פותרים יחד · הפונקציה הריבועית · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חקירה מלאה, צורת הקדקוד, פרבולה וישר, השקה בעזרת הדיסקרימיננטה, ובעיית גובה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. ובכל שלב שאלו: זה השורשים, הקדקוד או הדיסקרימיננטה? בפרק הזה כל שאלה היא שרשרת של שלושת הכלים האלה.

1 — חקירה מלאה של פרבולה

פעילות אינטראקטיבית

נתונה הפונקציה $f(x) = x^2 - 4x - 5$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים. ב. מצאו את הקדקוד וקבעו את סוגו. ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה. ד. מצאו את תחומי החיוביות והשליליות.

f(x) = x^2 - 4x - 5

לחצו «להתחיל». הסדר קבוע: צירים, קדקוד, עלייה וירידה, סימן. כל שלב משתמש בקודם.

א. ציר y

f(0) = -5 \ \Rightarrow \ (0,\,-5)

מציבים $x = 0$ : מקבלים $c$ .

א. ציר x

\begin{aligned}x^2 - 4x - 5 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 5)(x + 1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (5,\,0) \\ \ (-1,\,0)\end{aligned}

מציבים $y = 0$ . מכפלה $-5$ , סכום $-4$ .

ב. קדקוד

\begin{aligned}x_V &= \frac{4}{2} \\ &= 2 \\ \qquad y_V &= 4 - 8 - 5 \\ &= -9\end{aligned}

$V(2,\,-9)$ . גם אמצע השורשים: $\frac{-1 + 5}{2} = 2$ ✓

ב. סוג

a = 1 > 0 \ \Rightarrow \ \min

פתוחה כלפי מעלה: הקדקוד הוא מינימום.

ג.

x < 2 \ \searrow \qquad x > 2 \ \nearrow

יורדת עד הקדקוד, עולה אחריו. תחומים בערכי $x$ .

ד.

f(x) > 0: \ x < -1 \ \text{או} \ x > 5 \qquad f(x) < 0: \ -1 < x < 5

$a > 0$ : שלילית בין השורשים, חיובית מחוץ להם.

ארבעה סעיפים, ואף אחד לא דורש כלי חדש. הקדקוד $(2,\,-9)$ מכריע את סעיף ג, השורשים $-1$ ו- $5$ מכריעים את סעיף ד.

לעשות את הפעילות ב-elev

לאילו ערכים של $k$ אין למשוואה $f(x) = k$ אף פתרון?

להציג את התשובה והפתרון

$k < -9$ . הפרבולה פתוחה כלפי מעלה והערך הקטן ביותר שלה הוא $-9$ . ישר אופקי מתחת לקדקוד לא פוגש אותה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — צורת הקדקוד והערך המקסימלי

פעילות אינטראקטיבית

כתבו את $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ בצורה $a(x - p)^2 + k$ ומצאו את הערך המקסימלי

נתונה $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ . כתבו אותה בצורה $a(x - p)^2 + k$ , ומצאו את הערך הגדול ביותר של הפונקציה.

$f(x) = -(x - 3)^2 + 4$ , מקסימום $4$

$f(x) = (x - 3)^2 + 4$ , מקסימום $4$

$f(x) = -(x + 3)^2 + 4$ , מקסימום $4$

$f(x) = -(x - 3)^2 - 4$ , מקסימום $-4$

מהו $p$ , ה- $x$ של הקדקוד?

$p = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3$

להציג את התשובה והפתרון

נוסחת הקדקוד, עם $a = -1$ במכנה.

$p = \frac{-6}{2} = -3$

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם את $a = -1$ במכנה. $\frac{-6}{-2} = 3$ .

x_V = 3

ציר הסימטריה $x = 3$

מהו $k$ , ה- $y$ של הקדקוד?

$k = f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$

להציג את התשובה והפתרון

מציבים $x = 3$ . שימו לב: $-3^2 = -9$ .

$k = c = -5$

להציג את התשובה והפתרון

$c$ הוא החיתוך עם ציר ה- $y$ , לא גובה הקדקוד.

V(3,\,4)

הקדקוד

מה כותבים לפני הסוגריים?

$a = -1$ : $f(x) = -(x - 3)^2 + 4$

להציג את התשובה והפתרון

המקדם של $x^2$ לא משתנה במעבר בין הצורות.

$f(x) = (x - 3)^2 + 4$

להציג את התשובה והפתרון

בלי המינוס זו פרבולה שפתוחה כלפי מעלה, עם מינימום. פתחו סוגריים ותראו $+x^2$ .

\begin{aligned}f(x) &= -(x - 3)^2 + 4 \ \Rightarrow \ \max \\ &= 4\end{aligned}

בדיקה: $-(x^2 - 6x + 9) + 4 = -x^2 + 6x - 5$ ✓

להציג את התשובה והפתרון

$f(x) = -(x - 3)^2 + 4$ , מקסימום $4$ . $(x - 3)^2 \geq 0$ , ולכן $-(x - 3)^2 \leq 0$ , ולכן $f(x) \leq 4$ . השוויון מתקיים בדיוק ב- $x = 3$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

מהו ציר הסימטריה של $f$ , ומהם השורשים שלה?

להציג את התשובה והפתרון

ציר הסימטריה $x = 3$ . השורשים: $-(x - 3)^2 + 4 = 0$ , כלומר $(x - 3)^2 = 4$ , כלומר $x = 5$ ו- $x = 1$ . הם במרחק $2$ מכל צד של הציר.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרבולה וישר: חיתוך, ומי מעל מי

פעילות אינטראקטיבית

נתונות הפונקציות $f(x) = x^2 - 2x - 3$ ו- $g(x) = -x + 3$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של שני הגרפים. ב. מצאו את נקודת החיתוך של כל גרף עם ציר ה- $y$ . ג. לאילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) < g(x)$ ?

\begin{aligned}f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ \qquad g(x) &= -x + 3\end{aligned}

לחצו «להתחיל». סעיף ג נקרא מהשרטוט: הפרבולה מתחת לישר בדיוק בין שתי נקודות החיתוך.

א. משווים

\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= -x + 3 \ \Rightarrow \ x^2 - x - 6 \\ &= 0\end{aligned}

מעבירים את הישר לאגף השני.

א. פותרים

\begin{aligned}(x - 3)(x + 2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -2\end{aligned}

מכפלה $-6$ , סכום $-1$ .

א. נקודות

\begin{aligned}g(3) &= 0 \\ \quad g(-2) &= 5 \ \Rightarrow \ (3,\,0) \\ \ (-2,\,5)\end{aligned}

מציבים בישר. בדיקה בפרבולה: $f(3) = 9 - 6 - 3 = 0$ ✓

ב.

\begin{aligned}f(0) &= -3 \ \Rightarrow \ (0,\,-3) \qquad g(0) \\ &= 3 \ \Rightarrow \ (0,\,3)\end{aligned}

ב- $x = 0$ הפרבולה נמוכה מהישר.

ג.

-2 < x < 3

פרבולה שפתוחה כלפי מעלה נמצאת מתחת לישר בין נקודות החיתוך. בדיקה ב- $x = 0$ : $-3 < 3$ ✓

הנקודה $(3,\,0)$ היא גם שורש של $f$ : הישר עובר בדיוק דרך החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- $x$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

הנקודה $(3,\,0)$ נמצאת על ציר ה- $x$ . מה עוד היא?

להציג את התשובה והפתרון

שורש של $f$ , כי $f(3) = 0$ , וגם נקודת החיתוך של $g$ עם ציר ה- $x$ , כי $g(3) = 0$ . נקודה אחת, שלושה תפקידים: בדיוק כמו בווידג׳ט של היחידה הקודמת.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — לאיזה $k$ הישר משיק? הדיסקרימיננטה מכריעה

פעילות אינטראקטיבית

הישר $y = -2x + k$ והפרבולה $y = x^2 + 2x + 3$

לאיזה ערך של $k$ הישר $y = -2x + k$ משיק לפרבולה $y = x^2 + 2x + 3$ ? מצאו גם את נקודת ההשקה.

$k = -1$ , נקודת ההשקה $(-2,\,3)$

$k = 1$ , נקודת ההשקה $(-2,\,3)$

$k = 3$ , נקודת ההשקה $(0,\,3)$

$k = -4$ , נקודת ההשקה $(2,\,11)$

מה הצעד הראשון?

משווים: $x^2 + 2x + 3 = -2x + k$

להציג את התשובה והפתרון

בנקודה משותפת שתי הפונקציות שוות.

מציבים $x = 0$ בשתי הפונקציות

להציג את התשובה והפתרון

זה נותן את החיתוך עם ציר ה- $y$ , לא את ההשקה.

x^2 + 4x + 3 - k = 0

מעבירים לאגף אחד. $c = 3 - k$

מה התנאי להשקה?

$\Delta = 0$ : פתרון אחד בדיוק

להציג את התשובה והפתרון

השקה היא נקודה משותפת אחת.

$\Delta < 0$

להציג את התשובה והפתרון

$\Delta < 0$ אומר שאין שום נקודה משותפת.

\begin{aligned}\Delta &= 16 - 4(3 - k) \\ &= 4 + 4k \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= -1\end{aligned}

$16 - 12 + 4k$

איך מוצאים את נקודת ההשקה?

פותרים את המשוואה עם $k = -1$ : $x^2 + 4x + 4 = 0$

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון היחיד הוא ה- $x$ של נקודת ההשקה.

לוקחים את קדקוד הפרבולה

להציג את התשובה והפתרון

הקדקוד הוא נקודת ההשקה רק של ישר אופקי. הישר כאן משופע.

\begin{aligned}(x + 2)^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2 \\ \quad y &= 4 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים בישר: $-2 \cdot (-2) - 1 = 3$

להציג את התשובה והפתרון

$k = -1$ , נקודת ההשקה $(-2,\,3)$ . בדיקה בפרבולה: $4 - 4 + 3 = 3$ ✓. הטעות הנפוצה: לכתוב $\Delta = 16 - 4 \cdot 3 - k$ בלי סוגריים, ולקבל $k = 4$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

לאילו ערכים של $k$ הישר חותך את הפרבולה בשתי נקודות?

להציג את התשובה והפתרון

$k > -1$ . $\Delta = 4 + 4k > 0$ בדיוק כאשר $k > -1$ : הישר עולה מעל נקודת ההשקה וחוצה את הפרבולה פעמיים.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — בעיית גובה: מהקדקוד ועד השאלה «כמה פעמים»

פעילות אינטראקטיבית

אבן נזרקת כלפי מעלה מראש צוק. הגובה שלה במטרים מעל הים אחרי $t$ שניות הוא $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$ . א. מאיזה גובה נזרקה האבן? ב. מתי היא בגובה הגדול ביותר, ומהו? ג. אחרי כמה שניות היא פוגעת במים? ד. כמה פעמים האבן בגובה $40$ מטר?

h(t) = -5t^2 + 20t + 25

לחצו «להתחיל». כל סעיף הוא אחד מכלי הפרק: $c$ , הקדקוד, השורשים, ו- $f(x) = k$ .

א.

h(0) = 25

בזמן $t = 0$ : הגובה ההתחלתי הוא $c$ , $25$ מטר.

ב. זמן

\begin{aligned}t_V &= \frac{-20}{2 \cdot (-5)} \\ &= 2\end{aligned}

$a = -5 < 0$ , הקדקוד הוא מקסימום.

ב. גובה

\begin{aligned}h(2) &= -20 + 40 + 25 \\ &= 45\end{aligned}

הגובה הגדול ביותר, $45$ מטר, אחרי $2$ שניות.

ג.

\begin{aligned}-5t^2 + 20t + 25 &= 0 \ \Rightarrow \ t^2 - 4t - 5 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 5 \\ \ t &= -1\end{aligned}

מחלקים ב- $-5$ . הזמן חיובי: $t = 5$ שניות. $t = -1$ נפסל.

ד.

\begin{aligned}-5t^2 + 20t + 25 &= 40 \ \Rightarrow \ t^2 - 4t + 3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 1 \\ \ t &= 3\end{aligned}

פעמיים: בעלייה ובירידה. $40 < 45$ , ולכן הישר $h = 40$ מתחת לקדקוד.

סעיף ד הוא בדיוק «כמה פתרונות יש ל- $f(x) = k$ »: הגובה $40$ נמוך מהמקסימום $45$ , ולכן שתי פעמים, סימטריות סביב $t = 2$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

כמה פעמים האבן בגובה $45$ מטר? ובגובה $50$ ?

להציג את התשובה והפתרון

בגובה $45$ פעם אחת, בקדקוד ( $t = 2$ ). בגובה $50$ אף פעם: המקסימום הוא $45$ . שלושת המקרים של $f(x) = k$ , בלי לפתור שום משוואה.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x) = x^2 - 2x - 8$ . מצאו את השורשים ואת הקדקוד.

שורשים: $x_1 =$ ____ (הקטן), $x_2 =$ ____ ; קדקוד: $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שורשים: $x_1 =$ -2 (הקטן), $x_2 =$ 4 ; קדקוד: $($ 1 $,$ -9 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 - 2x - 8 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 4)(x + 2) \\ &= 0\end{aligned}

השורשים $-2$ ו- $4$

\begin{aligned}x_V &= \frac{-2 + 4}{2} \\ &= 1\end{aligned}

אמצע השורשים, או $\frac{2}{2}$

\begin{aligned}y_V &= 1 - 2 - 8 \\ &= -9\end{aligned}

מציבים

הקדקוד $(1,\,-9)$ הוא מינימום. תחום הירידה $x < 1$ , תחום השליליות $-2 < x < 4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כתבו את $f(x) = x^2 + 6x + 4$ בצורה $a(x - p)^2 + k$ .

$f(x) = (x + 3)^2 + 13$
$f(x) = (x + 3)^2 - 5$
$f(x) = (x + 3)^2 + 4$
$f(x) = (x - 3)^2 - 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $f(x) = (x + 3)^2 - 5$

הפתרון:

\begin{aligned}x_V &= \frac{-6}{2} \\ &= -3 \\ \qquad y_V &= 9 - 18 + 4 \\ &= -5\end{aligned}

הקדקוד $(-3,\,-5)$

f(x) = (x + 3)^2 - 5

$p = -3$ נותן $x + 3$ בסוגריים

x^2 + 6x + 9 - 5 = x^2 + 6x + 4 \ \checkmark

בדיקה

הנכונה: $(x + 3)^2 - 5$ . $(x - 3)^2$ שם את הקדקוד ב- $x = 3$ ; $+4$ מעתיק את $c$ ; $+13$ מוסיף $9$ במקום לגרוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בשרטוט הפרבולה $f(x) = x^2 - 3x - 4$ והישר $g(x) = x + 1$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך $B$ , שה- $x$ שלה גדול יותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 - 3x - 4 &= x + 1 \ \Rightarrow \ x^2 - 4x - 5 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים

\begin{aligned}(x - 5)(x + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \ x &= -1\end{aligned}

השורשים

B(5,\,6)

מציבים בישר: $5 + 1 = 6$

$A(-1,\,0)$ היא גם שורש של הפרבולה: $1 + 3 - 4 = 0$ . השאלה ביקשה את $B$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לאיזה ערך של $k$ הישר $y = 2x + k$ משיק לפרבולה $y = x^2 - 2x + 5$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 - 2x + 5 &= 2x + k \ \Rightarrow \ x^2 - 4x + 5 - k \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים

\begin{aligned}\Delta &= 16 - 4(5 - k) \\ &= 4k - 4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 1\end{aligned}

השקה: $\Delta = 0$

x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \ \Rightarrow \ (2,\,5)

בדיקה: נקודת ההשקה

הסוגריים סביב $5 - k$ הם כל השאלה: $-4(5 - k) = -20 + 4k$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כדור נזרק כלפי מעלה מגג בניין. הגובה שלו במטרים אחרי $t$ שניות הוא $h(t) = -5t^2 + 30t + 35$ . מהו הגובה הגדול ביותר שאליו מגיע הכדור (במטרים)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

\begin{aligned}t_V &= \frac{-30}{2 \cdot (-5)} \\ &= 3\end{aligned}

הזמן של הקדקוד

\begin{aligned}h(3) &= -45 + 90 + 35 \\ &= 80\end{aligned}

הגובה הגדול ביותר

$35$ הוא גובה הגג, לא הגובה המקסימלי: הכדור עולה $45$ מטר מעליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — חקירה מלאה של פרבולה

2 — צורת הקדקוד והערך המקסימלי

3 — פרבולה וישר: חיתוך, ומי מעל מי

4 — לאיזה kkk הישר משיק? הדיסקרימיננטה מכריעה

5 — בעיית גובה: מהקדקוד ועד השאלה «כמה פעמים»

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

4 — לאיזה $k$ הישר משיק? הדיסקרימיננטה מכריעה