סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות של שני צעדים: שורשים, קדקוד, תחומי חיוביות, צורת הקדקוד, חיתוך עם ישר, השקה לציר, וקריאת f(x)=kf(x) = k מהשרטוט.

בכל שאלה על סימן קודם מוצאים את השורשים, ואז מסתכלים על aa. בכל שאלה על עלייה וירידה קודם מוצאים את הקדקוד, ואז מסתכלים על aa.

תרגילים

תרגיל 1

הפרבולה y=x2−7x+10y = x^2 - 7x + 10 חותכת את ציר ה-xx בשתי נקודות. השלימו.

השורש הקטן x1=x_1 = ____ , השורש הגדול x2=x_2 = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: השורש הקטן x1=x_1 = 2 , השורש הגדול x2=x_2 = 5

הפתרון:

x2−7x+10=0x^2 - 7x + 10 = 0

מציבים y=0y = 0

(x−2)(x−5)=0 ⇒ x=2 x=5\begin{aligned}(x - 2)(x - 5) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= 5\end{aligned}

מכפלה 1010, סכום 77

הנקודות (2, 0)(2,\,0) ו-(5, 0)(5,\,0). הקדקוד באמצע, ב-x=3.5x = 3.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו שיעור ה-yy של קדקוד הפרבולה y=−x2+6x−1y = -x^2 + 6x - 1?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

xV=−62⋅(−1)=3\begin{aligned}x_V &= \frac{-6}{2 \cdot (-1)} \\ &= 3\end{aligned}

ה-xx של הקדקוד

yV=−9+18−1=8\begin{aligned}y_V &= -9 + 18 - 1 \\ &= 8\end{aligned}

מציבים

בהצבה −32=−9-3^2 = -9: המינוס שלפני x2x^2 נשאר. הקדקוד (3, 8)(3,\,8) הוא מקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו תחום החיוביות של הפרבולה y=x2−9y = x^2 - 9?

  1. x>9x > 9
  2. x>3x > 3
  3. x<−3x < -3 או x>3x > 3
  4. −3<x<3-3 < x < 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x<−3x < -3 או x>3x > 3

הפתרון:

x2−9=0 ⇒ x=±3\begin{aligned}x^2 - 9 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 3\end{aligned}

השורשים

a=1>0a = 1 > 0

חיובית מחוץ לשורשים

הנכונה: x<−3x < -3 או x>3x > 3. x>3x > 3 לבד שוכח את הצד השמאלי, שבו x2x^2 גדול בדיוק כמו בצד הימני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כתבו את y=x2−4x+7y = x^2 - 4x + 7 בצורה a(x−p)2+ka(x - p)^2 + k.

  1. y=(x−2)2+7y = (x - 2)^2 + 7
  2. y=(x−2)2−3y = (x - 2)^2 - 3
  3. y=(x−2)2+3y = (x - 2)^2 + 3
  4. y=(x+2)2+3y = (x + 2)^2 + 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y=(x−2)2+3y = (x - 2)^2 + 3

הפתרון:

xV=42=2yV=4−8+7=3\begin{aligned}x_V &= \frac{4}{2} \\ &= 2 \\ \qquad y_V &= 4 - 8 + 7 \\ &= 3\end{aligned}

הקדקוד (2, 3)(2,\,3)

y=(x−2)2+3y = (x - 2)^2 + 3

p=2p = 2, k=3k = 3

x2−4x+4+3=x2−4x+7 ✓x^2 - 4x + 4 + 3 = x^2 - 4x + 7 \ \checkmark

בדיקה

הנכונה: (x−2)2+3(x - 2)^2 + 3. +7+7 מעתיק את cc בלי לחשב; −3-3 טועה בסימן של kk.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בשרטוט הפרבולה y=x2−1y = x^2 - 1 והישר y=x+1y = x + 1. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך BB, שה-xx שלה גדול יותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x2−1=x+1 ⇒ x2−x−2=0\begin{aligned}x^2 - 1 &= x + 1 \ \Rightarrow \ x^2 - x - 2 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים

(x−2)(x+1)=0 ⇒ x=2 x=−1\begin{aligned}(x - 2)(x + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= -1\end{aligned}

השורשים

B(2, 3)B(2,\,3)

מציבים בישר

A(−1, 0)A(-1,\,0) היא גם שורש של הפרבולה. השאלה ביקשה את BB, עם x=2x = 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

לאיזה ערך של cc הפרבולה y=x2+4x+cy = x^2 + 4x + c משיקה לציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

Δ=16−4c=0\begin{aligned}\Delta &= 16 - 4c \\ &= 0\end{aligned}

משיקה: שורש אחד

c=4c = 4

פותרים

x2+4x+4=(x+2)2 ⇒ (−2, 0)x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \ \Rightarrow \ (-2,\,0)

בדיקה: הקדקוד על הציר

השקה לציר ה-xx היא Δ=0\Delta = 0. אפשר גם דרך הקדקוד: xV=−2x_V = -2, ודורשים yV=4−8+c=0y_V = 4 - 8 + c = 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו תחום הירידה של הפרבולה y=−2x2+8x+1y = -2x^2 + 8x + 1?

  1. x>9x > 9
  2. x<−2x < -2
  3. x>2x > 2
  4. x<2x < 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x>2x > 2

הפתרון:

xV=−82⋅(−2)=2\begin{aligned}x_V &= \frac{-8}{2 \cdot (-2)} \\ &= 2\end{aligned}

ה-xx של הקדקוד

a=−2<0a = -2 < 0

פתוחה כלפי מטה: יורדת אחרי הקדקוד

הנכונה: x>2x > 2. x>9x > 9 מערבב את ה-yy של הקדקוד (yV=9y_V = 9) עם ה-xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: הפרבולה y=x2+x+1y = x^2 + x + 1 חותכת את ציר ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

Δ=1−4=−3<0\begin{aligned}\Delta &= 1 - 4 \\ &= -3 < 0\end{aligned}

אין שורשים

a=1>0a = 1 > 0

כולה מעל הציר

הטענה לא נכונה. Δ<0\Delta < 0: הפרבולה לא נוגעת בציר ה-xx ולא חוצה אותו. המינימום שלה, yV=34y_V = \frac{3}{4}, חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בשרטוט הפרבולה y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3, שקדקודה V(1, −4)V(1,\,-4). כמה פתרונות יש למשוואה x2−2x−3=−4x^2 - 2x - 3 = -4?

  1. אף פתרון
  2. פתרון אחד
  3. אי אפשר לדעת מהשרטוט
  4. שני פתרונות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב פתרון אחד

הפתרון:

k=−4=yV\begin{aligned}k &= -4 \\ &= y_V\end{aligned}

הישר y=−4y = -4 עובר דרך הקדקוד

x2−2x+1=0 ⇒ (x−1)2=0 ⇒ x=1\begin{aligned}x^2 - 2x + 1 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 1)^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

אימות באלגברה: שורש אחד

הנכונה: פתרון אחד. הישר האופקי בגובה הקדקוד נוגע בפרבולה בנקודה אחת בלבד. לכל k>−4k > -4 יהיו שניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

רקטת צעצוע משוגרת ממרפסת. הגובה שלה במטרים אחרי tt שניות הוא h(t)=−5t2+20t+60h(t) = -5t^2 + 20t + 60. מהו הגובה הגדול ביותר שאליו היא מגיעה (במטרים)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

tV=−202⋅(−5)=2\begin{aligned}t_V &= \frac{-20}{2 \cdot (-5)} \\ &= 2\end{aligned}

הזמן של הקדקוד

h(2)=−20+40+60=80\begin{aligned}h(2) &= -20 + 40 + 60 \\ &= 80\end{aligned}

הגובה המקסימלי

6060 הוא גובה המרפסת, בזמן t=0t = 0. הרקטה עולה עוד 2020 מטר מעליה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת