סדרה 5 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שלוש שאלות בנוסח הבגרות, מחולקות לסעיפים כמו בבחינה: חקירה מלאה של פרבולה עם השאלה «לאילו ערכי kk», פרבולה וישר עם שטח, וסילון מים. כל סעיף הוא תרגיל אחד, והסעיפים נשענים זה על זה.

בסעיף «לאילו ערכים של kk» מסרטטים קודם: הישר y=ky = k אופקי, והתשובה תלויה רק במקום שלו ביחס לקדקוד. אין מה לפתור.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=−x2+4x+5f(x) = -x^2 + 4x + 5. א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

עם ציר yy: (0,(0, ____ )) ; עם ציר xx: x1=x_1 = ____ (הקטן), x2=x_2 = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עם ציר yy: (0,(0, 5 )) ; עם ציר xx: x1=x_1 = -1 (הקטן), x2=x_2 = 5

הפתרון:

f(0)=5f(0) = 5

ציר yy: מציבים x=0x = 0

−x2+4x+5=0 ⇒ x2−4x−5=0\begin{aligned}-x^2 + 4x + 5 &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 - 4x - 5 \\ &= 0\end{aligned}

ציר xx: מציבים y=0y = 0 וכופלים ב-−1-1

(x−5)(x+1)=0 ⇒ x=−1 x=5\begin{aligned}(x - 5)(x + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 5\end{aligned}

השורשים

שלוש נקודות: (0, 5)(0,\,5), (−1, 0)(-1,\,0) ו-(5, 0)(5,\,0). המספר 55 מופיע פעמיים, בשני תפקידים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=−x2+4x+5f(x) = -x^2 + 4x + 5. ב. מצאו את קדקוד הפרבולה.

קדקוד: (( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: קדקוד: (( 2 ,, 9 ))

הפתרון:

xV=−42⋅(−1)=2\begin{aligned}x_V &= \frac{-4}{2 \cdot (-1)} \\ &= 2\end{aligned}

נוסחת הקדקוד, או אמצע השורשים −1+52\frac{-1 + 5}{2}

yV=−4+8+5=9\begin{aligned}y_V &= -4 + 8 + 5 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים

V(2, 9)V(2,\,9) הוא מקסימום, כי a=−1<0a = -1 < 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=−x2+4x+5f(x) = -x^2 + 4x + 5. ג. מהו תחום העלייה של הפונקציה?

  1. x<2x < 2
  2. x>2x > 2
  3. y<9y < 9
  4. −1<x<5-1 < x < 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x<2x < 2

הפתרון:

a=−1<0xV=2\begin{aligned}a &= -1 < 0 \\ \qquad x_V &= 2\end{aligned}

פתוחה כלפי מטה: עולה עד הקדקוד

הנכונה: x<2x < 2. −1<x<5-1 < x < 5 הוא תחום החיוביות, שאלה אחרת. בפרבולה שפתוחה כלפי מטה העלייה היא לפני הקדקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=−x2+4x+5f(x) = -x^2 + 4x + 5, ובשרטוט הגרף שלה. ד. לאילו ערכים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x) = k שני פתרונות?

  1. −1<k<5-1 < k < 5
  2. k>0k > 0
  3. k>9k > 9
  4. k<9k < 9
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד k<9k < 9

הפתרון:

yV=9a<0\begin{aligned}y_V &= 9 \\ \qquad a < 0\end{aligned}

המקסימום 99

k<9k < 9

ישר אופקי מתחת לקדקוד חוצה את הפרבולה פעמיים

הנכונה: k<9k < 9. −1<k<5-1 < k < 5 מערבב את השורשים עם ערכי kk: השורשים הם ערכי xx, ו-kk הוא גובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=−x2+4x+5f(x) = -x^2 + 4x + 5, ובשרטוט הגרף שלה. ה. לאיזה ערך של kk יש למשוואה f(x)=kf(x) = k פתרון אחד בדיוק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

k=yV=9\begin{aligned}k &= y_V \\ &= 9\end{aligned}

הישר המקווקו y=9y = 9 נוגע בפרבולה בקדקוד בלבד

−x2+4x+5=9 ⇒ x2−4x+4=0 ⇒ x=2\begin{aligned}-x^2 + 4x + 5 &= 9 \ \Rightarrow \ x^2 - 4x + 4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

אימות באלגברה: שורש אחד

ולכל k>9k > 9 אין פתרון: הפרבולה לא עולה מעל 99. שלושת המקרים, מהשרטוט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונות הפרבולה f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 והישר g(x)=−x+5g(x) = -x + 5. א. מצאו את שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך של שני הגרפים.

x1=x_1 = ____ (הקטן), x2=x_2 = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x1=x_1 = 0 (הקטן), x2=x_2 = 5

הפתרון:

x2−6x+5=−x+5 ⇒ x2−5x=0\begin{aligned}x^2 - 6x + 5 &= -x + 5 \ \Rightarrow \ x^2 - 5x \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים: ה-55 מצטמצם

x(x−5)=0 ⇒ x=0 x=5\begin{aligned}x(x - 5) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 5\end{aligned}

גורם משותף

A(0, 5),B(5, 0)A(0,\,5) ,\qquad B(5,\,0)

מציבים בישר

מי שחילק ב-xx איבד את הפתרון x=0x = 0. מוציאים גורם משותף, לא מחלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונות הפרבולה f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 והישר g(x)=−x+5g(x) = -x + 5, הנחתכים ב-A(0, 5)A(0,\,5) וב-B(5, 0)B(5,\,0). ב. לאילו ערכי xx הפרבולה נמצאת מתחת לישר?

  1. x<0x < 0 או x>5x > 5
  2. 0<x<50 < x < 5
  3. 1<x<51 < x < 5
  4. x<5x < 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 0<x<50 < x < 5

הפתרון:

f(x)<g(x) ⇔ x2−5x<0f(x) < g(x) \ \Leftrightarrow \ x^2 - 5x < 0

מעבירים לאגף אחד

x(x−5)<0 ⇒ 0<x<5x(x - 5) < 0 \ \Rightarrow \ 0 < x < 5

שלילי בין השורשים, כי המקדם של x2x^2 חיובי

f(2)=−3<g(2)=3 ✓\begin{aligned}f(2) &= -3 < g(2) \\ &= 3 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה בשרטוט

הנכונה: 0<x<50 < x < 5. 1<x<51 < x < 5 הוא תחום השליליות של ff עצמה, מתחת לציר ה-xx: שאלה אחרת. כאן משווים לישר, לא לציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונות הפרבולה f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 והישר g(x)=−x+5g(x) = -x + 5, הנחתכים ב-A(0, 5)A(0,\,5) וב-B(5, 0)B(5,\,0). ג. OO היא ראשית הצירים. חשבו את שטח המשולש AOBAOB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.5

הפתרון:

OA=5OB=5\begin{aligned}OA &= 5 \\ \qquad OB &= 5\end{aligned}

AA על ציר ה-yy, BB על ציר ה-xx

∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ

הצירים מאונכים: משולש ישר זווית

S=5⋅52=12.5\begin{aligned}S &= \frac{5 \cdot 5}{2} \\ &= 12.5\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים

הפרבולה לא משתתפת בסעיף הזה: השטח הוא של המשולש שבין הישר לצירים. הניצבים נקראים ישירות מהנקודות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

סילון מים יוצא מממטרה שעל הקרקע. הגובה של המים במטרים, במרחק אופקי xx מטרים מהממטרה, הוא h(x)=−x2+6xh(x) = -x^2 + 6x. א. מהו הגובה הגדול ביותר של הסילון (במטרים)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

xV=−62⋅(−1)=3\begin{aligned}x_V &= \frac{-6}{2 \cdot (-1)} \\ &= 3\end{aligned}

המרחק שבו הסילון הכי גבוה

h(3)=−9+18=9\begin{aligned}h(3) &= -9 + 18 \\ &= 9\end{aligned}

הגובה המקסימלי

כאן xx הוא מרחק, לא זמן, אבל הכלי זהה: הקדקוד. 99 מטר בגובה, במרחק 33 מטר מהממטרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סילון מים יוצא מממטרה שעל הקרקע. הגובה של המים במטרים, במרחק אופקי xx מטרים מהממטרה, הוא h(x)=−x2+6xh(x) = -x^2 + 6x. ב. באיזה מרחק מהממטרה המים פוגעים בקרקע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

−x2+6x=0 ⇒ x(6−x)=0\begin{aligned}-x^2 + 6x &= 0 \ \Rightarrow \ x(6 - x) \\ &= 0\end{aligned}

הקרקע: גובה אפס

x=0x=6\begin{aligned}x &= 0 \\ \quad x &= 6\end{aligned}

x=0x = 0 הוא הממטרה עצמה

המים נוחתים במרחק 66 מטר: פי שניים מ-33, המרחק של הגובה המקסימלי. הסימטריה של הפרבולה, שוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת