הנגזרת של פונקציית שורש

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

הגרף של y=xy=\sqrt{x} עולה כל הזמן, אבל לא באותו קצב. הסתכלו על שני המשיקים בשרטוט לפני שכותבים נוסחה.

שני משיקים לגרף y = √x
(1,1)(4,2)-10123456789123xy
המשיק בנקודה (1,1)(1,1) הוא y=12x+12y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}, והמשיק בנקודה (4,2)(4,2) הוא y=14x+1y=\frac{1}{4}x+1. ככל ש-xx גדל, המשיק פחות תלול.

מה השיפוע של כל משיק? ומה קורה לשיפוע כש-xx גדל?

להציג את התשובה והפתרון

בנקודה (1,1)(1,1) השיפוע 12\frac{1}{2}, ובנקודה (4,2)(4,2) השיפוע 14\frac{1}{4}. השיפוע קטן כש-xx גדל, אבל נשאר חיובי: הפונקציה עולה, ולאט יותר ויותר.

הנגזרת של x\sqrt{x}

(x)′=12xx>0(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}} \qquad x>0

בדיקה: 121=12\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2} ו-124=14\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}, בדיוק השיפועים שבשרטוט. בווידג׳ט השיפוע נמדד ישירות על הגרף, ומולו שתי נוסחאות. רק אחת מהן מתאימה בכל נקודה.

f(x)=x : x≥0f(x)=\sqrt{x} \ : \ x \geq 0

הפונקציה מוגדרת גם ב-00

f′(x)=12x : x>0f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \ : \ x>0

הנגזרת אינה מוגדרת ב-00: שם המכנה מתאפס

הנגזרת של f(x)\sqrt{f(x)}

(f(x))′=f′(x)2f(x)\left(\sqrt{f(x)}\right)'=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}

זו פונקציה מורכבת בשני שלבים, כמו בפרק הקודם: נגזרת החיצונית (12 \frac{1}{2\sqrt{\ }}, והביטוי נשאר בפנים) כפול נגזרת הפנימית f′(x)f'(x). לכן f′(x)f'(x) עולה למונה.

(3x+1)′=323x+1\left(\sqrt{3x+1}\right)'=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}

נגזרת הפנימית: 33

(x2+9)′=2x2x2+9=xx2+9\begin{aligned}\left(\sqrt{x^2+9}\right)' &= \frac{2x}{2\sqrt{x^2+9}} \\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\end{aligned}

מצמצמים את ה-22

(5−x)′=−125−x\left(\sqrt{5-x}\right)'=\frac{-1}{2\sqrt{5-x}}

נגזרת הפנימית: −1-1

שיפוע בנקודה

נתונה f(x)=x2+16f(x)=\sqrt{x^2+16}. חשבו את f′(3)f'(3).

f′(x)=2x2x2+16=xx2+16\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x}{2\sqrt{x^2+16}} \\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+16}}\end{aligned}

נגזרת החיצונית כפול נגזרת הפנימית, ומצמצמים

f′(3)=325=35\begin{aligned}f'(3) &= \frac{3}{\sqrt{25}} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

מציבים בנגזרת

נתונה f(x)=2x−1f(x)=\sqrt{2x-1}. חשבו את f′(5)f'(5).

להציג את התשובה והפתרון

f′(x)=222x−1=12x−1f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x-1}}=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}, ולכן f′(5)=19=13f'(5)=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}.

סכום והפרש עם פולינום

גוזרים כל מחובר בנפרד. למשל f(x)=x−6xf(x)=x-6\sqrt{x}: f′(x)=1−62x=1−3xf'(x)=1-\frac{6}{2\sqrt{x}}=1-\frac{3}{\sqrt{x}}. המקדם 66 מצטמצם עם ה-22.

איפה מתאפסת הנגזרת של f(x)=x−6xf(x)=x-6\sqrt{x}?

להציג את התשובה והפתרון

1−3x=0⇒x=3⇒x=91-\frac{3}{\sqrt{x}}=0 \Rightarrow \sqrt{x}=3 \Rightarrow x=9. בדיקה: 1−33=01-\frac{3}{3}=0 ✓.

מכפלה: g(x)⋅f(x)g(x) \cdot \sqrt{f(x)}

(g⋅f)′=g′⋅f+g⋅f′2f\left(g \cdot \sqrt{f}\right)'=g' \cdot \sqrt{f}+g \cdot \frac{f'}{2\sqrt{f}}

כלל המכפלה ומכנה משותף

נתונה f(x)=xx+3f(x)=x\sqrt{x+3}. מצאו את f′(x)f'(x) ואת f′(1)f'(1).

f′(x)=1⋅x+3+x⋅12x+3f'(x)=1 \cdot \sqrt{x+3}+x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}

נגזרת הראשון כפול השני, ועוד הראשון כפול נגזרת השני

=2(x+3)+x2x+3=3x+62x+3=\frac{2(x+3)+x}{2\sqrt{x+3}}=\frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}

מכנה משותף 2x+32\sqrt{x+3}: הצורה הנוחה למציאת אפסים

f′(1)=92⋅2=94\begin{aligned}f'(1) &= \frac{9}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{9}{4}\end{aligned}

מציבים

מנה: g(x)f(x)\frac{g(x)}{\sqrt{f(x)}}

(gf)′=g′⋅f−g⋅f′2ff\left(\frac{g}{\sqrt{f}}\right)'=\frac{g' \cdot \sqrt{f}-g \cdot \frac{f'}{2\sqrt{f}}}{f}

המכנה הוא (f)2=f\left(\sqrt{f}\right)^2=f. במונה: נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה. הסדר חשוב בגלל המינוס.

למה אי אפשר להציב x=0x=0 בנגזרת של f(x)=x+4xf(x)=\frac{x+4}{\sqrt{x}}?

להציג את התשובה והפתרון

כי x=0x=0 אינו בתחום: 0=0\sqrt{0}=0 במכנה. הפונקציה מוגדרת רק ל-x>0x>0, וגם הנגזרת.

ארבע הטעויות של גזירת שורש.

(x)′=1x(\sqrt{x})'=\frac{1}{\sqrt{x}}
(x)′=12x(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}

ה-22 נשכח.

(x2+5)′=12x2+5\left(\sqrt{x^2+5}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x^2+5}}
(x2+5)′=2x2x2+5\left(\sqrt{x^2+5}\right)'=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}}

נגזרת הפנימית 2x2x נשכחה.

(xx+3)′=1⋅12x+3\left(x\sqrt{x+3}\right)'=1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}
(xx+3)′=x+3+x2x+3\left(x\sqrt{x+3}\right)'=\sqrt{x+3}+\frac{x}{2\sqrt{x+3}}

מכפלת הנגזרות אינה נגזרת המכפלה. צריך את כלל המכפלה.

(gf)′=g⋅(f)′−g′⋅ff\left(\frac{g}{\sqrt{f}}\right)'=\frac{g \cdot (\sqrt{f})'-g' \cdot \sqrt{f}}{f}
(gf)′=g′⋅f−g⋅(f)′f\left(\frac{g}{\sqrt{f}}\right)'=\frac{g' \cdot \sqrt{f}-g \cdot (\sqrt{f})'}{f}

הסדר במונה הפוך, והסימן של כל התוצאה מתהפך.

תרגילים

תרגיל 1

גזרו: f(x)=4x+1f(x)=\sqrt{4x+1}

  1. 24x+1\frac{2}{\sqrt{4x+1}}
  2. 124x+1\frac{1}{2\sqrt{4x+1}}
  3. 24x+12\sqrt{4x+1}
  4. 44x+1\frac{4}{\sqrt{4x+1}}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 24x+1\frac{2}{\sqrt{4x+1}}

הפתרון:

f′(x)=424x+1f'(x)=\frac{4}{2\sqrt{4x+1}}

נגזרת הפנימית 44 במונה

=24x+1=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}

מצמצמים

הנכונה: 24x+1\frac{2}{\sqrt{4x+1}}. 124x+1\frac{1}{2\sqrt{4x+1}} שכח את נגזרת הפנימית. 44x+1\frac{4}{\sqrt{4x+1}} שכח את ה-22 שבמכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x2+9f(x)=\sqrt{x^2+9}. חשבו את f′(4)f'(4).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.8

הפתרון:

f′(x)=2x2x2+9=xx2+9\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x}{2\sqrt{x^2+9}} \\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\end{aligned}

נגזרת

f′(4)=425=45\begin{aligned}f'(4) &= \frac{4}{\sqrt{25}} \\ &= \frac{4}{5}\end{aligned}

מציבים

f′(4)=0.8f'(4)=0.8. מי שמקבל 55 הציב בפונקציה ולא בנגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=3x+x2f(x)=3\sqrt{x}+x^2. חשבו את f′(4)f'(4).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.75

הפתרון:

f′(x)=32x+2xf'(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}+2x

גוזרים כל מחובר

f′(4)=34+8=8.75\begin{aligned}f'(4) &= \frac{3}{4}+8 \\ &= 8.75\end{aligned}

מציבים

המקדם 33 נשאר במונה. מי ששוכח את ה-22 במכנה מקבל 32+8=9.5\frac{3}{2}+8=9.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

גזרו: f(x)=10−2xf(x)=\sqrt{10-2x}

  1. −1210−2x\frac{-1}{2\sqrt{10-2x}}
  2. −110−2x\frac{-1}{\sqrt{10-2x}}
  3. 110−2x\frac{1}{\sqrt{10-2x}}
  4. −210−2x\frac{-2}{\sqrt{10-2x}}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב −110−2x\frac{-1}{\sqrt{10-2x}}

הפתרון:

f′(x)=−2210−2x=−110−2x\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-2}{2\sqrt{10-2x}} \\ &= \frac{-1}{\sqrt{10-2x}}\end{aligned}

נגזרת הפנימית −2-2

הנכונה: −110−2x\frac{-1}{\sqrt{10-2x}}. המינוס בא מנגזרת הפנימית: הפונקציה יורדת בכל התחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=xx−3f(x)=x\sqrt{x-3}. חשבו את f′(4)f'(4).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=x−3+x2x−3f'(x)=\sqrt{x-3}+\frac{x}{2\sqrt{x-3}}

כלל המכפלה

f′(4)=1+42=3\begin{aligned}f'(4) &= 1+\frac{4}{2} \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

מי שגוזר רק את השורש מקבל 12\frac{1}{2}, ומי שגוזר רק את xx מקבל 11. במכפלה יש שני מחוברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=x+9xf(x)=\frac{x+9}{\sqrt{x}}. חשבו את f′(1)f'(1).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

f′(x)=x−x+92xxf'(x)=\frac{\sqrt{x}-\frac{x+9}{2\sqrt{x}}}{x}

כלל המנה

f′(1)=1−1021=−4\begin{aligned}f'(1) &= \frac{1-\frac{10}{2}}{1} \\ &= -4\end{aligned}

מציבים

מי שהופך את הסדר במונה מקבל 44. נגזרת המונה כפול המכנה קודם, ורק אז מחסרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f(x)=x2+5f(x)=\sqrt{x^2+5}
f′(x)=12x2+5f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+5}}
f′(2)=16f'(2)=\frac{1}{6}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f′(x)=12x2+5f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+5}} → f′(x)=2x2x2+5=xx2+5f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+5}}

הפתרון:

f′(x)=xx2+5f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+5}}

נגזרת החיצונית כפול נגזרת הפנימית 2x2x

f′(2)=23f'(2)=\frac{2}{3}

התוצאה הנכונה

השורה השנייה שכחה את נגזרת הפנימית. השורה השלישית רק ממשיכה את הטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: הנגזרת של f(x)=xxf(x)=x\sqrt{x} היא f′(x)=32xf'(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=x+x⋅12xf'(x)=\sqrt{x}+x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}

כלל המכפלה

=x+x2=32x=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}

xx=x\frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}

הטענה נכונה. מי שגוזר כל גורם ומכפיל מקבל 1⋅12x1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}, ומפספס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=x2−9f(x)=\sqrt{x^2-9}. השלימו.

f(5)=f(5)= ____ , f′(5)=f'(5)= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f(5)=f(5)= 4 , f′(5)=f'(5)= 1.25

הפתרון:

f(5)=16=4\begin{aligned}f(5) &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

הגובה

f′(x)=xx2−9 ⇒ f′(5)=54\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x}{\sqrt{x^2-9}} \ \Rightarrow \ f'(5) \\ &= \frac{5}{4}\end{aligned}

השיפוע

הגובה מ-ff, השיפוע מ-f′f'. f′(5)=54=1.25f'(5)=\frac{5}{4}=1.25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו לכל פונקציה את הנגזרת שלה.

  • x\sqrt{x}
  • 2x2\sqrt{x}
  • 2x\sqrt{2x}
  • x+2\sqrt{x+2}
  • 12x\frac{1}{\sqrt{2x}}
  • 1x\frac{1}{\sqrt{x}}
  • 12x\frac{1}{2\sqrt{x}}
  • 12x+2\frac{1}{2\sqrt{x+2}}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x\sqrt{x} — 12x\frac{1}{2\sqrt{x}} · 2x2\sqrt{x} — 1x\frac{1}{\sqrt{x}} · 2x\sqrt{2x} — 12x\frac{1}{\sqrt{2x}} · x+2\sqrt{x+2} — 12x+2\frac{1}{2\sqrt{x+2}}

הפתרון:

(2x)′=2⋅12x(2\sqrt{x})'=2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}

המקדם מצטמצם עם ה-22

(2x)′=222x(\sqrt{2x})'=\frac{2}{2\sqrt{2x}}

נגזרת הפנימית 22

(x+2)′=12x+2(\sqrt{x+2})'=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}

נגזרת הפנימית 11

ה-22 מחוץ לשורש, ה-22 בתוך השורש ליד xx, וה-22 המחובר: שלושה מקומות, שלוש נגזרות שונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה — שאלה 1

תרגיל 11

ב. (1) גזרו את הפונקציה f(x)=6x+2x−1f(x)=6\sqrt{x}+2x-1.

  1. f′(x)=6x+2f'(x)=\frac{6}{\sqrt{x}}+2
  2. f′(x)=3x+2f'(x)=3\sqrt{x}+2
  3. f′(x)=3x+2f'(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}+2
  4. f′(x)=3x+2xf'(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}+2x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג f′(x)=3x+2f'(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}+2

הפתרון:

(x)′=12x(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}

נגזרת השורש

6⋅12x=3x6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{3}{\sqrt{x}}

קבוע כפול פונקציה

(2x−1)′=2(2x-1)'=2

הנגזרת של −1-1 היא אפס

הנכונה: f′(x)=3x+2f'(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}+2, לכל x>0x>0. 6x\frac{6}{\sqrt{x}} שכח את ה-22 שבמכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ב. (2) נתונה f(x)=x3−4xf(x)=x^3-4\sqrt{x}. גזרו את הפונקציה, וחשבו את f′(4)f'(4).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 47

הפתרון:

f′(x)=3x2−4⋅12x=3x2−2x\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ &= 3x^2-\frac{2}{\sqrt{x}}\end{aligned}

גוזרים כל מחובר

f′(4)=3⋅16−22=48−1=47\begin{aligned}f'(4) &= 3 \cdot 16-\frac{2}{2} \\ &= 48-1 \\ &= 47\end{aligned}

מציבים x=4x=4

f′(4)=47f'(4)=47.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

ב. (3) גזרו את הפונקציה f(x)=14−4xf(x)=\sqrt{14-4x}.

  1. f′(x)=1214−4xf'(x)=\frac{1}{2\sqrt{14-4x}}
  2. f′(x)=−414−4xf'(x)=\frac{-4}{\sqrt{14-4x}}
  3. f′(x)=214−4xf'(x)=\frac{2}{\sqrt{14-4x}}
  4. f′(x)=−214−4xf'(x)=\frac{-2}{\sqrt{14-4x}}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד f′(x)=−214−4xf'(x)=\frac{-2}{\sqrt{14-4x}}

הפתרון:

(g)′=g′2g(\sqrt{g})'=\frac{g'}{2\sqrt{g}}

נגזרת של שורש של ביטוי

f′(x)=−4214−4x=−214−4x\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-4}{2\sqrt{14-4x}} \\ &= \frac{-2}{\sqrt{14-4x}}\end{aligned}

הנגזרת של 14−4x14-4x היא −4-4

הנכונה: −214−4x\frac{-2}{\sqrt{14-4x}}, לכל x<3.5x<3.5. 1214−4x\frac{1}{2\sqrt{14-4x}} שכח לכפול בנגזרת הפנימית, ו-214−4x\frac{2}{\sqrt{14-4x}} איבד את הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

ב. (4) נתונה f(x)=3x2−12xf(x)=\sqrt{3x^2-12x}. גזרו את הפונקציה, וחשבו את f′(6)f'(6).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=6x−1223x2−12x=3x−63x2−12x\begin{aligned}f'(x) &= \frac{6x-12}{2\sqrt{3x^2-12x}} \\ &= \frac{3x-6}{\sqrt{3x^2-12x}}\end{aligned}

הנגזרת הפנימית היא 6x−126x-12

f′(6)=18−6108−72=1236=2\begin{aligned}f'(6) &= \frac{18-6}{\sqrt{108-72}} \\ &= \frac{12}{\sqrt{36}} \\ &= 2\end{aligned}

מציבים x=6x=6

f′(6)=2f'(6)=2. x=6x=6 בתחום ההגדרה (x≥4x \geq 4), ושם מה שמתחת לשורש חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

ב. (5) נתונה f(x)=5x−10xf(x)=5x-10\sqrt{x}. גזרו את הפונקציה. באיזה xx מתקיים f′(x)=0f'(x)=0?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f′(x)=5−10⋅12x=5−5x\begin{aligned}f'(x) &= 5-10 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ &= 5-\frac{5}{\sqrt{x}}\end{aligned}

גוזרים כל מחובר

5−5x=0 ⇒ x=1\begin{aligned}5-\frac{5}{\sqrt{x}} &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 1\end{aligned}

משווים לאפס

x=1x=1

בתחום: x>0x>0 ✓

x=1x=1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת