פרבולה וישר · הפונקציה הריבועית · כיתה י׳

ישר שעובר דרך פרבולה יכול לחתוך אותה בשתי נקודות, לגעת בה בנקודה אחת, או לא לפגוש אותה בכלל. כל השאלות של היחידה הזאת הן על שלושת המקרים האלה. קודם הסתכלו על נקודות החיתוך של הישר עם הפרבולה, ומה כל אחת מהן.

נקודות החיתוך של פרבולה וישר

בנקודת חיתוך שתי הפונקציות שוות: אותו $x$ , אותו $y$ . לכן משווים ביניהן, מעבירים הכול לאגף אחד, ופותרים משוואה ריבועית. את ה- $y$ מוצאים בהצבה בישר, כי החישוב שם קצר יותר.

שתי נקודות חיתוך

מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה $y = x^2 - 4x + 1$ והישר $y = -x + 5$ .

x^2 - 4x + 1 = -x + 5

משווים

\begin{aligned}x^2 - 3x - 4 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 4)(x + 1) \\ &= 0\end{aligned}

מעבירים לאגף אחד ומפרקים

\begin{aligned}x &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= -4 + 5 \\ &= 1 \qquad x \\ &= -1 \ \Rightarrow \ y \\ &= 1 + 5 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים בישר

(4,\,1) ,\quad (-1,\,6)

שתי נקודות החיתוך. בדיקה בפרבולה: $16 - 16 + 1 = 1$ ✓

בכמה נקודות נפגשים הפרבולה $y = x^2 + 1$ והישר $y = 2x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$x^2 + 1 = 2x$ , כלומר $x^2 - 2x + 1 = 0$ , כלומר $(x - 1)^2 = 0$ . שורש אחד, $x = 1$ : הישר משיק לפרבולה בנקודה $(1,\,2)$ .

חותך, משיק, או לא נפגשים: הדיסקרימיננטה מכריעה

אחרי ההשוואה מקבלים משוואה ריבועית, ומספר הפתרונות שלה הוא מספר נקודות החיתוך. לכן הדיסקרימיננטה של המשוואה שהתקבלה עונה על השאלה, גם כשלא מבקשים את הנקודות עצמן:

\Delta > 0

הישר חותך את הפרבולה בשתי נקודות

\Delta = 0

הישר משיק לפרבולה: נקודה משותפת אחת

\Delta < 0

הישר והפרבולה לא נפגשים

לאיזה ערך של $k$ הישר משיק?

לאיזה ערך של $k$ הישר $y = 2x + k$ משיק לפרבולה $y = x^2$ ?

\begin{aligned}x^2 &= 2x + k \ \Rightarrow \ x^2 - 2x - k \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים לאגף אחד. כאן $a = 1$ , $b = -2$ , $c = -k$

\begin{aligned}\Delta &= 4 + 4k \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= -1\end{aligned}

משיק פירושו פתרון אחד: $\Delta = 0$

\begin{aligned}x^2 - 2x + 1 &= (x - 1)^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (1,\,1)\end{aligned}

בדיקה: נקודת ההשקה

כמה פתרונות יש למשוואה $f(x) = k$ ?

המשוואה $f(x) = k$ שואלת: באילו נקודות הפרבולה בגובה $k$ ? כלומר, כמה פעמים הישר האופקי $y = k$ פוגש את הגרף. את התשובה קוראים מהשרטוט, בלי לפתור: הכול תלוי אם הישר מעל הקדקוד, בקדקוד, או מתחתיו.

y = x² − 4x + 3 ושלושה ישרים אופקיים

הקדקוד

V(2,\,-1)

. הישר

y = 2

פוגש את הפרבולה פעמיים; הישר המקווקו

y = -1

נוגע בה בקדקוד בלבד; הישר

y = -3

לא פוגש אותה. כשהפרבולה פתוחה כלפי מעלה:

k > y_V

שני פתרונות,

k = y_V

פתרון אחד,

k < y_V

אף פתרון.

k > y_V

$a > 0$ : שני פתרונות, אחד מכל צד של ציר הסימטריה

k = y_V

פתרון אחד: הישר נוגע בקדקוד

k < y_V

$a > 0$ : אף פתרון, הישר מתחת לפרבולה

כשהפרבולה פתוחה כלפי מטה הכול מתהפך: שני פתרונות כאשר $k < y_V$ , ואף פתרון כאשר $k > y_V$ . והשאלה «כמה פתרונות יש ל- $f(x) = 0$ » היא המקרה $k = 0$ : סופרים כמה פעמים הגרף חוצה את ציר ה- $x$ .

נתונה $f(x) = x^2 - 4x + 3$ . לאיזה ערך של $k$ יש למשוואה $f(x) = k$ פתרון אחד בדיוק?

להציג את התשובה והפתרון

$k = -1$ , גובה הקדקוד. הישר $y = -1$ נוגע בפרבולה בנקודה אחת, $V(2,\,-1)$ . לכל $k > -1$ יש שני פתרונות, ולכל $k < -1$ אין.

בעיה מילולית: הגובה הגדול ביותר

כשגובה של כדור, של סילון מים או של רקטת צעצוע נתון על ידי פונקציה ריבועית עם $a < 0$ , הגובה הגדול ביותר הוא גובה הקדקוד, והזמן שבו הוא מתקבל הוא $x_V$ . לא צריך שום כלי נוסף: הקדקוד עונה על שתי השאלות.

הגובה המקסימלי של כדור

כדור נבעט כלפי מעלה. הגובה שלו במטרים אחרי $t$ שניות הוא $h(t) = -5t^2 + 30t$ . מתי הכדור בגובה הגדול ביותר, ומהו הגובה הזה?

a = -5 < 0

פתוחה כלפי מטה: הקדקוד הוא מקסימום

\begin{aligned}t_V &= \frac{-30}{2 \cdot (-5)} \\ &= 3\end{aligned}

אחרי $3$ שניות

\begin{aligned}h(3) &= -45 + 90 \\ &= 45\end{aligned}

גובה מקסימלי $45$ מטר

תזכורת: הישר $y = mx + n$

בכל השאלות האלה מופיע גם ישר, ולפעמים צריך לכתוב אותו: למשל, ישר דרך שתי נקודות של הפרבולה. $m$ הוא השיפוע, $n$ הוא החיתוך עם ציר ה- $y$ , ודרך שתי נקודות $(x_1,\,y_1)$ ו- $(x_2,\,y_2)$ :

\begin{aligned}m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ \qquad y - y_1 &= m(x - x_1)\end{aligned}

שתי הטעויות של פרבולה וישר.

\begin{aligned}x^2 - 3x + 2 &= x - 1 \ \Rightarrow \ x^2 - 3x + 2 \\ &= 0\end{aligned}

x^2 - 4x + 3 = 0

אחרי ההשוואה מעבירים את הישר לאגף השני. מי שפותר את הפרבולה לבד מוצא את השורשים שלה, לא את החיתוך עם הישר.

\Delta = 0 \ \Rightarrow \ 0

\Delta = 0 \ \Rightarrow \ 1

$\Delta = 0$ אינו «אין חיתוך» אלא השקה: נקודה משותפת אחת. «אין חיתוך» הוא $\Delta < 0$ .

בשרטוט שלמעלה, כמה פתרונות יש למשוואה $x^2 - 4x + 3 = 0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

שניים. זה המקרה $k = 0$ : ציר ה- $x$ עצמו. הוא מעל הקדקוד ( $0 > -1$ ), ולכן חוצה את הפרבולה פעמיים, ב- $x = 1$ וב- $x = 3$ .

תרגילים

תרגיל 1

בשרטוט הפרבולה $y = x^2 - 2x - 3$ והישר $y = x + 1$ . א. מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך $B$ , שה- $x$ שלה גדול יותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x^2 - 2x - 3 = x + 1

משווים

\begin{aligned}x^2 - 3x - 4 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 4)(x + 1) \\ &= 0\end{aligned}

מעבירים לאגף אחד ומפרקים

\begin{aligned}x &= 4 \\ \quad x &= -1\end{aligned}

$B$ הוא הגדול: $x = 4$

הנקודה $A$ היא $x = -1$ , שורש של הפרבולה וגם נקודת חיתוך. השאלה מבקשת את השנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בשרטוט הפרבולה $y = x^2 - 2x - 3$ והישר $y = x + 1$ . ב. מצאו את שיעור ה- $y$ של הנקודה $B$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}y &= 4 + 1 \\ &= 5\end{aligned}

מציבים $x = 4$ בישר

16 - 8 - 3 = 5 \ \checkmark

בדיקה בפרבולה

$B(4,\,5)$ . מציבים בישר כי זה קצר, ובודקים בפרבולה כי זה בטוח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בכמה נקודות נפגשים הפרבולה $y = x^2 + 3$ והישר $y = 2x$ ?

שתיים
אחת
אף אחת
אי אפשר לדעת בלי שרטוט

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אף אחת

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 + 3 &= 2x \ \Rightarrow \ x^2 - 2x + 3 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים

\begin{aligned}\Delta &= 4 - 12 \\ &= -8 < 0\end{aligned}

אין פתרון

הנכונה: אף אחת. הפרבולה כולה מעל הישר. אין צורך בשרטוט: הדיסקרימיננטה של המשוואה שהתקבלה אומרת הכול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לאיזה ערך של $k$ הישר $y = 4x + k$ משיק לפרבולה $y = x^2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 &= 4x + k \ \Rightarrow \ x^2 - 4x - k \\ &= 0\end{aligned}

משווים. כאן $c = -k$

\begin{aligned}\Delta &= 16 + 4k \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= -4\end{aligned}

משיק: $\Delta = 0$

x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \ \Rightarrow \ (2,\,4)

בדיקה: נקודת ההשקה

שימו לב לסימן: $c = -k$ , ולכן $-4ac = +4k$ . מי שכתב $16 - 4k = 0$ מקבל $k = 4$ , ואז $x^2 - 4x - 4$ עם שני פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בשרטוט הפרבולה $y = -x^2 + 2x + 3$ , שקדקודה $V(1,\,4)$ . לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $-x^2 + 2x + 3 = k$ שני פתרונות?

$k < 4$
$k < 0$
$k > 4$
$k = 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $k < 4$

הפתרון:

\begin{aligned}a &= -1 < 0 \\ \qquad y_V &= 4\end{aligned}

פתוחה כלפי מטה, המקסימום $4$

k < 4

ישר אופקי מתחת לקדקוד חוצה את הפרבולה פעמיים

הנכונה: $k < 4$ . בפרבולה שפתוחה כלפי מטה שני הפתרונות הם מתחת לקדקוד. $k < 0$ נכון אבל חלקי: גם $k = 2$ נותן שני פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בשרטוט הפרבולה $y = x^2 - 6x + 8$ , עם השורשים $x = 2$ ו- $x = 4$ . לאיזה ערך של $k$ יש למשוואה $x^2 - 6x + 8 = k$ פתרון אחד בדיוק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

\begin{aligned}x_V &= \frac{2 + 4}{2} \\ &= 3\end{aligned}

אמצע בין השורשים

\begin{aligned}y_V &= 9 - 18 + 8 \\ &= -1\end{aligned}

גובה הקדקוד

k = -1

הישר $y = -1$ נוגע בפרבולה בקדקוד בלבד

פתרון אחד בדיוק מתקבל רק כשהישר האופקי עובר דרך הקדקוד. $k = 0$ נותן שניים: השורשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בשרטוט הפרבולה $y = x^2 + 2x + 3$ , שקדקודה $V(-1,\,2)$ . כמה פתרונות יש למשוואה $x^2 + 2x + 3 = 0$ ?

פתרון אחד
אף פתרון
אי אפשר לדעת מהשרטוט
שני פתרונות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אף פתרון

הפתרון:

\begin{aligned}k &= 0 < y_V \\ &= 2\end{aligned}

ציר ה- $x$ נמצא מתחת לקדקוד

a = 1 > 0

פתוחה כלפי מעלה: הגרף לא יורד אל הציר

\begin{aligned}\Delta &= 4 - 12 \\ &= -8 < 0 \ \checkmark\end{aligned}

אימות באלגברה

הנכונה: אף פתרון. $f(x) = 0$ הוא המקרה $k = 0$ : סופרים כמה פעמים הגרף חוצה את ציר ה- $x$ . כאן הוא מרחף מעליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

כדור נזרק כלפי מעלה. הגובה שלו במטרים אחרי $t$ שניות הוא $h(t) = -5t^2 + 40t$ . מהו הגובה הגדול ביותר שאליו מגיע הכדור (במטרים)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

\begin{aligned}t_V &= \frac{-40}{2 \cdot (-5)} \\ &= 4\end{aligned}

הזמן של הקדקוד

\begin{aligned}h(4) &= -80 + 160 \\ &= 80\end{aligned}

מציבים

הגובה הגדול ביותר הוא ה- $y$ של הקדקוד, $80$ מטר. מי שענה $4$ נתן את הזמן שבו הוא מתקבל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מקיפים חלקת גינה בגדר באורך $40$ מטר. כאשר אחת הצלעות היא $x$ מטר, שטח החלקה במ״ר הוא $S(x) = 20x - x^2$ . מהו השטח הגדול ביותר האפשרי (במ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= -x^2 + 20x \\ \qquad a &= -1 < 0\end{aligned}

פרבולה שפתוחה כלפי מטה: יש מקסימום

\begin{aligned}x_V &= \frac{-20}{2 \cdot (-1)} \\ &= 10\end{aligned}

הצלע שנותנת את השטח הגדול ביותר

\begin{aligned}S(10) &= 200 - 100 \\ &= 100\end{aligned}

השטח המקסימלי

השטח הגדול ביותר מתקבל כשהחלקה ריבועית, $10$ על $10$ . זו תוצאה כללית: להיקף נתון, הצורה השווה מנצחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בשרטוט הפרבולה $y = x^2 - 4x + 1$ והנקודות $A$ ו- $B$ שעליה, שבהן $x = 0$ ו- $x = 3$ . מצאו את משוואת הישר $AB$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -1 $x +$ 1

הפתרון:

\begin{aligned}A(0,\,1) \\ \qquad B(3,\,9 - 12 + 1) &= B(3,\,-2)\end{aligned}

מציבים בפרבולה

\begin{aligned}m &= \frac{-2 - 1}{3 - 0} \\ &= -1\end{aligned}

השיפוע דרך שתי נקודות

y = -x + 1

$A$ על ציר ה- $y$ , ולכן $n = 1$

הנקודות עצמן באות מהפרבולה, הישר בא מהנקודות. בדיקה עם $B$ : $-3 + 1 = -2$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

נקודות החיתוך של פרבולה וישר

חותך, משיק, או לא נפגשים: הדיסקרימיננטה מכריעה

כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=kf(x) = kf(x)=k?

בעיה מילולית: הגובה הגדול ביותר

תזכורת: הישר y=mx+ny = mx + ny=mx+n

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

כמה פתרונות יש למשוואה $f(x) = k$ ?

תזכורת: הישר $y = mx + n$