטסט?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.71

הפתרון:

0.7⋅0.8+0.3⋅0.5=0.56+0.15=0.71\begin{aligned}0.7 \cdot 0.8+0.3 \cdot 0.5 &= 0.56+0.15 \\ &= 0.71\end{aligned}

הסתברות שלמה

0.710.71 נמצא בין 0.50.5 ל-0.80.8 וקרוב ל-0.80.8, כי רוב הנבחנים עשו יותר מ-20 שיעורים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

70% מהנבחנים בטסט נהיגה עשו יותר מ-20 שיעורים. מבין אלה 80% עברו את הטסט, ומבין השאר 50% עברו. נבחן נכשל בטסט. מה ההסתברות שעשה יותר מ-20 שיעורים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.483

הפתרון:

P(Sˉ)=1−0.71=0.29\begin{aligned}P(\bar{S}) &= 1-0.71 \\ &= 0.29\end{aligned}

נסמן SS — עבר, MM — יותר מ-20 שיעורים

P(M∩Sˉ)=0.7⋅0.2=0.14\begin{aligned}P(M \cap \bar{S}) &= 0.7 \cdot 0.2 \\ &= 0.14\end{aligned}

המסלול

P(M∣Sˉ)=0.140.29≈0.483P(M \mid \bar{S})=\frac{0.14}{0.29} \approx 0.483

בייס

אחרי «נכשל» הענף הוא 0.20.2 ולא 0.80.8. מי שחישב 0.560.71\frac{0.56}{0.71} ענה על «עבר».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בעץ של שני שלבים: P(A)=0.4P(A)=0.4, P(B∣A)=0.5P(B \mid A)=0.5 ו-P(B)=0.38P(B)=0.38. השלימו. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה בתשובה השנייה.

P(B∣Aˉ)=P(B \mid \bar{A})= ____ ; P(A∣B)=P(A \mid B)= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: P(B∣Aˉ)=P(B \mid \bar{A})= 0.3 ; P(A∣B)=P(A \mid B)= 0.526

הפתרון:

P(A∩B)=0.4⋅0.5=0.2\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.4 \cdot 0.5 \\ &= 0.2\end{aligned}

המסלול דרך AA

P(Aˉ∩B)=0.38−0.2=0.18\begin{aligned}P(\bar{A} \cap B) &= 0.38-0.2 \\ &= 0.18\end{aligned}

שאר BB

P(B∣Aˉ)=0.180.6=0.3\begin{aligned}P(B \mid \bar{A}) &= \frac{0.18}{0.6} \\ &= 0.3\end{aligned}

חלקי P(Aˉ)P(\bar{A})

P(A∣B)=0.20.38=1019≈0.526\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{0.2}{0.38} \\ &= \frac{10}{19} \approx 0.526\end{aligned}

בייס

P(B)=0.38P(B)=0.38 נמצא בין 0.30.3 ל-0.50.5, כמו שממוצע משוקלל חייב. זו בדיקה טובה לתשובה הראשונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בקופסה א׳ 3 כדורים לבנים ו-1 שחור. בקופסה ב׳ 2 לבנים ו-2 שחורים. מעבירים כדור אקראי מקופסה א׳ לקופסה ב׳, ואחר כך מוציאים כדור אקראי מקופסה ב׳. מה ההסתברות שהכדור שיצא לבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.55

הפתרון:

34⋅35\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5}

הועבר לבן: בקופסה ב׳ עכשיו 3 לבנים מתוך 5

14⋅25\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}

הועבר שחור: 2 לבנים מתוך 5

920+220=1120=0.55\begin{aligned}\frac{9}{20}+\frac{2}{20} &= \frac{11}{20} \\ &= 0.55\end{aligned}

הסתברות שלמה

אחרי ההעברה יש בקופסה ב׳ 5 כדורים. מי שהשאיר את המכנה 4 שכח את הכדור שהועבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בקופסה א׳ 3 כדורים לבנים ו-1 שחור. בקופסה ב׳ 2 לבנים ו-2 שחורים. מעבירים כדור אקראי מקופסה א׳ לקופסה ב׳, ואחר כך מוציאים כדור אקראי מקופסה ב׳, והוא לבן. מה ההסתברות שהכדור שהועבר היה שחור? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.182

הפתרון:

14⋅25=220\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}=\frac{2}{20}

המסלול: הועבר שחור, יצא לבן

2201120=211≈0.182\frac{\frac{2}{20}}{\frac{11}{20}}=\frac{2}{11} \approx 0.182

בייס

14\frac{1}{4} היא ההסתברות להעביר שחור לפני שיודעים משהו. הלבן שיצא מוריד אותה ל-211\frac{2}{11}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

אם AA ו-BB בלתי תלויים, אז גם Aˉ\bar{A} ו-BB בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

P(Aˉ∩B)=P(B)−P(A∩B)P(\bar{A} \cap B)=P(B)-P(A \cap B)

שאר BB

P(B)−P(A)P(B)=(1−P(A))P(B)=P(Aˉ)P(B)\begin{aligned}P(B)-P(A)P(B) &= (1-P(A))P(B) \\ &= P(\bar{A})P(B)\end{aligned}

המבחן השני מתקיים

נכון. אם הידיעה BB לא משנה את AA, היא גם לא משנה את המשלים שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מטילים קובייה הוגנת שלוש פעמים. מה ההסתברות ששלוש התוצאות שונות זו מזו? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.556

הפתרון:

1⋅56⋅461 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6}

הראשונה חופשית, השנייה שונה ממנה, השלישית שונה משתיהן

=2036=59≈0.556=\frac{20}{36}=\frac{5}{9} \approx 0.556

כופלים

בכל הטלה יש 6 תוצאות: המכנה נשאר 6, כי הקובייה לא «מאבדת» מספרים. רק המונה קטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת