סדרה 5 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, מחולקות לסעיפים: שתי קופסאות ובייס, שתי שקיות מטפחות, שלושה משחקי שש-בש עם פרמטר, ומבחן עם שלושה תרגילים בלתי תלויים. כל סעיף הוא תרגיל, והסעיפים של אותה שאלה באים ברצף.

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: סמנו את המאורעות, ציירו את העץ או הטבלה, ובכל «ידוע ש...» כתבו את ההסתברות המותנית לפני שאתם מחשבים.

תרגילים

תרגיל 1

בקופסה א׳ 4 כדורים אדומים ו-2 כחולים. בקופסה ב׳ 2 אדומים ו-4 כחולים. מטילים קובייה: אם יוצא 1 או 2 בוחרים בקופסה א׳, ואחרת בוחרים בקופסה ב׳. מהקופסה שנבחרה מוציאים שני כדורים בלי החזרה. א. מה ההסתברות ששני הכדורים אדומים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.178

הפתרון:

P(A)=26=13\begin{aligned}P(A) &= \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

נסמן AA — נבחרה קופסה א׳, RR — שני הכדורים אדומים

P(R∣A)=46⋅35=25P(R∣Aˉ)=26⋅15=115\begin{aligned}P(R \mid A) &= \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \\ &= \frac{2}{5} \\ \quad P(R \mid \bar{A}) &= \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} \\ &= \frac{1}{15}\end{aligned}

בלי החזרה, בכל קופסה

P(R)=13⋅25+23⋅115=645+245=845≈0.178\begin{aligned}P(R) &= \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{15} \\ &= \frac{6}{45}+\frac{2}{45} \\ &= \frac{8}{45} \approx 0.178\end{aligned}

הסתברות שלמה

הקופסאות אינן שוות סיכוי: 13\frac{1}{3} מול 23\frac{2}{3}. מי שכפל כל קופסה ב-12\frac{1}{2} קיבל 730\frac{7}{30}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בקופסה א׳ 4 כדורים אדומים ו-2 כחולים. בקופסה ב׳ 2 אדומים ו-4 כחולים. מטילים קובייה: אם יוצא 1 או 2 בוחרים בקופסה א׳, ואחרת בוחרים בקופסה ב׳. מהקופסה שנבחרה מוציאים שני כדורים בלי החזרה. ב. ידוע ששני הכדורים אדומים. מה ההסתברות שנבחרה קופסה א׳?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

P(A∩R)=13⋅25=645\begin{aligned}P(A \cap R) &= \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \\ &= \frac{6}{45}\end{aligned}

המסלול דרך קופסה א׳

P(A∣R)=645845=34=0.75\begin{aligned}P(A \mid R) &= \frac{\frac{6}{45}}{\frac{8}{45}} \\ &= \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}

בייס

קופסה א׳ נבחרת רק בשליש מהמקרים, אבל שני אדומים יוצאים ממנה הרבה יותר בקלות. לכן אחרי הידיעה ההסתברות עולה מ-13\frac{1}{3} ל-34\frac{3}{4}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בקופסה א׳ 4 כדורים אדומים ו-2 כחולים. בקופסה ב׳ 2 אדומים ו-4 כחולים. מטילים קובייה: אם יוצא 1 או 2 בוחרים בקופסה א׳, ואחרת בוחרים בקופסה ב׳. מהקופסה שנבחרה מוציאים שני כדורים בלי החזרה. ג. מה ההסתברות שהכדורים בצבעים שונים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.533

הפתרון:

P(שונים∣A)=2⋅46⋅25=815\begin{aligned}P(\text{שונים} \mid A) &= 2 \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} \\ &= \frac{8}{15}\end{aligned}

שני מסלולים בקופסה א׳

P(שונים∣Aˉ)=2⋅26⋅45=815\begin{aligned}P(\text{שונים} \mid \bar{A}) &= 2 \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5} \\ &= \frac{8}{15}\end{aligned}

שני מסלולים בקופסה ב׳

13⋅815+23⋅815=815≈0.533\frac{1}{3} \cdot \frac{8}{15}+\frac{2}{3} \cdot \frac{8}{15}=\frac{8}{15} \approx 0.533

הסתברות שלמה

בשתי הקופסאות ההסתברות זהה, ולכן הממוצע המשוקלל שווה לה. «צבעים שונים» הם שני מסלולים בכל קופסה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בשקית א׳ 6 מטפחות: 4 לבנות ו-2 אדומות. בשקית ב׳ nn מטפחות, ומהן בדיוק 3 לבנות. מוציאים באקראי מטפחת אחת מכל שקית. ההסתברות ששתי המטפחות לבנות היא 15\frac{1}{5}. א. מצאו את nn.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

46⋅3n=15\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{n}=\frac{1}{5}

שתי שקיות בלתי תלויות: כופלים

2n=15 ⇒ n=10\begin{aligned}\frac{2}{n} &= \frac{1}{5} \ \Rightarrow \ n \\ &= 10\end{aligned}

פותרים

בשקית ב׳ 10 מטפחות: 3 לבנות ו-7 שאינן לבנות. nn הוא כל המטפחות, לא מספר הלבנות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בשקית א׳ 6 מטפחות: 4 לבנות ו-2 אדומות. בשקית ב׳ nn מטפחות, ומהן בדיוק 3 לבנות. מוציאים באקראי מטפחת אחת מכל שקית. ההסתברות ששתי המטפחות לבנות היא 15\frac{1}{5}. ב. ידוע שבדיוק אחת משתי המטפחות לבנה. מה ההסתברות שהלבנה היא מהשקית הראשונה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.824

הפתרון:

46⋅710=2860\frac{4}{6} \cdot \frac{7}{10}=\frac{28}{60}

לבנה מא׳, לא לבנה מב׳

26⋅310=660\frac{2}{6} \cdot \frac{3}{10}=\frac{6}{60}

לא לבנה מא׳, לבנה מב׳

2828+6=1417≈0.824\frac{28}{28+6}=\frac{14}{17} \approx 0.824

המסלול, חלקי שני המסלולים

המכנה הוא «בדיוק אחת לבנה» — שני מסלולים — ולא 1. מי שענה 46\frac{4}{6} התעלם מהתנאי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נועה ואבי משחקים שלושה משחקי שש-בש, ואין תיקו. ההסתברות שנועה תנצח במשחק הראשון היא 0.60.6. אם נועה ניצחה במשחק, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא pp. אם הפסידה, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא 0.30.3. א. ההסתברות שנועה תנצח בשני המשחקים הראשונים היא 0.420.42. מצאו את pp.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.7

הפתרון:

0.6⋅p=0.420.6 \cdot p=0.42

ניצחון, ואחריו ניצחון אחרי ניצחון

p=0.7p=0.7

פותרים

הענף השני הוא הסתברות מותנית: ניצחון בהינתן ניצחון. לכן כופלים ב-pp ולא ב-0.60.6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נועה ואבי משחקים שלושה משחקי שש-בש, ואין תיקו. ההסתברות שנועה תנצח במשחק הראשון היא 0.60.6. אם נועה ניצחה במשחק, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא pp. אם הפסידה, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא 0.30.3. ההסתברות שנועה תנצח בשני המשחקים הראשונים היא 0.420.42. ב. מה ההסתברות שנועה תנצח במשחק השלישי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.516

הפתרון:

P(W2)=0.6⋅0.7+0.4⋅0.3=0.54\begin{aligned}P(W_2) &= 0.6 \cdot 0.7+0.4 \cdot 0.3 \\ &= 0.54\end{aligned}

הסתברות שלמה על המשחק הראשון

P(W3)=0.54⋅0.7+0.46⋅0.3=0.378+0.138=0.516\begin{aligned}P(W_3) &= 0.54 \cdot 0.7+0.46 \cdot 0.3 \\ &= 0.378+0.138 \\ &= 0.516\end{aligned}

הסתברות שלמה על המשחק השני

אפשר גם לחבר את ארבעת המסלולים שמסתיימים בניצחון. בכל מקרה, המשחק השלישי תלוי רק במשחק השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נועה ואבי משחקים שלושה משחקי שש-בש, ואין תיקו. ההסתברות שנועה תנצח במשחק הראשון היא 0.60.6. אם נועה ניצחה במשחק, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא pp. אם הפסידה, ההסתברות שתנצח במשחק הבא היא 0.30.3. ההסתברות שנועה תנצח בשני המשחקים הראשונים היא 0.420.42. ג. ידוע שנועה ניצחה במשחק השלישי. מה ההסתברות שניצחה גם במשחק הראשון? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.674

הפתרון:

P(W1∩W3)=0.6⋅(0.7⋅0.7+0.3⋅0.3)=0.6⋅0.58=0.348\begin{aligned}P(W_1 \cap W_3) &= 0.6 \cdot (0.7 \cdot 0.7+0.3 \cdot 0.3) \\ &= 0.6 \cdot 0.58 \\ &= 0.348\end{aligned}

שני מסלולים: WWW ו-WLW

P(W1∣W3)=0.3480.516=2943≈0.674\begin{aligned}P(W_1 \mid W_3) &= \frac{0.348}{0.516} \\ &= \frac{29}{43} \approx 0.674\end{aligned}

בייס, עם התוצאה של סעיף ב

במסלול WLW ההפסד אחרי ניצחון הוא 1−p=0.31-p=0.3, והניצחון אחרי הפסד הוא 0.30.3. מי שהשמיט את המסלול הזה קיבל 0.2940.516\frac{0.294}{0.516}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במבחן שלושה תרגילים. גיל פותר נכון את התרגיל הראשון בהסתברות 0.8, את השני בהסתברות 0.6 ואת השלישי בהסתברות 0.5, והתרגילים בלתי תלויים זה בזה. כדי לעבור את המבחן צריך לפתור נכון לפחות שני תרגילים. א. מה ההסתברות שגיל יעבור את המבחן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.7

הפתרון:

0.8⋅0.6⋅0.5=0.240.8 \cdot 0.6 \cdot 0.5=0.24

שלושה נכונים

0.8⋅0.6⋅0.5+0.8⋅0.4⋅0.5+0.2⋅0.6⋅0.5=0.24+0.16+0.06=0.46\begin{aligned}0.8 \cdot 0.6 \cdot 0.5+0.8 \cdot 0.4 \cdot 0.5+0.2 \cdot 0.6 \cdot 0.5 &= 0.24+0.16+0.06 \\ &= 0.46\end{aligned}

בדיוק שניים: שלושה מסלולים

0.24+0.46=0.70.24+0.46=0.7

«לפחות שניים»

בכל מסלול של «בדיוק שניים» כופלים גם בהסתברות להיכשל בתרגיל השלישי. מי ששכח אותה קיבל מספר גדול מ-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במבחן שלושה תרגילים. גיל פותר נכון את התרגיל הראשון בהסתברות 0.8, את השני בהסתברות 0.6 ואת השלישי בהסתברות 0.5, והתרגילים בלתי תלויים זה בזה. כדי לעבור את המבחן צריך לפתור נכון לפחות שני תרגילים. ב. ידוע שגיל עבר את המבחן. מה ההסתברות שפתר נכון את שלושת התרגילים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.343

הפתרון:

P(שלושה∩עבר)=0.24P(\text{שלושה} \cap \text{עבר})=0.24

מי שפתר שלושה, עבר

0.240.7=1235≈0.343\frac{0.24}{0.7}=\frac{12}{35} \approx 0.343

חלקי ההסתברות לעבור

«שלושה נכונים» מוכל ב«עבר», ולכן החיתוך הוא 0.240.24 עצמו. 0.240.24 לבדו שוכח את התנאי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת