סדרה 4 — מתקדם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות שמחברות שני כלים: פרבולה שמוצאים משורשיה, f(x)<g(x)f(x) < g(x) על השרטוט, מרחק בין שתי נקודות חיתוך, השקה כשהפרמטר בשיפוע, שתי פרבולות שנפגשות, ורווח מקסימלי.

כשהפרמטר יושב בשיפוע של הישר, הדיסקרימיננטה היא משוואה ריבועית ב-mm, ויכולים להיות שני ערכים. קראו מה השאלה מבקשת: לפעמים רק את החיובי.

תרגילים

תרגיל 1

הפרבולה y=ax2+bx−6y = ax^2 + bx - 6 חותכת את ציר ה-xx בנקודות (2, 0)(2,\,0) ו-(3, 0)(3,\,0). א. מצאו את aa ואת bb.

a=a = ____ , b=b = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a=a = -1 , b=b = 5

הפתרון:

y=a(x−2)(x−3)=a(x2−5x+6)\begin{aligned}y &= a(x - 2)(x - 3) \\ &= a(x^2 - 5x + 6)\end{aligned}

פרבולה עם השורשים 22 ו-33

6a=−6 ⇒ a=−1\begin{aligned}6a &= -6 \ \Rightarrow \ a \\ &= -1\end{aligned}

האיבר החופשי חייב להיות −6-6

y=−x2+5x−6 ⇒ b=5\begin{aligned}y &= -x^2 + 5x - 6 \ \Rightarrow \ b \\ &= 5\end{aligned}

פותחים

בדיקה: −4+10−6=0-4 + 10 - 6 = 0 ✓ ו-−9+15−6=0-9 + 15 - 6 = 0 ✓. מי שלקח a=1a = 1 קיבל c=6c = 6, לא −6-6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הפרבולה y=ax2+bx−6y = ax^2 + bx - 6 חותכת את ציר ה-xx בנקודות (2, 0)(2,\,0) ו-(3, 0)(3,\,0). ב. מצאו את שיעור ה-yy של הקדקוד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

y=−x2+5x−6y = -x^2 + 5x - 6

מסעיף א

xV=2+32=2.5\begin{aligned}x_V &= \frac{2 + 3}{2} \\ &= 2.5\end{aligned}

אמצע השורשים

yV=−6.25+12.5−6=0.25\begin{aligned}y_V &= -6.25 + 12.5 - 6 \\ &= 0.25\end{aligned}

מציבים

הקדקוד (2.5, 0.25)(2.5,\,0.25) הוא מקסימום, ממש מעט מעל ציר ה-xx: הגיוני, כי השורשים קרובים זה לזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בשרטוט הפרבולה f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 והישר g(x)=2x−5g(x) = 2x - 5, הנחתכים ב-A(0, −5)A(0,\,-5) וב-B(6, 7)B(6,\,7). א. לאילו ערכי xx מתקיים f(x)<g(x)f(x) < g(x)?

  1. 0<x<60 < x < 6
  2. x>6x > 6
  3. −5<x<7-5 < x < 7
  4. x<0x < 0 או x>6x > 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 0<x<60 < x < 6

הפתרון:

x2−4x−5=2x−5 ⇒ x2−6x=0 ⇒ x=0 x=6\begin{aligned}x^2 - 4x - 5 &= 2x - 5 \ \Rightarrow \ x^2 - 6x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 6\end{aligned}

נקודות החיתוך, לאימות

f(3)=−8<g(3)=1\begin{aligned}f(3) &= -8 < g(3) \\ &= 1\end{aligned}

בדיקה בנקודה בין החיתוכים: הפרבולה נמוכה

הנכונה: 0<x<60 < x < 6. פרבולה שפתוחה כלפי מעלה נמצאת מתחת לישר בין שתי נקודות החיתוך, ומעליו מחוץ להן. −5<x<7-5 < x < 7 הם ערכי yy, לא xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בשרטוט הפרבולה f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 והישר g(x)=2x−5g(x) = 2x - 5, הנחתכים ב-A(0, −5)A(0,\,-5) וב-B(6, 7)B(6,\,7). ב. חשבו את אורך הקטע ABAB. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13.42

הפתרון:

AB=(6−0)2+(7−(−5))2=36+144\begin{aligned}AB &= \sqrt{(6 - 0)^2 + (7 - (-5))^2} \\ &= \sqrt{36 + 144}\end{aligned}

נוסחת המרחק

=180=65≈13.42= \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \approx 13.42

תשובה מדויקת, ואז עיגול

7−(−5)=127 - (-5) = 12, לא 22: המינוס הכפול הוא המלכודת של הסעיף. הקטע ABAB הוא חלק מהישר gg.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הישר y=ky = k נפגש עם הפרבולה y=x2−8x+12y = x^2 - 8x + 12 בנקודה אחת בדיוק. מהו kk?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

xV=82=4yV=16−32+12=−4\begin{aligned}x_V &= \frac{8}{2} \\ &= 4 \\ \qquad y_V &= 16 - 32 + 12 \\ &= -4\end{aligned}

הקדקוד (4, −4)(4,\,-4)

k=−4k = -4

ישר אופקי נוגע בפרבולה בנקודה אחת רק בגובה הקדקוד

x2−8x+16=(x−4)2=0 ✓\begin{aligned}x^2 - 8x + 16 &= (x - 4)^2 \\ &= 0 \ \checkmark\end{aligned}

אימות: Δ=0\Delta = 0

אפשר גם דרך הדיסקרימיננטה של x2−8x+12−k=0x^2 - 8x + 12 - k = 0: 64−48+4k=064 - 48 + 4k = 0, ו-k=−4k = -4. שתי הדרכים, אותה תשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בשרטוט הפרבולה y=x2−8x+12y = x^2 - 8x + 12, עם השורשים x=2x = 2 ו-x=6x = 6 והקדקוד V(4, −4)V(4,\,-4). לאילו ערכים של kk יש למשוואה x2−8x+12=kx^2 - 8x + 12 = k שני פתרונות בעלי סימנים שונים, כלומר אחד שלילי ואחד חיובי?

  1. k>12k > 12
  2. −4<k<12-4 < k < 12
  3. k>−4k > -4
  4. k<12k < 12
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א k>12k > 12

הפתרון:

f(0)=12 ⇒ C(0, 12)f(0) = 12 \ \Rightarrow \ C(0,\,12)

הגרף חוצה את ציר ה-yy בגובה 1212

k>12k > 12

ישר אופקי מעל CC פוגש את הפרבולה פעם אחת משמאל לציר ה-yy ופעם אחת מימינו

−4<k<12 ⇒ 0<x1<x2-4 < k < 12 \ \Rightarrow \ 0 < x_1 < x_2

בין הקדקוד ל-CC: שני פתרונות, אבל שניהם חיוביים

הנכונה: k>12k > 12. k>−4k > -4 נותן שני פתרונות, אבל לא בהכרח בסימנים שונים: הישר צריך לעבור מעל נקודת החיתוך עם ציר ה-yy, ואז הענף השמאלי נמצא כבר משמאל לציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הישר y=mx−4y = mx - 4 משיק לפרבולה y=x2y = x^2. יש שני ערכים אפשריים של mm. מצאו את הערך החיובי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x2=mx−4 ⇒ x2−mx+4=0\begin{aligned}x^2 &= mx - 4 \ \Rightarrow \ x^2 - mx + 4 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים

Δ=m2−16=0 ⇒ m=±4\begin{aligned}\Delta &= m^2 - 16 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ m \\ &= \pm 4\end{aligned}

השקה: Δ=0\Delta = 0, משוואה ריבועית ב-mm

m=4: (x−2)2=0 ⇒ (2, 4)\begin{aligned}m &= 4: \ (x - 2)^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (2,\,4)\end{aligned}

בדיקה: נקודת ההשקה

שני משיקים, סימטריים: y=4x−4y = 4x - 4 נוגע ב-(2, 4)(2,\,4), ו-y=−4x−4y = -4x - 4 נוגע ב-(−2, 4)(-2,\,4). השאלה ביקשה את החיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: הפרבולות y=x2−2x+1y = x^2 - 2x + 1 ו-y=−x2+2x−1y = -x^2 + 2x - 1 נפגשות בנקודה אחת בדיוק.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x2−2x+1=−x2+2x−1 ⇒ 2x2−4x+2=0\begin{aligned}x^2 - 2x + 1 &= -x^2 + 2x - 1 \ \Rightarrow \ 2x^2 - 4x + 2 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים

x2−2x+1=0 ⇒ (x−1)2=0 ⇒ x=1\begin{aligned}x^2 - 2x + 1 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 1)^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

מחלקים ב-22: שורש אחד

(1, 0)(1,\,0)

הנקודה המשותפת היחידה

הטענה נכונה. שתי הפרבולות הן (x−1)2(x - 1)^2 ו-−(x−1)2-(x - 1)^2: אותו קדקוד (1, 0)(1,\,0), אחת מעל ציר ה-xx ואחת מתחתיו. הן נוגעות רק שם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

דוכן בשוק מוכר מיץ. כשמחיר הכוס הוא xx שקלים, הרווח היומי בשקלים הוא P(x)=−2x2+40x−150P(x) = -2x^2 + 40x - 150. מהו הרווח היומי הגדול ביותר האפשרי (בשקלים)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

a=−2<0a = -2 < 0

יש מקסימום, בקדקוד

xV=−402⋅(−2)=10\begin{aligned}x_V &= \frac{-40}{2 \cdot (-2)} \\ &= 10\end{aligned}

המחיר הטוב ביותר: 1010 שקלים לכוס

P(10)=−200+400−150=50\begin{aligned}P(10) &= -200 + 400 - 150 \\ &= 50\end{aligned}

הרווח המקסימלי

השאלה ביקשה את הרווח, לא את המחיר. 1010 הוא ה-xx של הקדקוד, 5050 הוא ה-yy שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

כתבו את y=2x2−12x+7y = 2x^2 - 12x + 7 בצורה a(x−p)2+ka(x - p)^2 + k.

a=a = ____ , p=p = ____ , k=k = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a=a = 2 , p=p = 3 , k=k = -11

הפתרון:

xV=124=3\begin{aligned}x_V &= \frac{12}{4} \\ &= 3\end{aligned}

2a=42a = 4 במכנה

yV=18−36+7=−11\begin{aligned}y_V &= 18 - 36 + 7 \\ &= -11\end{aligned}

מציבים: 2⋅9=182 \cdot 9 = 18

y=2(x−3)2−11y = 2(x - 3)^2 - 11

aa נשאר 22

2(x2−6x+9)−11=2x2−12x+7 ✓2(x^2 - 6x + 9) - 11 = 2x^2 - 12x + 7 \ \checkmark

בדיקה

כש-a≠1a \neq 1 שתי מלכודות: המכנה 2a2a בנוסחת הקדקוד, ו-aa שנשאר לפני הסוגריים. מי שכתב (x−3)2−11(x - 3)^2 - 11 בלי ה-22 קיבל פרבולה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת