חקירת הפרבולה — פתיחה, צירים וקדקוד

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

את הפרבולה פגשתם בכיתה ט. בכיתה י חוזרים עליה, כי חקירה מלאה של פרבולה היא שאלה שלמה בבגרות של 4 יחידות, ויש לה סדר קבוע. לפני הכללים, שחקו עם הפרבולה עצמה.

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c

סדר החקירה

11

כיוון הפתיחה — a>0a > 0 כלפי מעלה, a<0a < 0 כלפי מטה.

22

חיתוך עם ציר yy — מציבים x=0x = 0, ומקבלים בדיוק cc.

33

חיתוך עם ציר xx — פותרים ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0.

44

קדקוד — x=−b2ax = \frac{-b}{2a}, ואז מציבים כדי למצוא את ה-yy.

55

עלייה וירידה — משני צדי הקדקוד.

66

חיוביות ושליליות — לפי השורשים וכיוון הפתיחה.

ביחידה הזאת עושים את ארבעת השלבים הראשונים. השלבים 5 ו-6 מחכים ביחידה הבאה.

כיוון הפתיחה והחיתוך עם ציר yy

שני השלבים הראשונים לא דורשים שום חישוב. הסימן של aa אומר לאן הפרבולה פתוחה, והמספר cc אומר איפה היא חוצה את ציר ה-yy: כשמציבים x=0x = 0, שני האיברים הראשונים מתאפסים ונשאר cc.

שני שלבים בלי חישוב

נתונה הפרבולה y=−2x2+8x−6y = -2x^2 + 8x - 6. מהו כיוון הפתיחה, ואיפה היא חותכת את ציר ה-yy?

a=−2<0a = -2 < 0

פתוחה כלפי מטה

x=0 ⇒ y=−6\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= -6\end{aligned}

חותכת את ציר ה-yy בנקודה (0, −6)(0,\,-6)

באיזו נקודה חותכת הפרבולה y=3x2−x+7y = 3x^2 - x + 7 את ציר ה-yy?

להציג את התשובה והפתרון

(0, 7)(0,\,7). מציבים x=0x = 0 ומקבלים y=c=7y = c = 7. הסימן של a=3a = 3 אומר גם שהיא פתוחה כלפי מעלה.

חיתוך עם ציר xx והדיסקרימיננטה

על ציר ה-xx הגובה הוא אפס, ולכן מציבים y=0y = 0 ופותרים משוואה ריבועית. לפעמים בפירוק לגורמים, ולפעמים בנוסחה:

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

הביטוי שמתחת לשורש נקרא דיסקרימיננטה ומסמנים אותו Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. הוא קובע כמה שורשים יש, עוד לפני שפותרים:

Δ>0\Delta > 0

שני שורשים: הפרבולה חותכת את ציר ה-xx בשתי נקודות

Δ=0\Delta = 0

שורש אחד: הפרבולה משיקה לציר ה-xx, והקדקוד יושב על הציר

Δ<0\Delta < 0

אף שורש: הפרבולה כולה מעל הציר או כולה מתחתיו

חיתוך עם ציר xx

מצאו את נקודות החיתוך של y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5 עם ציר ה-xx.

x2−6x+5=0x^2 - 6x + 5 = 0

מציבים y=0y = 0

Δ=36−20=16>0\begin{aligned}\Delta &= 36 - 20 \\ &= 16 > 0\end{aligned}

שני שורשים

(x−1)(x−5)=0 ⇒ x=1 x=5\begin{aligned}(x - 1)(x - 5) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 5\end{aligned}

מכפלה 55, סכום 66

(1, 0),(5, 0)(1,\,0) ,\quad (5,\,0)

שתי נקודות החיתוך

כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xx יש לפרבולה y=2x2+3x−2y = 2x^2 + 3x - 2?

להציג את התשובה והפתרון

שתיים. Δ=9+16=25>0\Delta = 9 + 16 = 25 > 0. ואם רוצים אותן: x=−3±54x = \frac{-3 \pm 5}{4}, כלומר x=12x = \frac{1}{2} ו-x=−2x = -2.

הקדקוד וציר הסימטריה

הקדקוד הוא הנקודה הנמוכה ביותר של פרבולה שפתוחה כלפי מעלה, או הגבוהה ביותר של פרבולה שפתוחה כלפי מטה. את ה-xx שלו נותנת נוסחה, ואת ה-yy מקבלים בהצבה:

xV=−b2ayV=f(xV)\begin{aligned}x_V &= \frac{-b}{2a} \\ \qquad y_V &= f(x_V)\end{aligned}

הישר האנכי x=xVx = x_V הוא ציר הסימטריה: שני צדי הפרבולה הם תמונת ראי זה של זה. לכן כל שתי נקודות באותו גובה נמצאות במרחק שווה מציר הסימטריה, ובפרט שני השורשים.

y = x² − 2x − 3: השורשים, הקדקוד וציר הסימטריה
השורשים A(−1, 0)A(-1,\,0) ו-B(3, 0)B(3,\,0) נמצאים במרחק 22 מכל צד של הישר המקווקו x=1x = 1. הקדקוד V(1, −4)V(1,\,-4) יושב עליו.

הקדקוד יושב בדיוק באמצע בין שני השורשים — כי הפרבולה סימטרית. אם כבר מצאתם את השורשים, הממוצע שלהם נותן את xx של הקדקוד בלי הנוסחה: −1+32=1\frac{-1 + 3}{2} = 1.

קדקוד בנוסחה ובהצבה

מצאו את קדקוד הפרבולה y=2x2−8x+3y = 2x^2 - 8x + 3 ואת ציר הסימטריה שלה.

xV=−(−8)2⋅2=84=2\begin{aligned}x_V &= \frac{-(-8)}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

נוסחת הקדקוד, עם המינוס

yV=2⋅4−16+3=−5\begin{aligned}y_V &= 2 \cdot 4 - 16 + 3 \\ &= -5\end{aligned}

מציבים x=2x = 2 בפונקציה

V(2, −5)x=2\begin{aligned}V(2,\,-5) \\ \qquad x &= 2\end{aligned}

הקדקוד וציר הסימטריה

שתי הטעויות של הקדקוד.

xV=b2ax_V = \frac{b}{2a}
xV=−b2ax_V = \frac{-b}{2a}

המינוס הוא חלק מהנוסחה. ב-b=−8b = -8 מקבלים xV=+2x_V = +2, לא −2-2.

yV=cy_V = c
yV=f(xV)y_V = f(x_V)

cc הוא הגובה של הפרבולה ב-x=0x = 0, כלומר החיתוך עם ציר ה-yy. גובה הקדקוד מתקבל רק בהצבה של xVx_V.

מה אומרת הדיסקרימיננטה Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac?

להציג את התשובה והפתרון

Δ>0\Delta > 0 — שני פתרונות; Δ=0\Delta = 0 — פתרון אחד (הפרבולה משיקה לציר); Δ<0\Delta < 0 — אין פתרונות ממשיים.

איך מוצאים את קדקוד הפרבולה y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c?

להציג את התשובה והפתרון

x=−b2ax = \frac{-b}{2a}, ואת ה-yy מקבלים בהצבה. זהו גם ציר הסימטריה.

תרגילים

תרגיל 1

מהו ה-xx של קדקוד הפרבולה y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x=−b2a=62\begin{aligned}x &= \frac{-b}{2a} \\ &= \frac{6}{2}\end{aligned}

מציבים

=3= 3

התוצאה

המינוס בנוסחה הופך את −6-6 ל-+6+6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותה פרבולה — מהו ה-yy של הקדקוד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

f(3)=9−18+5f(3) = 9 - 18 + 5

מציבים בפונקציה

=−4= -4

התוצאה

הקדקוד הוא (3, −4)(3,\,-4).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הפרבולה y=−2x2+8xy = -2x^2 + 8x — לאן היא פתוחה?

  1. ימינה
  2. כלפי מעלה
  3. כלפי מטה
  4. תלוי ב-bb
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כלפי מטה

הפתרון:

a=−2<0a = -2 < 0

מקדם שלילי

רק הסימן של aa קובע את כיוון הפתיחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מצאו את השורש הקטן של x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0:

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

(x−2)(x−3)=0(x-2)(x-3) = 0

פירוק לגורמים — 2 ו-3

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה נקודות חיתוך יש ל-y=x2+2x+5y = x^2 + 2x + 5 עם ציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

b2−4ac=4−20=−16\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 4 - 20 \\ &= -16\end{aligned}

שלילי

Δ<0\Delta < 0

אין שורשים: הפרבולה כולה מעל הציר

אין צורך לפתור — הביטוי מתחת לשורש מספיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בכמה נקודות חותכת הפרבולה y=x2+1y = x^2 + 1 את ציר ה-x?

  1. אחת
  2. אף אחת
  3. שתיים
  4. תלוי ב-x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אף אחת

הפתרון:

x2+1≥1>0x^2 + 1 \ge 1 > 0

תמיד מעל הציר

הערך הקטן ביותר הוא 1 (בקודקוד) — הפרבולה כולה מרחפת מעל ציר ה-x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

למשוואה x2−4=0x^2 - 4 = 0:

שני פתרונות: ____ ומינוס ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שני פתרונות: 2 ומינוס 2.

הפתרון:

x2=4  ⇒  x=±2\begin{aligned}x^2 &= 4 \;\Rightarrow\; x \\ &= \pm 2\end{aligned}

שורש לשני הכיוונים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פרבולה חותכת את ציר ה-xx ב-x=1x = 1 וב-x=7x = 7. מהו ציר הסימטריה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

(1+7):2=4(1 + 7) : 2 = 4

ממוצע השורשים

הקדקוד תמיד באמצע בין השורשים — בלי צורך בנוסחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כאשר המקדם של x2x^2 חיובי, לפרבולה יש נקודת מינימום.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

a>0  ⇒  ∪a > 0 \;\Rightarrow\; \cup

הסימן של a קובע את הכיוון

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בשרטוט הפרבולה y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3. השורשים שלה הם x=−1x = -1 ו-x=3x = 3. מצאו את הקדקוד בלי הנוסחה, מתוך הסימטריה.

קדקוד: x=x = ____ , y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: קדקוד: x=x = 1 , y=y = 4

הפתרון:

xV=−1+32=1\begin{aligned}x_V &= \frac{-1 + 3}{2} \\ &= 1\end{aligned}

אמצע בין השורשים

yV=−1+2+3=4\begin{aligned}y_V &= -1 + 2 + 3 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים x=1x = 1

xV=−22⋅(−1)=1 ✓\begin{aligned}x_V &= \frac{-2}{2 \cdot (-1)} \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה בנוסחה

הקדקוד (1, 4)(1,\,4) הוא מקסימום, כי a=−1<0a = -1 < 0. מי שכתב yV=3y_V = 3 לקח את cc: זו הנקודה CC על ציר ה-yy, לא הקדקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת