עלייה וירידה, סימן וצורת הקדקוד · הפונקציה הריבועית · כיתה י׳

פרבולה שפתוחה כלפי מעלה יורדת עד הקדקוד ועולה אחריו. ובין שני השורשים היא מתחת לציר ה- $x$ . שני המשפטים האלה הם השלבים 5 ו-6 של החקירה, ואת שניהם רואים בצבע לפני שכותבים אותם.

עלייה וירידה

קוראים את הגרף משמאל לימין, כמו שקוראים מספרים על ציר ה- $x$ . ההחלפה בין ירידה לעלייה קורית בקדקוד, ולכן צריך רק את $x_V$ ואת כיוון הפתיחה:

a > 0

יורדת כאשר $x < x_V$ , עולה כאשר $x > x_V$ . הקדקוד הוא מינימום.

a < 0

עולה כאשר $x < x_V$ , יורדת כאשר $x > x_V$ . הקדקוד הוא מקסימום.

תחומי עלייה וירידה

מצאו את תחומי העלייה והירידה של $y = -x^2 + 6x - 5$ , וקבעו את סוג הקדקוד.

\begin{aligned}x_V &= \frac{-6}{2 \cdot (-1)} \\ &= 3\end{aligned}

ה- $x$ של הקדקוד

a = -1 < 0

פתוחה כלפי מטה

x < 3 \ \nearrow \qquad x > 3 \ \searrow

עולה משמאל לקדקוד, יורדת מימין לו

\begin{aligned}y_V &= -9 + 18 - 5 \\ &= 4\end{aligned}

הקדקוד $(3,\,4)$ הוא מקסימום, והערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא $4$

תחומי עלייה וירידה נכתבים תמיד בערכי $x$ — גם כשהשאלה מדברת על גובה, על זמן או על מחיר. « $y > 4$ » אינו תחום עלייה.

מהו תחום הירידה של $y = 2x^2 + 4x - 1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$x_V = \frac{-4}{4} = -1$ , ו- $a = 2 > 0$ : הפרבולה יורדת לפני הקדקוד. תחום הירידה: $x < -1$ .

חיוביות ושליליות

הפונקציה חיובית במקומות שבהם הגרף מעל ציר ה- $x$ , ושלילית במקומות שבהם הוא מתחתיו. הסימן מתחלף רק בשורשים, ולכן קודם מוצאים אותם, ואז מסתכלים על כיוון הפתיחה:

a > 0

שלילית בין השורשים, חיובית מחוץ להם: $x < x_1$ או $x > x_2$

a < 0

חיובית בין השורשים, שלילית מחוץ להם

\Delta < 0

אין שורשים, אין החלפת סימן: הפונקציה כולה חיובית ( $a > 0$ ) או כולה שלילית ( $a < 0$ )

y = x² − x − 6: שלילית בין A ל-B, חיובית מחוץ להם

השורשים

x = -2

ו-

x = 3

. בין

A

ל-

B

הגרף מתחת לציר, ומשני הצדדים הוא מעליו.

a = 1 > 0

תחומי חיוביות ושליליות

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של $y = x^2 - x - 6$ .

\begin{aligned}x^2 - x - 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 3)(x + 2) \\ &= 0\end{aligned}

השורשים: $x = 3$ , $x = -2$

a = 1 > 0

פתוחה כלפי מעלה: שלילית בין השורשים

-2 < x < 3

תחום השליליות

x < -2 \ \text{או} \ x > 3

תחום החיוביות: שני קטעים, בלי לשכוח אף אחד

מהו תחום החיוביות של $y = -x^2 + 4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

השורשים: $x^2 = 4$ , כלומר $x = -2$ ו- $x = 2$ . $a = -1 < 0$ : חיובית בין השורשים. תחום החיוביות: $-2 < x < 2$ .

צורת הקדקוד: $y = a(x - p)^2 + k$

את אותה פרבולה אפשר לכתוב בצורה שבה הקדקוד כתוב בתוך המשוואה. בצורה $y = a(x - p)^2 + k$ הקדקוד הוא $(p,\,k)$ , בלי שום חישוב. שימו לב לסימן: $(x - 3)^2$ אומר $p = 3$ , ו- $(x + 3)^2$ אומר $p = -3$ .

y = a(x - p)^2 + k \qquad V(p,\,k)

למה זה עובד? $(x - p)^2$ הוא אפס כאשר $x = p$ וחיובי בכל מקום אחר. לכן כש- $a > 0$ הביטוי $a(x - p)^2 + k$ הוא לפחות $k$ , ובדיוק $k$ ב- $x = p$ : זה המינימום.

מצורת הקדקוד לצורה הרגילה פותחים סוגריים. מהצורה הרגילה לצורת הקדקוד מחשבים את הקדקוד כרגיל, ואז כותבים אותו במקום:

מהצורה הרגילה לצורת הקדקוד

כתבו את $y = x^2 - 6x + 5$ בצורה $a(x - p)^2 + k$ .

\begin{aligned}x_V &= \frac{6}{2} \\ &= 3 \\ \qquad y_V &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

הקדקוד $(3,\,-4)$

y = (x - 3)^2 - 4

$a = 1$ , $p = 3$ , $k = -4$

\begin{aligned}(x - 3)^2 - 4 &= x^2 - 6x + 9 - 4 \\ &= x^2 - 6x + 5 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: פותחים סוגריים וחוזרים למקור

מצורת הקדקוד לשורשים

נתונה $y = 2(x + 1)^2 - 8$ . מצאו את הקדקוד ואת השורשים.

V(-1,\,-8)

$p = -1$ בגלל הפלוס בסוגריים, $k = -8$ . מינימום, כי $a = 2 > 0$

\begin{aligned}2(x + 1)^2 - 8 &= 0 \ \Rightarrow \ (x + 1)^2 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים $y = 0$ ומבודדים את הסוגריים

\begin{aligned}x + 1 &= \pm 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= -3\end{aligned}

שורש לשני הכיוונים

שתי הטעויות של צורת הקדקוד.

y = (x - 3)^2 + 2 \ \Rightarrow \ V(-3,\,2)

V(3,\,2)

הסימן שבתוך הסוגריים מתהפך: $(x - p)^2$ עם $p = 3$ . הקדקוד הוא במקום שבו הסוגריים מתאפסים, כלומר $x = 3$ .

x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 + 5

x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4

$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$ כבר מכיל $+9$ . כדי להישאר עם $+5$ צריך לגרוע $9$ : $5 - 9 = -4$ .

מהו קדקוד הפרבולה $y = -3(x + 2)^2 + 7$ , והאם הוא מינימום או מקסימום?

להציג את התשובה והפתרון

$(-2,\,7)$ , ומקסימום, כי $a = -3 < 0$ . הפלוס בסוגריים נותן $p = -2$ .

תרגילים

תרגיל 1

מהו תחום העלייה של הפרבולה $y = x^2 + 4x - 5$ ?

$x < -2$
$y > -9$
$x > -2$
$x > -5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x > -2$

הפתרון:

\begin{aligned}x_V &= \frac{-4}{2} \\ &= -2\end{aligned}

ה- $x$ של הקדקוד

a = 1 > 0

פתוחה כלפי מעלה: עולה אחרי הקדקוד

הנכונה: $x > -2$ . $x < -2$ הוא תחום הירידה, ו- $y > -9$ אינו תחום כלל: תחומים נכתבים בערכי $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו תחום הירידה של הפרבולה $y = -x^2 + 8x - 7$ ?

$x > 7$
$x > 4$
$1 < x < 7$
$x < 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x > 4$

הפתרון:

\begin{aligned}x_V &= \frac{-8}{2 \cdot (-1)} \\ &= 4\end{aligned}

ה- $x$ של הקדקוד

a = -1 < 0

פתוחה כלפי מטה: יורדת אחרי הקדקוד

הנכונה: $x > 4$ . $1 < x < 7$ הוא תחום החיוביות, שאלה אחרת לגמרי. ב- $a < 0$ הירידה באה אחרי הקדקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו הערך המינימלי של הפונקציה $y = x^2 - 10x + 21$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

a = 1 > 0

יש מינימום, בקדקוד

\begin{aligned}x_V &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

ה- $x$ של הקדקוד

\begin{aligned}y_V &= 25 - 50 + 21 \\ &= -4\end{aligned}

הערך המינימלי

הערך המינימלי הוא ה- $y$ של הקדקוד, $-4$ . מי שענה $5$ נתן את ה- $x$ שבו הוא מתקבל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו הערך המקסימלי של הפונקציה $y = -2x^2 + 12x - 10$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

a = -2 < 0

יש מקסימום, בקדקוד

\begin{aligned}x_V &= \frac{-12}{2 \cdot (-2)} \\ &= 3\end{aligned}

ה- $x$ של הקדקוד

\begin{aligned}y_V &= -18 + 36 - 10 \\ &= 8\end{aligned}

הערך המקסימלי

בהצבה של $x = 3$ שימו לב ל- $-2 \cdot 9 = -18$ : המינוס של $a$ נשאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו תחום החיוביות של הפרבולה $y = x^2 - 2x - 8$ ?

$x < -2$ או $x > 4$
$x < 4$
$x > 1$
$-2 < x < 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x < -2$ או $x > 4$

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 - 2x - 8 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 4)(x + 2) \\ &= 0\end{aligned}

השורשים $x = 4$ , $x = -2$

a = 1 > 0

פתוחה כלפי מעלה: חיובית מחוץ לשורשים

הנכונה: $x < -2$ או $x > 4$ . $-2 < x < 4$ הוא תחום השליליות. תחום החיוביות של פרבולה שפתוחה כלפי מעלה הוא תמיד שני קטעים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו תחום השליליות של הפרבולה $y = -x^2 + 6x - 5$ ?

$x > 5$
$x < 3$
$x < 1$ או $x > 5$
$1 < x < 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x < 1$ או $x > 5$

הפתרון:

\begin{aligned}-x^2 + 6x - 5 &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 - 6x + 5 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים ב- $-1$

(x - 1)(x - 5) = 0

השורשים $x = 1$ , $x = 5$

a = -1 < 0

פתוחה כלפי מטה: שלילית מחוץ לשורשים

הנכונה: $x < 1$ או $x > 5$ . $x > 5$ לבד שוכח את הצד השמאלי. $1 < x < 5$ הוא תחום החיוביות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפרבולה $y = (x - 4)^2 - 9$ . השלימו.

קדקוד: $x =$ ____ , $y =$ ____ ; חיתוך עם ציר $y$ : $(0,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: קדקוד: $x =$ 4 , $y =$ -9 ; חיתוך עם ציר $y$ : $(0,$ 7 $)$

הפתרון:

V(4,\,-9)

קוראים מצורת הקדקוד: $p = 4$ , $k = -9$

\begin{aligned}y(0) &= (0 - 4)^2 - 9 \\ &= 16 - 9 \\ &= 7\end{aligned}

מציבים $x = 0$

החיתוך עם ציר ה- $y$ אינו $-9$ : בצורת הקדקוד $k$ הוא גובה הקדקוד, לא $c$ . צריך להציב $x = 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

כתבו את $y = x^2 + 8x + 11$ בצורה $a(x - p)^2 + k$ .

$y = (x + 4)^2 + 27$
$y = (x + 4)^2 - 5$
$y = (x - 4)^2 - 5$
$y = (x + 4)^2 + 11$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $y = (x + 4)^2 - 5$

הפתרון:

\begin{aligned}x_V &= \frac{-8}{2} \\ &= -4 \\ \qquad y_V &= 16 - 32 + 11 \\ &= -5\end{aligned}

הקדקוד $(-4,\,-5)$

y = (x + 4)^2 - 5

$p = -4$ , ולכן $x - (-4) = x + 4$

x^2 + 8x + 16 - 5 = x^2 + 8x + 11 \ \checkmark

בדיקה

הנכונה: $(x + 4)^2 - 5$ . $(x - 4)^2$ מציב את הקדקוד ב- $x = 4$ , בצד הלא נכון. $+11$ מעתיק את $c$ במקום לחשב את $k$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה $y = x^2 + 2x + 3$ חיובית לכל $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\Delta &= 4 - 12 \\ &= -8 < 0\end{aligned}

אין שורשים: הסימן לא מתחלף אף פעם

a = 1 > 0

פתוחה כלפי מעלה, ולכן כולה מעל הציר

y = (x + 1)^2 + 2 \geq 2

דרך שנייה: צורת הקדקוד, המינימום הוא $2$

הטענה נכונה. פרבולה בלי שורשים לא חוצה את ציר ה- $x$ , אז היא כולה בצד אחד, והצד נקבע לפי $a$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בשרטוט הפרבולה $y = -x^2 + 2x + 3$ , עם השורשים $x = -1$ ו- $x = 3$ והקדקוד $(1,\,4)$ . מיינו את הטענות.

נכון
לא נכון

הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0,\,3)$
הפונקציה חיובית כאשר $-1 < x < 3$
הפונקציה יורדת כאשר $x < 1$
הפונקציה עולה כאשר $x < 1$
הפונקציה שלילית כאשר $x > 3$
הקדקוד $(1,\,4)$ הוא נקודת מינימום

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הפונקציה עולה כאשר $x < 1$ — נכון · הפונקציה חיובית כאשר $-1 < x < 3$ — נכון · הקדקוד $(1,\,4)$ הוא נקודת מינימום — לא נכון · הפונקציה שלילית כאשר $x > 3$ — נכון · הפונקציה יורדת כאשר $x < 1$ — לא נכון · הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0,\,3)$ — נכון

הפתרון:

a = -1 < 0

פתוחה כלפי מטה: הקדקוד הוא מקסימום, ועולים אליו משמאל

-1 < x < 3 \ \Rightarrow \ y > 0

בין השורשים הגרף מעל הציר

y(0) = 3

הנקודה $C$

בפרבולה שפתוחה כלפי מטה הכול הפוך מהמקרה המוכר: עולה לפני הקדקוד, וחיובית בין השורשים. השרטוט מונע את הבלבול: מסתכלים, לא משננים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

עלייה וירידה

חיוביות ושליליות

צורת הקדקוד: y=a(x−p)2+ky = a(x - p)^2 + ky=a(x−p)2+k

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

צורת הקדקוד: $y = a(x - p)^2 + k$