תחום ההגדרה והגרף של פונקציית שורש

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

נסו להקיש במחשבון −9\sqrt{-9}: תופיע הודעת שגיאה. 9=3\sqrt{9}=3 כי 32=93^2=9, אבל אין מספר ממשי שריבועו שלילי. הווידג׳ט מראה את זה בצורה אחרת: n\sqrt{n} הוא הצלע של ריבוע ששטחו nn, ושטח אינו שלילי.

הגרפים של y = √x ושל y = √(6 − 2x)
(0,0)(4,2)(9,3)(3,0)(1,2)-2-10123456789123xy
הגרף של y=√xy=\surd x מתחיל ב-(0,0)(0,0) ופונה ימינה. הגרף השני, y=√(6−2x)y=\surd(6-2x), מתחיל ב-(3,0)(3,0) ופונה שמאלה. לשני הגרפים אין אף נקודה מתחת לציר ה-xx.

לפי השרטוט: מאיזו נקודה מתחיל כל גרף, ולאיזה כיוון הוא פונה? ומה אפשר לומר על ערכי ה-yy?

להציג את התשובה והפתרון

y=xy=\sqrt{x} מתחיל ב-(0,0)(0,0) ופונה ימינה. y=6−2xy=\sqrt{6-2x} מתחיל ב-(3,0)(3,0), כי שם 6−2x=06-2x=0, ופונה שמאלה. בשני הגרפים y≥0y \geq 0: שורש לעולם אינו שלילי.

תחום ההגדרה של y=f(x)y=\sqrt{f(x)}

y=f(x):f(x)≥0y=\sqrt{f(x)} \quad : \quad f(x) \geq 0

בפרק הזה ff הוא ביטוי ממעלה ראשונה או שנייה. לכן תחום ההגדרה הוא פתרון של אי-שוויון ממעלה ראשונה או שנייה. אי-שוויון ממעלה שנייה פותרים עם סקיצה של הפרבולה: איפה היא מעל הציר או עליו.

x−5 : x≥5\sqrt{x-5} \ : \ x \geq 5

אי-שוויון ממעלה ראשונה

12−4x : x≤3\sqrt{12-4x} \ : \ x \leq 3

מחלקים ב-−4-4, ולכן כיוון האי-שוויון מתהפך

x2−4 : x≤−2 או x≥2\sqrt{x^2-4} \ : \ x \leq -2 \ \text{או} \ x \geq 2

הפרבולה x2−4x^2-4 פתוחה למעלה: אי-שלילית מחוץ לשורשים

4−x2 : −2≤x≤2\sqrt{4-x^2} \ : \ -2 \leq x \leq 2

הפרבולה 4−x24-x^2 פתוחה למטה: אי-שלילית בין השורשים

x2+3 : כל x\sqrt{x^2+3} \ : \ \text{כל } x

x2+3≥3x^2+3 \geq 3 תמיד

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x2−6xf(x)=\sqrt{x^2-6x}?

להציג את התשובה והפתרון

x2−6x=x(x−6)≥0x^2-6x=x(x-6) \geq 0. השורשים 00 ו-66, והפרבולה פתוחה למעלה, ולכן: x≤0x \leq 0 או x≥6x \geq 6. בין 00 ל-66 הפונקציה אינה מוגדרת.

הגרף של y=ax+by=\sqrt{ax+b}

הגרף של y=ax+by=\sqrt{ax+b} מתחיל בנקודה שבה ax+b=0ax+b=0, כלומר ב-x=−bax=-\frac{b}{a}, על ציר ה-xx. אם a>0a>0 הגרף פונה ימינה. אם a<0a<0 הגרף פונה שמאלה. מספר שמוסיפים מחוץ לשורש מזיז את הגרף למעלה או למטה.

תחום, נקודת התחלה וחיתוך עם הצירים

נתונה f(x)=x+4−1f(x)=\sqrt{x+4}-1. מצאו את תחום ההגדרה, את נקודת ההתחלה של הגרף ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

x+4≥0 ⇒ x≥−4x+4 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -4

תחום ההגדרה. המקדם של xx חיובי, ולכן הגרף פונה ימינה

f(−4)=0−1=−1\begin{aligned}f(-4) &= \sqrt{0}-1 \\ &= -1\end{aligned}

נקודת ההתחלה: (−4, −1)(-4,\,-1)

f(0)=4−1=1\begin{aligned}f(0) &= \sqrt{4}-1 \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-yy: (0, 1)(0,\,1)

x+4=1 ⇒ x+4=1 ⇒ x=−3\begin{aligned}\sqrt{x+4} &= 1 \ \Rightarrow \ x+4 \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= -3\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: (−3, 0)(-3,\,0). בדיקה: 1−1=0\sqrt{1}-1=0 ✓

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x+2+5−xf(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x}?

להציג את התשובה והפתרון

שני השורשים צריכים להיות מוגדרים: x≥−2x \geq -2 וגם x≤5x \leq 5. התחום: −2≤x≤5-2 \leq x \leq 5. לוקחים את החלק המשותף לשני התחומים.

תחום ההגדרה הוא הצעד הראשון בכל שאלה על פונקציית שורש: בחקירה, במשוואה ובמשיק. פתרון שנמצא מחוץ לתחום נפסל.

שלוש טעויות בתחום ההגדרה.

12−4x : x≥3\sqrt{12-4x} \ : \ x \geq 3
12−4x : x≤3\sqrt{12-4x} \ : \ x \leq 3

חילקו ב-−4-4 ולא הפכו את הכיוון. בדיקה: x=0x=0 נותן 12\sqrt{12}, מוגדר.

x2−4 : x≥2\sqrt{x^2-4} \ : \ x \geq 2
x≤−2 או x≥2x \leq -2 \ \text{או} \ x \geq 2

שכחו את החלק השמאלי. בדיקה: x=−3x=-3 נותן 5\sqrt{5}, מוגדר.

4−x2 : x≤−2 או x≥2\sqrt{4-x^2} \ : \ x \leq -2 \ \text{או} \ x \geq 2
4−x2 : −2≤x≤2\sqrt{4-x^2} \ : \ -2 \leq x \leq 2

הפרבולה 4−x24-x^2 פתוחה למטה. בדיקה: x=3x=3 נותן −5\sqrt{-5}, לא מוגדר.

תרגילים

תרגיל 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=8−2xf(x)=\sqrt{8-2x}?

  1. x≥−4x \geq -4
  2. x≥4x \geq 4
  3. x≤4x \leq 4
  4. x<4x < 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x≤4x \leq 4

הפתרון:

8−2x≥08-2x \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

−2x≥−8 ⇒ x≤4-2x \geq -8 \ \Rightarrow \ x \leq 4

מחלקים ב-−2-2 והופכים את הכיוון

הנכונה: x≤4x \leq 4. x≥4x \geq 4 שכח להפוך את הכיוון. x<4x<4 שכח ש-0=0\sqrt{0}=0 מוגדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=3x+6f(x)=\sqrt{3x+6}. השלימו.

תחום ההגדרה: x≥x \geq ____ , f(10)=f(10)= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום ההגדרה: x≥x \geq -2 , f(10)=f(10)= 6

הפתרון:

3x+6≥0 ⇒ x≥−23x+6 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -2

תחום ההגדרה

f(10)=36=6\begin{aligned}f(10) &= \sqrt{36} \\ &= 6\end{aligned}

מציבים

36=6\sqrt{36}=6 ולא ±6\pm 6: השורש הוא תמיד המספר האי-שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x2−25f(x)=\sqrt{x^2-25}?

  1. כל xx
  2. −5≤x≤5-5 \leq x \leq 5
  3. x≥5x \geq 5
  4. x≤−5x \leq -5 או x≥5x \geq 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x≤−5x \leq -5 או x≥5x \geq 5

הפתרון:

x2−25=(x−5)(x+5)≥0x^2-25=(x-5)(x+5) \geq 0

מפרקים

x≤−5 או x≥5x \leq -5 \ \text{או} \ x \geq 5

פרבולה פתוחה למעלה: מחוץ לשורשים

הנכונה: x≤−5x \leq -5 או x≥5x \geq 5. בקטע −5<x<5-5<x<5 הביטוי שלילי. x≥5x \geq 5 שוכח את החלק השמאלי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו תחום ההגדרה של f(x)=4x−x2f(x)=\sqrt{4x-x^2}?

  1. x≤0x \leq 0 או x≥4x \geq 4
  2. 0≤x≤40 \leq x \leq 4
  3. x≥4x \geq 4
  4. כל xx
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 0≤x≤40 \leq x \leq 4

הפתרון:

4x−x2=x(4−x)≥04x-x^2=x(4-x) \geq 0

מפרקים

0≤x≤40 \leq x \leq 4

פרבולה פתוחה למטה: בין השורשים

הנכונה: 0≤x≤40 \leq x \leq 4. המקדם של x2x^2 שלילי, ולכן הביטוי חיובי בין השורשים. בדיקה: x=2x=2 נותן 4\sqrt{4}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x+7−3f(x)=\sqrt{x+7}-3. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x+7−3=0 ⇒ x+7=3\begin{aligned}\sqrt{x+7}-3 &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x+7} \\ &= 3\end{aligned}

מבודדים את השורש

x+7=9 ⇒ x=2\begin{aligned}x+7 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מעלים בריבוע

9−3=0\sqrt{9}-3=0

בדיקה ✓

מי שכותב x+7=3x+7=3 שכח להעלות בריבוע. קודם מבודדים את השורש, ורק אז מעלים בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מיינו את הפונקציות: באילו מהן x=3x=3 נמצא בתחום ההגדרה?

  • מוגדרת ב-x=3x=3
  • לא מוגדרת ב-x=3x=3
  • 10−3x\sqrt{10-3x}
  • 6−2x\sqrt{6-2x}
  • x−4\sqrt{x-4}
  • x2−10\sqrt{x^2-10}
  • x2−4x\sqrt{x^2-4x}
  • x2−9\sqrt{x^2-9}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6−2x\sqrt{6-2x} — מוגדרת ב-x=3x=3 · x2−9\sqrt{x^2-9} — מוגדרת ב-x=3x=3 · 10−3x\sqrt{10-3x} — מוגדרת ב-x=3x=3 · x−4\sqrt{x-4} — לא מוגדרת ב-x=3x=3 · x2−10\sqrt{x^2-10} — לא מוגדרת ב-x=3x=3 · x2−4x\sqrt{x^2-4x} — לא מוגדרת ב-x=3x=3

הפתרון:

6−6=0=0\begin{aligned}\sqrt{6-6} &= \sqrt{0} \\ &= 0\end{aligned}

אפס מותר מתחת לשורש

9−9=010−9=1\begin{aligned}\sqrt{9-9} &= 0 \\ \quad \sqrt{10-9} &= 1\end{aligned}

מוגדרות

−1,9−10,9−12\sqrt{-1} ,\quad \sqrt{9-10} ,\quad \sqrt{9-12}

שלילי מתחת לשורש: לא מוגדרות

מציבים x=3x=3 בביטוי שמתחת לשורש ובודקים את הסימן. אפס מותר: 0=0\sqrt{0}=0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: תחום ההגדרה של f(x)=x2+2x+5f(x)=\sqrt{x^2+2x+5} הוא כל xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x2+2x+5=(x+1)2+4≥4>0x^2+2x+5=(x+1)^2+4 \geq 4 > 0

הביטוי חיובי תמיד

הטענה נכונה. גם בלי השלמה לריבוע: b2−4ac=4−20<0b^2-4ac=4-20<0, והפרבולה פתוחה למעלה ולא חותכת את הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

תחום ההגדרה של f(x)=8+2x−x2f(x)=\sqrt{8+2x-x^2} הוא קטע. מהו אורך הקטע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

8+2x−x2≥0 ⇒ x2−2x−8≤08+2x-x^2 \geq 0 \ \Rightarrow \ x^2-2x-8 \leq 0

כופלים ב-−1-1 והופכים את הכיוון

(x−4)(x+2)≤0 ⇒ −2≤x≤4(x-4)(x+2) \leq 0 \ \Rightarrow \ -2 \leq x \leq 4

בין השורשים

4−(−2)=64-(-2)=6

אורך הקטע

אחרי הכפל ב-−1-1 הכיוון מתהפך. מי ששוכח את זה מקבל x≤−2x \leq -2 או x≥4x \geq 4, ושם אין קטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל פונקציה את תחום ההגדרה שלה.

  • x−3\sqrt{x-3}
  • 3−x\sqrt{3-x}
  • x2−9\sqrt{x^2-9}
  • 9−x2\sqrt{9-x^2}
  • −3≤x≤3-3 \leq x \leq 3
  • x≥3x \geq 3
  • x≤−3x \leq -3 או x≥3x \geq 3
  • x≤3x \leq 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x−3\sqrt{x-3} — x≥3x \geq 3 · 3−x\sqrt{3-x} — x≤3x \leq 3 · x2−9\sqrt{x^2-9} — x≤−3x \leq -3 או x≥3x \geq 3 · 9−x2\sqrt{9-x^2} — −3≤x≤3-3 \leq x \leq 3

הפתרון:

3−x≥0 ⇒ x≤33-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 3

מינוס לפני xx הופך את הכיוון

9−x2≥0 ⇒ −3≤x≤39-x^2 \geq 0 \ \Rightarrow \ -3 \leq x \leq 3

פרבולה פתוחה למטה: בין השורשים

ארבעה תחומים, וכולם סביב המספר 33. בביטוי ממעלה שנייה קובע הסימן של x2x^2: פתוחה למעלה, מחוץ לשורשים; פתוחה למטה, בין השורשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

y = √(ax + b)
(−3,0)(1,4)-4-3-2-101234512345xy

בשרטוט הגרף של f(x)=ax+bf(x)=\sqrt{ax+b}. הגרף מתחיל בנקודה (−3, 0)(-3,\,0) ועובר בנקודה (1, 4)(1,\,4). מצאו את aa ואת bb.

a=a= ____ , b=b= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a=a= 4 , b=b= 12

הפתרון:

−ba=−3 ⇒ b=3a\begin{aligned}-\frac{b}{a} &= -3 \ \Rightarrow \ b \\ &= 3a\end{aligned}

הגרף מתחיל ב-x=−3x=-3

a+b=4 ⇒ a+b=16\begin{aligned}\sqrt{a+b} &= 4 \ \Rightarrow \ a+b \\ &= 16\end{aligned}

הנקודה (1,4)(1,4) על הגרף

a+3a=16 ⇒ a=4 b=12\begin{aligned}a+3a &= 16 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4 \\ \ b &= 12\end{aligned}

מציבים

4⋅1+12=4\sqrt{4 \cdot 1+12}=4

בדיקה ✓

הגרף פונה ימינה, ולכן a>0a>0, ו-a=4a=4 מתאים. מי שכותב a+b=4a+b=4 שכח להעלות בריבוע את a+b=4\sqrt{a+b}=4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה — שאלה 1

תרגיל 11

א. (1) מהו תחום ההגדרה של f(x)=6x+2x−1f(x)=6\sqrt{x}+2x-1?

  1. x>0x > 0
  2. x≥12x \geq \frac{1}{2}
  3. כל xx
  4. x≥0x \geq 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x≥0x \geq 0

הפתרון:

2x−12x-1

פולינום: מוגדר לכל xx

x≥0x \geq 0

רק x\sqrt{x} מגביל: מה שמתחת לשורש אי-שלילי

הנכונה: x≥0x \geq 0. ב-x=0x=0 הפונקציה מוגדרת: f(0)=−1f(0)=-1. x>0x>0 שכח ש-0=0\sqrt{0}=0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

א. (2) נתונה f(x)=x3−4xf(x)=x^3-4\sqrt{x}. השלימו את תחום ההגדרה.

תחום ההגדרה: x≥x \geq ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום ההגדרה: x≥x \geq 0

הפתרון:

x3x^3

מוגדר לכל xx

x≥0x \geq 0

התנאי של x\sqrt{x}

תחום ההגדרה של סכום הוא החלק המשותף לתחומים של המחוברים: x≥0x \geq 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

א. (3) נתונה f(x)=14−4xf(x)=\sqrt{14-4x}. השלימו את תחום ההגדרה (מספר עשרוני).

תחום ההגדרה: x≤x \leq ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום ההגדרה: x≤x \leq 3.5

הפתרון:

14−4x≥014-4x \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

−4x≥−14 ⇒ x≤3.5-4x \geq -14 \ \Rightarrow \ x \leq 3.5

מחלקים ב-−4-4 והופכים את הכיוון

תחום ההגדרה: x≤3.5x \leq 3.5. בדיקה: f(3.5)=0=0f(3.5)=\sqrt{0}=0, ו-f(4)=−2f(4)=\sqrt{-2} לא מוגדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

א. (4) מהו תחום ההגדרה של f(x)=3x2−12xf(x)=\sqrt{3x^2-12x}?

  1. 0≤x≤40 \leq x \leq 4
  2. x≤0x \leq 0 או x≥4x \geq 4
  3. x≤−4x \leq -4 או x≥0x \geq 0
  4. x≥4x \geq 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x≤0x \leq 0 או x≥4x \geq 4

הפתרון:

3x2−12x≥03x^2-12x \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

3x(x−4)≥03x(x-4) \geq 0

מוציאים גורם משותף: שורשים x=0x=0 ו-x=4x=4

x≤0 או x≥4x \leq 0 \ \text{או} \ x \geq 4

פרבולה «שמחה»: חיובית מחוץ לשורשים

הנכונה: x≤0x \leq 0 או x≥4x \geq 4. 0≤x≤40 \leq x \leq 4 הוא הקטע שבו הביטוי שלילי (למשל x=2x=2: 12−24=−1212-24=-12).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

א. (5) הוכיחו או הפריכו: תחום ההגדרה של f(x)=5x−10xf(x)=5x-10\sqrt{x} הוא כל xx, כי 5x5x מוגדר לכל xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x≥0x \geq 0

התנאי של x\sqrt{x}

f(−1)=−5−10−1f(-1)=-5-10\sqrt{-1}

לא מוגדר

הטענה לא נכונה. כל מחובר מגביל את התחום: 5x5x לא מגביל, אבל x\sqrt{x} דורש x≥0x \geq 0. תחום ההגדרה: x≥0x \geq 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת