סדרה 3 — מאתגר · הפונקציה הריבועית · כיתה י׳

עשר שאלות של שלושה צעדים: פרבולה שמוצאים מתוך תנאים, סימן כש- $a < 0$ , שורשים מצורת הקדקוד, חיתוך עם ישר, קריאת $f(x) = k$ בפרבולה שפתוחה כלפי מטה, השקה, ושטח מקסימלי.

כשנתונים תנאים על פרבולה ולא המשוואה שלה, כל תנאי הוא משוואה: «עוברת דרך $(0,\,3)$ » אומר $c = 3$ , «קדקוד ב- $x = 2$ » אומר $\frac{-b}{2a} = 2$ .

תרגילים

תרגיל 1

הפרבולה $y = x^2 + bx + c$ עוברת דרך הנקודה $(0,\,3)$ , וציר הסימטריה שלה הוא $x = 2$ . א. מצאו את $b$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

(0,\,3) \ \Rightarrow \ c = 3

החיתוך עם ציר ה- $y$

\begin{aligned}\frac{-b}{2 \cdot 1} &= 2 \ \Rightarrow \ b \\ &= -4\end{aligned}

ציר הסימטריה הוא ה- $x$ של הקדקוד

הפרבולה: $y = x^2 - 4x + 3$ . מי שקיבל $b = 4$ שכח את המינוס בנוסחת הקדקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הפרבולה $y = x^2 + bx + c$ עוברת דרך הנקודה $(0,\,3)$ , וציר הסימטריה שלה הוא $x = 2$ . ב. מצאו את שיעור ה- $y$ של הקדקוד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

y = x^2 - 4x + 3

מסעיף א

\begin{aligned}y_V &= 4 - 8 + 3 \\ &= -1\end{aligned}

מציבים $x = 2$

הקדקוד $(2,\,-1)$ . השורשים, $1$ ו- $3$ , סימטריים סביבו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו תחום השליליות של הפרבולה $y = -x^2 + x + 6$ ?

$x < -2$ או $x > 3$
$x > -2$
$x < 3$
$-2 < x < 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x < -2$ או $x > 3$

הפתרון:

\begin{aligned}-x^2 + x + 6 &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 - x - 6 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים ב- $-1$

\begin{aligned}(x - 3)(x + 2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -2\end{aligned}

השורשים

a = -1 < 0

פתוחה כלפי מטה: שלילית מחוץ לשורשים

הנכונה: $x < -2$ או $x > 3$ . $-2 < x < 3$ הוא תחום החיוביות. כש- $a < 0$ הכול הפוך ממה שרגילים אליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו השורש הגדול של הפרבולה $y = (x - 3)^2 - 4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}(x - 3)^2 - 4 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 3)^2 \\ &= 4\end{aligned}

מבודדים את הסוגריים

\begin{aligned}x - 3 &= \pm 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \ x &= 1\end{aligned}

שורש לשני הכיוונים

השורשים $1$ ו- $5$ , במרחק $2$ מכל צד של ציר הסימטריה $x = 3$ . מי שפתח סוגריים ופתר $x^2 - 6x + 5 = 0$ הגיע לאותה תשובה, בדרך ארוכה יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בשרטוט הפרבולה $y = x^2 - 4x + 3$ והישר $y = -x + 3$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך $B$ , שאינה על ציר ה- $y$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 - 4x + 3 &= -x + 3 \ \Rightarrow \ x^2 - 3x \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים

\begin{aligned}x(x - 3) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 3\end{aligned}

גורם משותף

B(3,\,0)

מציבים בישר: $-3 + 3 = 0$

$B$ נמצאת על ציר ה- $x$ : היא גם שורש של הפרבולה. $A(0,\,3)$ היא החיתוך המשותף של שני הגרפים עם ציר ה- $y$ , כי לשניהם $c = 3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בשרטוט הפרבולה $y = -x^2 + 4x$ , שקדקודה $V(2,\,4)$ . לאילו ערכים של $k$ אין למשוואה $-x^2 + 4x = k$ אף פתרון?

$k < 0$
$k < 4$
$k = 4$
$k > 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $k > 4$

הפתרון:

\begin{aligned}a &= -1 < 0 \\ \qquad y_V &= 4\end{aligned}

פתוחה כלפי מטה, הערך הגדול ביותר $4$

k > 4

ישר אופקי מעל הקדקוד לא פוגש את הפרבולה

הנכונה: $k > 4$ . הפרבולה לא מגיעה מעל $4$ . $k < 0$ נותן דווקא שני פתרונות: הישר עובר מתחת לשורשים, והפרבולה יורדת אליו משני הצדדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

לאיזה ערך של $k$ הישר $y = x + k$ משיק לפרבולה $y = x^2 - x + 2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 - x + 2 &= x + k \ \Rightarrow \ x^2 - 2x + 2 - k \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים

\begin{aligned}\Delta &= 4 - 4(2 - k) \\ &= 4k - 4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 1\end{aligned}

השקה: $\Delta = 0$

x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \ \Rightarrow \ (1,\,2)

בדיקה: נקודת ההשקה

הסוגריים סביב $2 - k$ : $-4(2 - k) = -8 + 4k$ . בלי הסוגריים מקבלים $k = -4$ , וזה שגוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: הערך הקטן ביותר של הפונקציה $y = x^2 - 6x + 10$ הוא $1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

a = 1 > 0

יש מינימום, בקדקוד

\begin{aligned}x_V &= \frac{6}{2} \\ &= 3 \\ \qquad y_V &= 9 - 18 + 10 \\ &= 1\end{aligned}

הקדקוד $(3,\,1)$

y = (x - 3)^2 + 1 \geq 1

דרך שנייה: צורת הקדקוד

הטענה נכונה. ומכיוון שהמינימום חיובי, לפרבולה אין שורשים: $\Delta = 36 - 40 < 0$ מאשר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מקיפים חלקה בגדר באורך $24$ מטר. כאשר אחת הצלעות היא $x$ מטר, השטח במ״ר הוא $S(x) = x(12 - x)$ . השלימו.

השטח הגדול ביותר מתקבל כאשר $x =$ ____ , והוא ____ מ״ר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: השטח הגדול ביותר מתקבל כאשר $x =$ 6 , והוא 36 מ״ר

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= 12x - x^2 \\ &= -x^2 + 12x\end{aligned}

פותחים סוגריים: $a = -1 < 0$ , יש מקסימום

\begin{aligned}x_V &= \frac{-12}{2 \cdot (-1)} \\ &= 6\end{aligned}

הצלע

\begin{aligned}S(6) &= 6 \cdot 6 \\ &= 36\end{aligned}

השטח המקסימלי

אפשר גם בלי לפתוח סוגריים: השורשים של $x(12 - x)$ הם $0$ ו- $12$ , והקדקוד באמצע, ב- $x = 6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בשרטוט הפרבולה $y = x^2 - 2x - 8$ , עם השורשים $x = -2$ ו- $x = 4$ והקדקוד $V(1,\,-9)$ . מיינו את הטענות.

נכון
לא נכון

הפונקציה חיובית כאשר $x > 1$
הפונקציה יורדת כאשר $x < 1$
הפונקציה שלילית כאשר $-2 < x < 4$
למשוואה $x^2 - 2x - 8 = -10$ אין פתרון
למשוואה $x^2 - 2x - 8 = 0$ יש פתרון אחד
ציר הסימטריה הוא $x = 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הפונקציה יורדת כאשר $x < 1$ — נכון · הפונקציה שלילית כאשר $-2 < x < 4$ — נכון · למשוואה $x^2 - 2x - 8 = -10$ אין פתרון — נכון · הפונקציה חיובית כאשר $x > 1$ — לא נכון · למשוואה $x^2 - 2x - 8 = 0$ יש פתרון אחד — לא נכון · ציר הסימטריה הוא $x = 1$ — נכון

הפתרון:

\begin{aligned}a &= 1 > 0 \\ \quad x_V &= 1\end{aligned}

יורדת לפני הקדקוד, עולה אחריו

-10 < -9 = y_V

הישר $y = -10$ מתחת לקדקוד: אף פתרון

1 < x < 4 \ \Rightarrow \ y < 0

«חיובית כאשר $x > 1$ » שגוי: בין $1$ ל- $4$ הגרף עדיין מתחת לציר

הסימן מתחלף בשורשים, לא בקדקוד. עלייה וירידה מתחלפות בקדקוד, לא בשורשים. ו- $f(x) = 0$ עם שני שורשים בשרטוט: שני פתרונות, לא אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev